甘肅省武威2023學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1馬林梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P1（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖

2、所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A3B4C5D62復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則（ ）ABCD3已知命題若，則，則下列說法正確的是（ ）A命題是真命題B命題的逆命題是真命題C命題的否命題是“若，則”D命題的逆否命題是“若，則”4金庸先生的武俠小說射雕英雄傳第12回中有這樣一段情節(jié)，“洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（ ）A20B24C25D265設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為( )ABC

3、D6已知銳角滿足則（ ）ABCD7設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上，且點(diǎn)不共線.若的周長的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD8已知，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A-1B7C1D1或79拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）ABCD10已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中正確的是（ ）ABCD11某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計(jì)劃維修費(fèi)用超過15萬元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為（ ）A8年B9年C10年D

4、11年12下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的展開式中，的系數(shù)是_.14設(shè)函數(shù) 滿足,且當(dāng)時(shí),又函數(shù),則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.15己知函數(shù)，若關(guān)于的不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.16某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是_；最長棱的長度是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.18（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且.19（12分）已知拋物線

5、的焦點(diǎn)為，直線交于兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）.（1）若直線過點(diǎn),，求的方程；（2）當(dāng)時(shí)，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由.20（12分）已知數(shù)列an滿足條件，且an+2（1）n（an1）+2an+1，nN*（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn，Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求證：Sn21（12分）已知圓M：及定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在上，點(diǎn)G在上，且滿足，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動(dòng)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.22（10分）購買一輛某品牌新能源汽車，在行駛?cè)?/p>

6、年后，政府將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對擬購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）將頻率視為概率，從擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取人，記對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）統(tǒng)計(jì)最近個(gè)月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份銷售量（萬輛）試預(yù)計(jì)該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛？附：對于一組樣本數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考答案一、選擇

7、題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】模擬程序的運(yùn)行即可求出答案【詳解】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：p1，S1，輸出S的值為1，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p3，S7，輸出S的值為7，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p5，S31，輸出S的值為31，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p7，S127，輸出S的值為127，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p9，S511，輸出S的值為511，此時(shí)，不滿足條件p7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題2B【解析】求得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)

8、數(shù)除法運(yùn)算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】解不等式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項(xiàng)正確；命題的否命題是“若，則”，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)睛】本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4D【解析】利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利

9、用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.5B【解析】由圓過原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，得，從而直線傾斜角為，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積【詳解】由題意圓過原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大

10、增加，甚至沒法求解6C【解析】利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，因?yàn)殇J角，所以，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.7A【解析】依題意可得即可得到，從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；【詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.8C【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡可得.解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9B【解析】通過拋物線的定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大即可，作

11、出切線方程即可求出比值的最小值【詳解】解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作垂直直線于，由拋物線的定義可知，連結(jié)，當(dāng)是拋物線的切線時(shí)，有最小值，則最大，即最大，就是直線的斜率最大，設(shè)在的方程為：，所以，解得：，所以，解得，所以，故選：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10D【解析】根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷；根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷.【詳解】對于，若，兩平面相交，但不一定垂直，故錯(cuò)誤；對于，若，則，故正確；對于，若，當(dāng)，則與不平行，故錯(cuò)誤；對于，若，則，故正確；故選：D【點(diǎn)

12、睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.11D【解析】根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，由，估計(jì)第年維修費(fèi)用超過15萬元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，然后對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，在上為減函數(shù).A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，在上為增函?shù)，不符合.B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，不符?C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，在上為減函數(shù)，符合.D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，不符?故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考

13、查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先將原式展開成，發(fā)現(xiàn)中不含，故只研究后面一項(xiàng)即可得解.【詳解】，依題意，只需求中的系數(shù)，是.故答案為：-40【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì)，關(guān)鍵是先展開再利用排列組合思想解決，屬于基礎(chǔ)題.141【解析】判斷函數(shù)為偶函數(shù)，周期為2，判斷為偶函數(shù)，計(jì)算，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像到答案.【詳解】知，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)關(guān)于對稱。，故函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，且。為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)先增后減。當(dāng)時(shí)，函數(shù)先增后減。在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在上的圖像，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有1個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1故答案為：.

14、【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，確定函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.15【解析】首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，由此不等式對任意的恒成立，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而建立不等式組，解出即可得到答案【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，顯然此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，不等式即為，在上恒成立，解得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題，屬于常規(guī)題目16 【解析】由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，側(cè)棱底面，由棱錐體積公式求棱錐體積，由勾股定理求最長棱的長度【詳解】

15、由三視圖還原原幾何體如下圖所示：該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，側(cè)棱底面，則該幾何體的體積為，因此，該棱錐的最長棱的長度為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積、棱長，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1)；(2)見解析【解析】(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值； (2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，即，即可證出【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)閷θ我夂愠闪?，即對任意恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；

16、當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以要使在時(shí)恒成立，則只需，即，令，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，故滿足條件的的值只有(2)由(1)知，所以，令，則，當(dāng)，時(shí)，即在上單調(diào)遞增；又，所以，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且所以， 即，所以，即【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性的考查，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題18（1）（2）證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)，可得（1），（1），結(jié)合已知切線方程即可求得，的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)可得，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求

17、其最值即可得證【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（1），（1），故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，又曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，；（2）證明：由（1）知，則，令，則，易知在單調(diào)遞減，又，（1），故存在，使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，由于，（1），（2），故存在，使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且，即，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，由于，故（2），即，【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查推理論證能力，屬于中檔題19（1）（2）直線過定點(diǎn)【解析】設(shè).（1）由題意知，.設(shè)直線的方程為，由得，則，由根與系數(shù)的關(guān)系可

18、得，所以.由，得，解得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，由得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得， 所以，解得.所以直線的方程為，所以時(shí)，直線過定點(diǎn).20（）（）證明見解析【解析】（）由an+2（1）n（an1）+2an+1，對分奇偶討論，即可得；（）由（）得，用錯(cuò)位相減法求出，運(yùn)用分析法證明即可.【詳解】（），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，又由，得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，又由a23，得，；（）由（1）得，則-可得：，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.21（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