學(xué)案2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件

進(jìn)入學(xué)案2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用名師伴你行SANPINBOOK進(jìn)入學(xué)案2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用名師伴你行SANPINBO考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三名師伴你行SANPINBOOK考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

1.函數(shù)的單調(diào)性（1）一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果>0,則f(x)為

；如果<0，則f(x)為

.（2）求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:①確定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間;②求，令

，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根;增函數(shù)減函數(shù)名師伴你行SANPINBOOK返回目錄1.函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)名師伴你行S③把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)（即f(x)的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間;④確定f′(x)在各小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)

判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的增減性.2.可導(dǎo)函數(shù)的極值(1)極值的概念一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)的一個(gè)

，稱(chēng)x0為

.極大(小)值極大（?。┲迭c(diǎn)名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

③把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)（即f(x)的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和（2）求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:①求導(dǎo)數(shù)；②求方程=0的根；③檢查在方程=0的根的左右的值的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得

；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得

.極大值極小值名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（2）求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:極大值極小３.函數(shù)的最大值與最小值（１）設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間［a,b］上的函數(shù)，y=f(x)在（a,b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y=f(x)在［a,b］上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行:①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;②將f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.（２）若函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的

，f(b)為函數(shù)的

；若函數(shù)f(a)在［a,b］上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的

，f(b)為函數(shù)的

.f(a),f(b)最小值最大值最大值最小值名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

３.函數(shù)的最大值與最小值f(a),f(b)最小值最考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【例1】已知a∈R,求函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)區(qū)間.【分析】求f(x)的導(dǎo)數(shù)，令f(x)>0即可求增區(qū)間；令<0,求減區(qū)間，但解題過(guò)程中要注意討論參數(shù)a的范圍.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【例1】已知a∈R,求函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)區(qū)間.【【解析】函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù):=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax(1)當(dāng)a=0時(shí),若x<0,則f′(x)<0,若x>0,則f′(x)>0.所以當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).(2)當(dāng)a>0時(shí),由2x+ax2>0,解得x<-或x>0;由2x+ax2<0,解得-<x<0.所以,當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞,-）內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間（-,0）內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【解析】函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù):名師伴你行SANPINBOOK返(3)當(dāng)a<0時(shí),由2x+ax2>0,解得0<x<-;由2x+ax2<0,解得x<0或x>-.所以當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間（0,-）內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間（-,+∞）內(nèi)為減函數(shù).【評(píng)析】本題通過(guò)求單調(diào)區(qū)間考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)解不等式考查了學(xué)生的運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

(3)當(dāng)a<0時(shí),【評(píng)析】本題通過(guò)求單調(diào)區(qū)間考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，＊對(duì)應(yīng)演練＊設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中實(shí)數(shù)a≠0.（1）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)且g（x）存在最小值時(shí)，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域；（3）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為增函數(shù)，求a的取值范圍.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（（1）∵=3x2+2ax-a2=3（x-）(x+a),又a＞0,∴當(dāng)x＜-a或x＞時(shí)，＞0;當(dāng)-a＜x＜時(shí)，＜0,∴f(x)在（-∞,-a）和（，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-a，）內(nèi)是減函數(shù).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（1）∵=3x2+2ax-a2=3（x-（2）由題意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1.即x［x2-(a2-2)］=0恰有一根（含重根）.∴a2-2≤0,即.又a≠0,∴a∈［)(］.∵g(x)=a（x-）2+1-,∴h(a)=1-,a∈(0,］,∴h(a)的值域?yàn)?-∞,1-］.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（2）由題意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1.名（3）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞,-a）和（，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在（，+∞）內(nèi)是增函數(shù).a＞0a≥a≥當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞,）和（-a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在（-∞,）內(nèi)是增函數(shù).a＜0a+2≤,a+2≤綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞,-3］∪［1,+∞).由題意得，解得a≥1.由題意得解得a≤-3.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞,-a）和（，+∞考點(diǎn)二函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)【例2】已知a∈R，討論函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a+1)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【分析】先求f′(x)，再令f′(x)=0，求出方程的解.通過(guò)列表判定f′(x)的符號(hào)來(lái)確定是否是極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【例2】已知a∈R，討論函數(shù)f(x)=ex(x【解析】f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］.令f′(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.（1）當(dāng)Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0,即a<0或a>4時(shí)，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2，不妨設(shè)x1<x2,于是f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).從而有下表：x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)f(x1)為極大值f(x2)為極小值↗↗↘即此時(shí)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【解析】f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+（2）當(dāng)Δ=0即a=0或a=4時(shí)，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個(gè)相同的實(shí)根x1=x2.于是f′(x)=ex(x-x1)2,故當(dāng)x<x1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>x1時(shí)，f′(x)>0，因此f(x)無(wú)極值.（3）當(dāng)Δ<0即0<a<4時(shí)，x2+(a+2)x+(2a+1)>0,f′(x)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］>0,故f(x)為增函數(shù)，此時(shí)f(x)無(wú)極值.因此當(dāng)a>4或a<0時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn).【評(píng)析】f′(x)=0是函數(shù)在x=x0處取得極值的必要條件.要注意總結(jié)求極值的步驟和方法.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（2）當(dāng)Δ=0即a=0或a=4時(shí)，方程x2+(a+2)x+(＊對(duì)應(yīng)演練＊設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+a)+x2.（1）若當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得極值，求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+a)+x2.名師伴你行(1)f′(x)=,依題意，有f′(-1)=0,故a=.則f(x)的定義域?yàn)椋?+∞）.當(dāng)<x<-1時(shí)，f′(x)>0;當(dāng)-1<x<時(shí)，f′(x)<0;當(dāng)x>時(shí)，f′(x)>0.從而f(x)分別在區(qū)間（,-1）,（,+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1,）上單調(diào)遞減.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

