新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義專題37 求曲線的軌跡方程（解析版）

1、專題37 求曲線的軌跡方程【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】曲線的方程和方程的曲線在直角坐標(biāo)系中，如果是某曲線（看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解（完備性）（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)（純粹性）那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線事實(shí)上，曲線可以看作一個(gè)點(diǎn)集，以一個(gè)二元方程的解作為坐標(biāo)的點(diǎn)也組成一個(gè)點(diǎn)集，上述定義中 【方法技巧與總結(jié)】一直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn) （3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式（4）代換：將軌

2、跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡(jiǎn)（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程（對(duì)某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗(yàn)）簡(jiǎn)記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說明注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線二定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來判斷熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程三相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)

3、的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程四交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)五參數(shù)方程法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即，再消參.六點(diǎn)差法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程圓錐曲線中涉及與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差

4、法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：定義法題型三：相關(guān)點(diǎn)法題型四：交軌法題型五：參數(shù)法題型六：點(diǎn)差法題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡題型九：向量與圓錐曲線的軌跡題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程【典例例題】題型一：直接法例1（2022全國高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點(diǎn)的軌跡方程為_【答案】【解析】因?yàn)檩S，垂足為M，且PM的中點(diǎn)為，所以，又因?yàn)镻是橢圓上任意一點(diǎn)，所以，即.故

5、答案為：.【方法技巧與總結(jié)】如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系且這些幾何簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，那么只需把這些關(guān)系“翻譯”成含的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直接法例2（2022河南河南模擬預(yù)測(cè)（理）已知平面上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之比為，則點(diǎn)到軸的距離最大值為_.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之比為，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以點(diǎn)到軸的距離最大值為，故答案為：例3（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到x軸的距離大(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；【解析】依題意，兩邊平方得，兩邊平

6、方得，整理得，可得或，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為，所以，此時(shí)轉(zhuǎn)化為，所以.所以點(diǎn)的軌跡的方程為或.例4（2022湖南模擬預(yù)測(cè)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，且曲線上的任意一點(diǎn)P都滿足求曲線的軌跡方程并畫出草圖；【解析】設(shè)，由題設(shè)有，整理得到，故，其草圖如下圖所示：例5（2022湖南湘潭高三開學(xué)考試） 已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線 的交點(diǎn)為，且它們的斜率之積求點(diǎn)的軌跡的方程;【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題設(shè)得，故所求的點(diǎn)P的軌跡的方程為題型二：定義法例6（2022全國高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)A（1，1）和直線L：x+y-2=0，那么到定點(diǎn)A和到定直線L距離相等的點(diǎn)的軌跡為（）A橢圓B雙曲線C拋物線D直線【答案】D【解

7、析】點(diǎn)A（1，1）在直線L上，所以到定點(diǎn)A和到定直線L距離相等的點(diǎn)的軌跡為過A（1，1）且與直線L垂直的直線.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】若動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據(jù)定義直接求出方程中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法例7（2022全國高三專題練習(xí)）已知圓：，動(dòng)圓與圓外切，且與定直線相切，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為求的方程；【解析】設(shè)，圓的半徑為，由題可知，點(diǎn)在直線右側(cè)，因?yàn)閳A與定直線相切，所以又圓與圓外切，所以，所以，化簡(jiǎn)得，即的方程為例8（2022江西南昌三模（理）已知兩條直線：，：，有一動(dòng)圓（圓心和半徑都在變動(dòng)）與，都相交，并且，被截在圓內(nèi)的兩條線段的長(zhǎng)度分別是定

8、值，則動(dòng)圓圓心的軌跡是（）A圓B橢圓C雙曲線D直線【答案】C【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓心到，的距離分別是，則，所以，又因?yàn)?，即，得，?所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為，由方程可知，動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線.故選：C例9（2022上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試）已知定點(diǎn)和定圓，動(dòng)圓和圓外切，且經(jīng)過點(diǎn)，求圓心的軌跡方程_【答案】雙曲線的左支【解析】結(jié)合圖象可得，|MQ|MP|=4，可得a=2，c=4，則b=，M的軌跡為雙曲線的左支故答案為雙曲線的左支例10（2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)動(dòng)圓與軸相切且與圓:相外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_.【答案】或【解析】設(shè)，即軌跡方程為或例11（2022黑龍江哈

9、爾濱市第六中學(xué)校高三期末）已知圓：和圓：，動(dòng)圓M同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為_.【答案】【解析】由題，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當(dāng)動(dòng)圓與圓，圓外切時(shí),所以,因?yàn)閳A心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的上支，其中，所以,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是；故答案為：例12（2022全國高三專題練習(xí)（理）設(shè)圓的圓心為A，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓A于兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；【解析】由題意可知，故，又，故,故,所以，故,又圓A標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以由題設(shè)得，由橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡方程為，()例13（2022全國高三專題練習(xí)）已知是圓

10、上的動(dòng)點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡的方程【解析】由題意知,.因?yàn)椋?所以點(diǎn)M的軌跡C是以A,B為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則a=2,c=1,所以，所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為.例14（2022河南鄭州高三階段練習(xí)（理）如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動(dòng)圓與圓內(nèi)切與圓外切求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，且.于是，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.從而，所以.故動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為例15（2022山東濰坊模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓：外切，同時(shí)與圓：內(nèi)切.說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種曲線，并求其軌跡方程；【解析】設(shè)圓M的半徑為

11、r，由圓M與圓: 外切，得: ,由圓M與圓：內(nèi)切，得: ，故，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，故橢圓的短半軸長(zhǎng)為，故橢圓的方程為.例16設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程【解析】因?yàn)?，故，所以，故，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以由題設(shè)得，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：題型三：相關(guān)點(diǎn)法例17（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別是直線和上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的中點(diǎn)的軌跡方程為（）ABCD【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，故，又因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)M的軌跡方程為故選: A.【方法技巧與總結(jié)】有些問題中，所求軌跡上點(diǎn)的幾何條件是與另一個(gè)已

12、知方程的曲線上點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的，這時(shí)要通過建立這兩點(diǎn)之間關(guān)系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關(guān)系式例18（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則的重心G的軌跡方程為_【答案】【解析】設(shè)，由點(diǎn)G為的重心，得，所以又在拋物線上，所以，即又點(diǎn)A不在直線BC上，所以，即，所以所求軌跡方程為故答案為：例19（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)P在圓上變動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)的連線PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是（）ABCD【答案】C【解析】設(shè)，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又點(diǎn)P在圓上，即，故選：C例20（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）已知A、B分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為，P是AB的中點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)P的軌

13、跡C的方程【解析】設(shè)、P是線段AB的中點(diǎn)，A、B分別是直線和上的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為題型四：交軌法例21（2022四川涼山高三期末（理）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，直線與橢圓交于兩點(diǎn)M、N，則直線AM與直線BN的交點(diǎn)F一定在下列哪種曲線上（）A拋物線B雙曲線C橢圓D圓【答案】B【解析】設(shè)， 則，又，連結(jié)則，即 由橢圓的對(duì)稱性可得 又 所以，即 所以點(diǎn)F在雙曲線上.故選：B【方法技巧與總結(jié)】在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等

14、為參數(shù)例22（多選題）（2022江蘇南京市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓C：（）的離心率為，過點(diǎn)P（1，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足.動(dòng)點(diǎn)Q滿足，則下列結(jié)論正確的是（）AB動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為C線段OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)度的最小值為D線段OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)度的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：由橢圓的離心率為，得，所以，故正確；對(duì)于B：設(shè)，由，得兩式相乘得，同理可得，由題意知且，否則與矛盾，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，即直線，故正確；對(duì)于C、D：所以線段長(zhǎng)度的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，min，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.例23（2022北京市朝陽區(qū)人大附中朝陽分校高三階段練習(xí)）在

15、矩形中，把邊分成等份，在的延長(zhǎng)線上，以的分之一為單位長(zhǎng)度連續(xù)取點(diǎn).過邊上各分點(diǎn)和點(diǎn)作直線，過延長(zhǎng)線上的對(duì)應(yīng)分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線，這兩條直線的交點(diǎn)為，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)滿足的方程是_.【答案】【解析】設(shè)第組對(duì)應(yīng)直線與交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即，得，整理得，所以點(diǎn)滿足的方程是.故答案為：.例24（河北省邢臺(tái)市名校聯(lián)盟2022屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知、為橢圓C：的左右頂點(diǎn)，直線與C交于兩點(diǎn)，直線和直線交于點(diǎn).求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】由題意得，設(shè)，則，即，得，又點(diǎn)在C上，即，得，；例25（2022河南新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)