(1)f′(x)=,名師(2)f(x)的定義域?yàn)椋?a,+∞）,方程2x2+2ax+1=0的判別式Δ=4a2-8.①若Δ<0,即-<a<,在f(x)的定義域內(nèi)f′(x)>0,故f(x)無(wú)極值.②若Δ=0,則a=或-.若a=,x∈(-,+∞),當(dāng)x=時(shí)，f′(x)=0;當(dāng)x∈（-,-）∪（-,+∞）時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)無(wú)極值.若a=-,x∈(,+∞),f′(x)=>0,f(x)也無(wú)極值.③若Δ>0,即a>或a<-,名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

(2)f(x)的定義域?yàn)椋?a,+∞）,名師伴你行SANPI則2x2+2ax+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根當(dāng)a<-時(shí)，x1<-a,x2<-a,從而f′(x)在f(x)的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>時(shí)，x1>-a,x2>-a,f′(x)在f(x)的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由極值判別方法知f(x)在x=x1,x=x2處取得極值.綜上，f(x)存在極值時(shí)，a的取值范圍為(,+∞).所以f(x)的極值之和為f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)++ln(x2+a)+=ln+a2-1>1-ln2=ln.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

則2x2+2ax+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根名師伴你行考點(diǎn)三函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)【例3】如圖，甲、乙兩人，甲位于乙的正東100km處開(kāi)始騎自行車(chē)以每小時(shí)20km的速度向正西方向前進(jìn).與此同時(shí)，乙以每小時(shí)10km的速度向其正北方向跑步前進(jìn).問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間甲、乙相距最近？【分析】引入變量，建立目標(biāo)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求最值.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【例3】如圖，甲、乙兩人，甲位于乙的正東100km處開(kāi)始騎【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)甲、乙相距f(x)km，此時(shí)甲到達(dá)位置A，乙到達(dá)位置B.故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x>0時(shí)，求f(x)的最小值點(diǎn).令f′(x)=0得x=4.在區(qū)間(0,4)內(nèi),f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間(4,+∞)內(nèi)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.故x=4為其極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).所以當(dāng)x=4（小時(shí)）時(shí)，甲、乙兩人相距最近為20km.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)甲、乙相距f(x)km，此時(shí)甲到達(dá)位置【評(píng)析】（1）注意到f(x)>0，因而只要求出［f(x)］2的最小值點(diǎn)即可.（2）在有關(guān)極值應(yīng)用的問(wèn)題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點(diǎn)使得f′(x)=0,且在兩側(cè)f′(x)的符號(hào)各異，一般稱(chēng)為單峰問(wèn)題，此時(shí)該點(diǎn)就是極值點(diǎn)，也是最值點(diǎn).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【評(píng)析】名師伴你行SANPINBOOK返回目錄＊對(duì)應(yīng)演練＊某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為（2+）x萬(wàn)元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元.（1）試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)m=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米（1）設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則（n+1）x=m，即，所以y=f（x）=256n+（n+1）（2+）x=256（）+（2+）x=+m+2m-256.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（1）設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則（n+1）x=m，名師伴你行SAN（2）由（1）知，f′(x)令f′(x)=0,得=512，所以x=64.當(dāng)0＜x＜64時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64＜x＜640時(shí)，f′(x)＞0