16、高三階段練習(xí)（理）已知反比例函數(shù)的圖像C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線.(1)求雙曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)為雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線C上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).求直線與交點(diǎn)的軌跡E的方程；【解析】(1)根據(jù)題意可得，反比例函數(shù)的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)均在上，聯(lián)立解得，故雙曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)，.所以該等軸雙曲線的焦距為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，(2)因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線C上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故.設(shè)，根據(jù)，分別共線，且在雙曲線C上， ，有，且，兩式相乘有，即，化簡(jiǎn)得.即軌跡E的方程為例26（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，過直線l：左側(cè)且不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P，作于點(diǎn)H，的角平分線交

17、x軸于點(diǎn)M，且，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知曲線C與x軸正半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T滿足，其中，證明：.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)檩S，所以，因?yàn)镻M為的角平分線，所以，所以，即，所以.即，化簡(jiǎn)整理得，因?yàn)镻不在x軸上，即曲線C的方程為（2）易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為.聯(lián)立方程組，消x整理得，所以，得或，設(shè)，則，.由得，所以，設(shè)，由，得，所以，所以，所以點(diǎn)在直線上，且，又因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，所以是等腰三角形，（或者證明直線TS與直線的斜率互為相反數(shù)）所以，因?yàn)?，所以，綜上所述，.例27（2022全國模擬預(yù)測(cè)（文）設(shè)拋物線C：，過點(diǎn)的直線l與C

18、交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程；【解析】如圖，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得.設(shè)，則有，由，可得，所以，從而結(jié)合點(diǎn)A在拋物線C上有，即，同理得，聯(lián)立可得交點(diǎn)，即，故點(diǎn)P的軌跡方程為y=-1.例28（2022湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的離心率為2，為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線C上的一個(gè)點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)且不與漸近線平行的直線l（斜率不為0）與雙曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，記雙曲線C在點(diǎn)M，N處的切線分別為，

19、點(diǎn)P為直線與直線的交點(diǎn)，試求點(diǎn)P的軌跡方程（注：若雙曲線的方程為，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為）【解析】(1)據(jù)題意，則，點(diǎn)在雙曲線上，則，又，則，雙曲線的方程為(2)設(shè)，直線l：，聯(lián)立，由題知，切線：，切線：，記，則，兩式相加得，將代入得；兩式相減得得，由得，聯(lián)立和得，故，又，所以，則，故點(diǎn)的軌跡方程為例29（2022全國高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)；(3)過（2）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程【解

20、析】(1)設(shè)拋物線的方程為，拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，解得或（舍去，拋物線的方程為(2)設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，曲線，則切線的斜率為，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，是以上方程的兩根，則，直線的方程為：，整理得，切線的方程為，整理得，且點(diǎn)，在切線上，即直線的方程為：，化簡(jiǎn)得，又，故直線過定點(diǎn)(3)設(shè)，過的切線，過的切線，則交點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立，得，點(diǎn)滿足的軌跡方程為例30（2022上海高三專題練習(xí)）雙曲線的實(shí)軸為，點(diǎn)是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引， 與的交點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)，由題意可知，否則點(diǎn)（或點(diǎn)）和點(diǎn)（或點(diǎn)）重合，不符合題意；，利用垂直斜率關(guān)系可得，兩式相乘得又點(diǎn)在雙曲線上，即將其代入式得，化簡(jiǎn)整理

21、得：所以點(diǎn)的軌跡方程為：例31（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、以及直線，設(shè)長(zhǎng)為的線段在直線l上移動(dòng)（如圖所示），求直線和的交點(diǎn)M的軌跡方程【解析】如圖所示，點(diǎn)A、B在直線上，設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為，其中當(dāng)時(shí)，由、三點(diǎn)共線，得，解出a，得，由、三點(diǎn)共線，得，解出b，得由條件，得，由、式得整理得，當(dāng)時(shí)，兩直線和的交點(diǎn)M與點(diǎn)或點(diǎn)重合，得點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)都滿足方程總之，式就是點(diǎn)M的軌跡方程式可改寫成軌跡的圖形是雙曲線，它的中心是點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線上題型五：參數(shù)法例32（2022新疆皮山縣高級(jí)中學(xué)高三期末（文）已知，當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)軌跡方程為（）ABCD【答案】B【解析】中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故選：B【方

22、法技巧與總結(jié)】有時(shí)不容易得出動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動(dòng)點(diǎn)常常受到另一個(gè)變量（角度，斜率，比值，解距或時(shí)間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個(gè)變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法例33（2022全國高三專題練習(xí)（理）已知曲線和直線l：y=kx(k0)，若C與l有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】依題意，由分別消去x，y得：(k2-1)x2+2x-2=0，(k2-1)y2+2ky-2k2=0，設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x，y)，則在中分別有：，又對(duì)應(yīng)滿足，解得k2，y，所以所求軌跡方程是x2-y2

23、-x=0(x2，y).例34（2022江西景德鎮(zhèn)高三期末（理）已知兩條動(dòng)直線與（，為參數(shù)）的交點(diǎn)為.求點(diǎn)的軌跡的方程；【解析】設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，消去參數(shù)得，因此，點(diǎn)的軌跡的方程為；例35（2022北京市第五十七中學(xué)高三期中）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直線方程及弦長(zhǎng)；(3)過點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)，則，由，得，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以，故點(diǎn)M的軌跡C的方程為：；(2)設(shè)該弦所在的直線為，且與橢圓交于點(diǎn)，則，；又點(diǎn)是

24、弦長(zhǎng)的中點(diǎn)，則，由-得，即，又該直線過點(diǎn)，所以直線方程為：，即，聯(lián)立橢圓方程，得，解得，所以弦長(zhǎng)為；(3)設(shè)，由題意知直線l的斜率存在，設(shè)l：，代入方程，得，得，設(shè)，則，所以，又四邊形OAEB為平行四邊形，所以，又，所以，消k得，又，所以，所以頂點(diǎn)E的軌跡方程為：().例36（2022全國高三專題練習(xí)）已知直線l1：yk1x和l2：yk2x與拋物線y22px（p0）分別相交于A，B兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)O）與直線l：y2x+p分別相交于P，Q兩點(diǎn)，且求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；【解析】聯(lián)立，解得：，把代入得：，所以，同理可得：，則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，消去得：所以線段AB的中點(diǎn)M的軌

25、跡方程為例37（2022江蘇周市高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，則線段的中點(diǎn)C的軌跡與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為（）ABCD【答案】D【解析】不妨設(shè)為直線與的軸的交點(diǎn)，為直線與的軸的交點(diǎn)，則，故，設(shè)，則且，故C的軌跡與坐標(biāo)軸為，故選：D.例38（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓的半徑為，記是以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)AB是過橢圓中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)，)，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程【答案】(1);(2).【解析】（1）,的軌跡

26、為對(duì)角線長(zhǎng)分別為，邊長(zhǎng)為，原點(diǎn)為內(nèi)切圓圓心的菱形，其頂點(diǎn)分別為，所以由題意得所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，當(dāng)AB所在直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB所在直線的方程為，由 可得，所以，設(shè)，由題意得，即，又因?yàn)橹本€l的方程為，即，所以，又因?yàn)?，所以易得?dāng)AB所在直線的斜率不存在時(shí)，且；AB所在直線斜率為0時(shí)，且，上式仍然成立綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程為題型六：點(diǎn)差法例39（2022全國高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為_【答案】【解析】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，兩式相減可得，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時(shí)，即直線與橢圓相切，此時(shí)由解得

27、或，所以，所求得軌跡方程為故答案為：【方法技巧與總結(jié)】圓錐曲線中涉及與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法例40（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是_【答案】(或).【解析】設(shè)直線為，與雙曲線交點(diǎn)為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點(diǎn)為，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(或).故答案為：(或)例41（2022全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的弦所在直線過點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)，弦的中點(diǎn)，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，整理得；當(dāng)時(shí)，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點(diǎn)的軌跡方程.例42（2022上海市

28、行知中學(xué)高三開學(xué)考試）已知曲線上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為，過點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，(1)求曲線的方程；(2)動(dòng)弦滿足：，求點(diǎn)的軌跡方程；【解析】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為，所以曲線是以，為焦點(diǎn)的橢圓，所以，所以曲線的方程為；（2）因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時(shí)，將，代入橢圓方程中得：兩式相減得，故故得，所以，所以，整理得；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗(yàn)?時(shí)，或，出滿足；所以點(diǎn)的軌跡方程是；例43（2022全國高三期中）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為，且兩頂點(diǎn)間的距離為6，求該雙曲線方程（2）一組平行直線與橢圓相交，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程【解析】（1）若焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為

29、，所以，又，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為若焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，所以，又，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)與橢圓的兩交點(diǎn)， 的中點(diǎn)為，則，兩式相減得：，即即，又，消去得，解得，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為例44（2022上海高三專題練習(xí)）已知橢圓，是橢圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn).（1）若點(diǎn)滿足，求直線的方程；（2）若，的坐標(biāo)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；【解析】（1）由已知可得，是線段中點(diǎn)，由已知兩式相減化簡(jiǎn)整理得所以直線的方程是（2）設(shè)，由，可得由結(jié)合可得，又，是橢圓上的點(diǎn)，故所以，即根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，軌跡是以，為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.題型七：立體幾

30、何與圓錐曲線的軌跡例45（2022全國高三專題練習(xí)）在正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且EF與底面ABCD所成的角為若該正方體外接球的表面積為，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為（）ABCD【答案】A【解析】如圖1，取AD的中點(diǎn)H，連接EH，則.在正方體中，底面ABCD，所以底面ABCD.所以為EF與底面ABCD所成的角，則設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，因?yàn)樵撜襟w外接球的表面積為，所以，解得，所以，從而，所以F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)的部分，如圖2在圖2中，所以，則，根據(jù)對(duì)稱性可知，所以，故動(dòng)點(diǎn)F的軌跡周長(zhǎng)為故選：A【方法技巧與總結(jié)】利用坐標(biāo)法解決例46（2022全國高三

31、專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是平面外一定點(diǎn)，過作平面的斜線斜線與平面所成角為若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，并使直線與所成角為則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A圓B橢圓C拋物線D雙曲線的一支【答案】B【解析】用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線 故可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分故選：B例47（2022北京市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，正方體中，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，且于，且，則點(diǎn)的軌跡是（）A線段B圓弧C拋物線的一部分D以上答案都不對(duì)【答案】A【解析】連接、，如下圖所示：因?yàn)槠矫妫矫?，因?yàn)椋?，所以，為定點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)，連接，

32、因?yàn)?，則，所以點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于線段的垂面上，而此垂面與底面相交于一條線段，故點(diǎn)的軌跡為線段.故選：A.例48（多選題）（2022廣東大埔縣虎山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正六面體中，O為線段的中點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），以下說法正確的有（）A線段CD中點(diǎn)為E，則直線OE與平面所成角的正弦值為B在線段上取靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)F，則直線與直線不共面C在平面上存在一動(dòng)點(diǎn)P，滿足，則P點(diǎn)軌跡為一橢圓D在平面上存在一動(dòng)點(diǎn)Q，點(diǎn)Q到點(diǎn)O的距離和點(diǎn)Q到直線AB的距離相等，則點(diǎn)Q的軌跡為拋物線，其準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離為【答案】AD【解析】選項(xiàng)A：取中點(diǎn)H，連接正六面體中，則平面，則為直線與平面所成角，中， 則，即直

33、線與平面所成角的正弦值為由O為線段的中點(diǎn)，E為線段CD中點(diǎn)，可得則直線OE與平面所成角的正弦值為判斷正確；選項(xiàng)B：在線段上取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)H，連接正六面體中，則四邊形為平行四邊形，則相交且互相平分，則又，則四邊形為平行四邊形，則相交且互相平分，則又四邊形為平行四邊形，則則直線與直線共面判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：在平面上一動(dòng)點(diǎn)P，滿足，又正六面體的棱長(zhǎng)為2 ，則P點(diǎn)軌跡為線段判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：連接則正六面體中，則O點(diǎn)為矩形的中心.在平面上一動(dòng)點(diǎn)Q，點(diǎn)Q到點(diǎn)O的距離和點(diǎn)Q到直線的距離相等，則點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)為焦點(diǎn)以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線，焦點(diǎn)O到準(zhǔn)線AB的距離為判斷正確.故選：AD題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線

34、的軌跡例49（2022河南開封高三階段練習(xí)（文）已知為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為（）ABCD【答案】C【解析】，表示點(diǎn)，故復(fù)數(shù)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓.故選：C【方法技巧與總結(jié)】（1）利用坐標(biāo)法解決（2）利用復(fù)數(shù)幾何意義例50（多選題）（2022重慶一中高一期末）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則下來說法正確的有（）A若，則Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為圓B若，則Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為橢圓C不可能存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足和D若，則的取值范圍為8，10【答案】AD【解析】對(duì)于A，設(shè)，則有，可知Z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為圓，故A正確；對(duì)于B，設(shè)且，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的軌跡是以和為端點(diǎn)的線段，故

35、B不正確；對(duì)于C，設(shè)且，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為的橢圓，其方程為，若，則有，兩者聯(lián)立，有解，所以存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足和，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)，若，則有，令則，（）令，可得，所以，于是得，故D正確.故選：AD例51（2022上海市徐匯中學(xué)高三期末）如果復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）A直線B橢圓C線段D圓【答案】B【解析】復(fù)數(shù)滿足條件，設(shè)，因?yàn)楸硎緩?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，同理表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)和到點(diǎn)的之和等于，因?yàn)?，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，故選：B例52（2022全國高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的

36、點(diǎn)的軌跡是_【答案】圓【解析】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，解得或，因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓故答案為：圓.例53（2022江西贛州高三期末（文）設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為_.【答案】【解析】由題意，故，故的軌跡方程為故答案為：題型九：向量與圓錐曲線的軌跡例54（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）已知，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（）ABCD【答案】B【解析】由題意得，即故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）利用坐標(biāo)法解決（2）利用向量幾何意義例55（2022安徽合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理）已知向量，是單位向量，若，

37、且，則的取值范圍是_【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，是單位向量，且，所以不妨設(shè)，設(shè)，則由得，設(shè)，則，所以表示的點(diǎn)在線段上表示到的距離，如圖，直線方程為，即，到直線的距離為，所以的取值范圍是故答案為：例56（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若，且，則點(diǎn)P的軌跡方程是_【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則，設(shè)，則，又，即.故答案為：.例57（2022陜西師大附中高一期中）已知向量，滿足，與的夾角為，則的最小值為（）ABCD【答案】D【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡

38、是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)圓心為，又，當(dāng)直線過點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為.故選：D.例58（2022全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中，是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中，是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問：是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離與到直線的距離之比為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【解析】(1)設(shè)橢圓上一點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)，令，橢圓的方程為，可得是以為圓心，半徑為2的圓上的點(diǎn)，記仿射變換下，在圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，直線與的斜率之積為可得.，

39、四邊形為正方形，于是，則點(diǎn)的軌跡方程為，因此點(diǎn)的軌跡方程為，即.，由橢圓的定義可得，存在符合題意的點(diǎn)，坐標(biāo)為（即橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)）(2)，由（1）可知，此時(shí)四邊形為矩形，于是，點(diǎn)的軌跡方程為，因此點(diǎn)的軌跡方程為，即.，直線為橢圓的右準(zhǔn)線.由橢圓的定義可得，存在符合題意的點(diǎn)，坐標(biāo)為（即橢圓的右焦點(diǎn)）例59（2022重慶八中高三階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為F，P在拋物線C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，的面積為1.(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B都在拋物線C上，且，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線的垂線，垂足是G，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程.【解析】(1)當(dāng)與x軸垂直時(shí)，故，故，故拋物線的方程為：.(2)設(shè)，直線，因

40、為，故，整理得到：，故.由可得，故即，故直線，此直線過定點(diǎn).因?yàn)?，故的軌跡為以為直徑的圓，其方程為：即.因?yàn)橹本€與軸不重合，故不為原點(diǎn)，故的軌跡方程為：.例60（2022全國高三專題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn) 和直線l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQl，垂足為Q，且=0求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；【解析】設(shè) ，則，由=0，得，即化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)P在橢圓上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程例61（2022全國高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的方程為，斜率為1的動(dòng)直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，以線段的中點(diǎn)為圓心，為直徑作圓，圓心的軌跡方程為_【答案】【解析】設(shè)動(dòng)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，則，即,設(shè)，由根與

41、系數(shù)的關(guān)系得，則，故，即，圓心C的軌跡方程為故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】聯(lián)立直線與曲線方程得出兩根之和與之積關(guān)系，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例62（2022全國高三專題練習(xí)）設(shè)不同的兩點(diǎn)A，B在橢圓上運(yùn)動(dòng)，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，過O作，M為垂足求點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】若直線AB的斜率不存在，由已知得點(diǎn)M的坐標(biāo)為；若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB為，聯(lián)立橢圓，得：，設(shè)，則，以線段AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，即，所以，所以，又，故O到AB的距離綜合，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為O以為圓心，以1為半徑的圓，軌跡方程為：例63（2022浙江杭州市富陽區(qū)場(chǎng)口中學(xué)高三期末）已知橢圓C的離心率為，其焦點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).(

42、1)寫出橢圓C的方程；(2)直線l：與橢圓C有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M作直線l的垂線分別交x軸y軸于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為，由題意，雙曲線的頂點(diǎn)為，故.又，故，故，故橢圓C的方程為(2)由題意，直線l與橢圓C相切，聯(lián)立得，故，即.設(shè)，則，故，故.所以直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，故，故.又，故則，又在上，故，即，由題意可得，故點(diǎn)的軌跡方程為，為橢圓除去4個(gè)頂點(diǎn)例64（2022廣東高三階段練習(xí)）已知橢圓的離心率是，其左、右頂點(diǎn)分別是、，且(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)、是橢圓上異于、的不同兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直

43、徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【解析】(1)由題意可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、聯(lián)立，整理得，可得，則，因?yàn)?，所以，則，且，則，因?yàn)椋?所以，解得或（舍去）則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，其中，將代入橢圓的方程可得，設(shè)點(diǎn)、，則，因?yàn)椋獾?，故直線過定點(diǎn)因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過線段的中點(diǎn)因?yàn)閮蓤A相交，則連心線垂直平分公共弦，所以，線段的中點(diǎn)為，則，且點(diǎn)不能與點(diǎn)重合，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且該圓圓心為，半徑為.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為例65（2022全國高三專題練習(xí)）已知三角形ABC

44、的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)，BC中點(diǎn)為()，F(xiàn)(2，0)，則有，兩式相減，得 ，即， F(2，0)為三角形重心，所以由，得；由，得，代入得 ，素以直線BC的方程為.（2）由ABAC得，所以 設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元，得，所以， ，代入式得，解得(舍)或，所以，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)，則，即，所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1（2022江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）復(fù)平面中有動(dòng)點(diǎn)Z，Z所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z

45、滿足，則動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡為（）A直線B線段C兩條射線D圓【答案】A【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z坐標(biāo)為，則，所以，即，化簡(jiǎn)得：，故動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡為直線.故選：A2（2022全國高三專題練習(xí)）正三角形OAB的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)C滿足，且，則點(diǎn)C的軌跡是（）A線段B直線C射線D圓【答案】D【解析】方法一：由題可知：，又所以，即所以點(diǎn)C的軌跡是圓.方法二：由題可知：，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)OB為x軸，過O點(diǎn)與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以設(shè) ，又所以整理得：所以點(diǎn)C的軌跡是圓.故選：D.3（2022全國高三專題練習(xí)）四邊形為梯形，且，點(diǎn)是四邊形內(nèi)及其邊界上的點(diǎn).若，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是（）ABCD【答案】B【解析】，

46、即.設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，由向量投影定義得，向量在向量上的投影為2，即動(dòng)點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上.在中，由余弦定理得，所以；則，所以.因?yàn)槭撬倪呅蝺?nèi)及其邊界上的點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為線段.所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：B.4（2022全國高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的軌跡為（）A線段B直線C橢圓D橢圓的一部分【答案】A【解析】，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知表示點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離之和為2，而，故點(diǎn)的軌跡為線段.故選：A5（2022河南安陽高三開學(xué)考試（文）平面上到兩條相交直線的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為平行四邊形，其中這兩條相交直線是該平行四邊形對(duì)角線所在的直線.若平面上到兩條直線，的距離之和為2

47、的點(diǎn)P的軌跡為曲線，則曲線圍成的圖形面積為（）ABCD【答案】A【解析】由題意知，曲線圍成的圖形為平行四邊形，且，y0為兩條對(duì)角線所在直線，則曲線和，的交點(diǎn)即為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；設(shè)曲線和的交點(diǎn)為，曲線和的交點(diǎn)為，則到直線的距離為0，到直線的距離為2，作軸于，則；同理可得到直線的距離為2，作于，則，又，則，則，則曲線圍成的圖形面積為.故選：A.6（2022河南鄭州四中高三階段練習(xí)（理）下列四個(gè)命題中不正確的是（）A若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)、連線PA、PB的斜率之積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分B設(shè)m，常數(shù)，定義運(yùn)算“*”：，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分C已知兩圓、圓，動(dòng)圓M與圓A外切、與圓

48、B內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡是橢圓D已知，橢圓過A，B兩點(diǎn)且以C為其一個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡為雙曲線【答案】D【解析】A，設(shè)，則，變形得：，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分，A正確；B，設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則，即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分，B正確；C，兩圓心坐標(biāo)分別是，半徑分別為1,5，設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為 r ，則，動(dòng)圓的圓心的軌跡是橢圓，故C正確；D，設(shè)另一焦點(diǎn)為，因?yàn)?，由橢圓定義得，即，所以，即橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支，故D錯(cuò)誤.故選：D.7（2022全國高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡

49、長(zhǎng)度為（）A2BCD【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：分別是棱的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，所以平面平?因?yàn)辄c(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，直線與平面無公共點(diǎn)，所以的軌跡為線段，則.故選：B8（2022安徽合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文）首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競(jìng)賽場(chǎng)館，它的設(shè)計(jì)創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動(dòng)，被形象地稱為雪飛天中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺(tái)和男子單板滑雪大跳臺(tái)比賽的金牌雪飛天的助滑道可以看成一個(gè)線段和一段

50、圓弧組成，如圖所示.假設(shè)圓弧所在圓的方程為，若某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（）ABCD【答案】C【解析】由于某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，故,所以直線所在的方程為：，代入，解得 或 （舍，離y軸較遠(yuǎn)的點(diǎn)），所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于起跳后的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在軸上的拋物線的一部分，故設(shè)拋物線方程為：，則，則由M點(diǎn)處切線斜率為1可得，又，解得，所以該拋物線的軌跡方程為，即，故選：C.二、多選題9（2022福建省福州第一中學(xué)三模）已知曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離之和

51、等于4的點(diǎn)的軌跡，若在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（）A曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱CD【答案】BD【解析】由題，曲線C上任意一點(diǎn)，則.當(dāng)時(shí)，即，化簡(jiǎn)得，且；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)可得，且，畫出曲線C的圖象：對(duì)A,B，顯然圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，解得，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)榧吹慕裹c(diǎn)為，故拋物線的焦點(diǎn)為，同理也是拋物線的焦點(diǎn).故的最小值為到的距離1，最大值為方程左右端點(diǎn)到的距離，故，故D正確；故選：BD10（2022全國高三專題練習(xí)）已知拋物線C：(0)的焦點(diǎn)F與圓的圓心重合，直線與C交于兩點(diǎn)，且滿足：(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)且A、B均不與O重合)，則()AB直線恒

52、過定點(diǎn)CA、B中點(diǎn)軌跡方程：D面積的最小值為16【答案】ABD【解析】圓可化為，則，半徑r=1，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線C的方程為，由題可知直線l斜率若存在，則斜率不為0，故設(shè)l為，由，得，則，即，則，解得或(舍，否則直線l過原點(diǎn))，故A正確；直線方程為，恒過定點(diǎn)，故B正確；設(shè)中點(diǎn)為，則，消去參數(shù)得，故C錯(cuò)誤；，原點(diǎn)到直線的距離為，時(shí)，為最小值，故D正確故選：ABD11（2022福建模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，若，的面積為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A若，則B若，則C若為銳角三角形，則D若的重心為，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡方程為【答案】ACD【解析】對(duì)A，根據(jù)焦點(diǎn)三角形

53、的面積公式：，將代入可得：，故A正確；對(duì) B，當(dāng)時(shí)，即，即，又，故，由，即解得：，故B錯(cuò)誤；對(duì) C，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故C正確；對(duì) D，設(shè)，則，由題設(shè)知，則，故D正確.故選：ACD.12（2022全國高三專題練習(xí)）已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線、相交于點(diǎn)，且兩直線的斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是（）A當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡圓（除去與軸的交點(diǎn)）B當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓（除去與軸的交點(diǎn)）C當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的拋物線D當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線（除去與軸的交點(diǎn)）【答案】ABD【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線AP，BP的斜率為，由已知得，化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡圓（除去與軸的交點(diǎn)）所

54、以正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓（除去與軸的交點(diǎn)），所以B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的拋物線，不正確，應(yīng)該是雙曲線，所以C不正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線（除去與軸的交點(diǎn)），所以D正確；故選：ABD三、填空題13（2022浙江高三開學(xué)考試）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸軸于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是_.【答案】【解析】由得，因?yàn)榕c雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，即相切于點(diǎn)，所以化簡(jiǎn)得，所以過點(diǎn)且與垂直的直線為，所以，所以所以點(diǎn)的軌跡是.故答案為：14（2022江西上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文）已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與到直線l的距離之比為；已知圓C的方程為，直線l為圓C的切線，記點(diǎn)，到直線l的距離分別為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，；點(diǎn)S，T分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足；在，這三個(gè)條件中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W為橢圓的是_【答案】【解析】對(duì)于，設(shè)，根據(jù)題意，整