福建省莆田市第二十五2023年高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請按要求用筆。3請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若集合，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABCD2在菱形中，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）ABC5D3某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱

2、錐的體積為（ ）ABCD4若函數(shù)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD5已知直線yk（x1）與拋物線C：y24x交于A，B兩點(diǎn)，直線y2k（x2）與拋物線D：y28x交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)|AB|2|MN|，則（ ）A16B16C120D126中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（ ）A2或B2或C或D或7在三角形中，求（ ）ABCD8已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，均位于第一象限，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD9設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限10已知圓關(guān)

3、于雙曲線的一條漸近線對稱，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD11定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（ ）ABCD12阿波羅尼斯（約公元前262190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，當(dāng)，不共線時(shí)，的面積的最大值是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_.14設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_15已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在定義域上有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.16已知兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，若恒為

4、銳角，則橢圓的離心率的取值范圍為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b（a2+c2b2）a2ccosC+ac2cosA（1）求角B的大小；（2）若ABC外接圓的半徑為，求ABC面積的最大值.18（12分）已知數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列為等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍20（12分）已知a0，證明：121（12分）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求

5、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).22（10分）在； 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足_，求的面積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】據(jù)題意以菱形對角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系

6、，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題，如果直接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.3B【解析】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題4C【解析】轉(zhuǎn)化有1個(gè)零點(diǎn)為與的圖象有

7、1個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時(shí)的斜率，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)記，則過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過原點(diǎn)，即，將，代入解得所以切線斜率為，所以或故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.5D【解析】分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，可得，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)， 聯(lián)立則，因?yàn)橹本€經(jīng)過C的焦點(diǎn)， 所以.同理可得，所以故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問題，運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。6A【解析】根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程

8、，再分焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論，進(jìn)而求得雙曲線的離心率【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得： ，得雙曲線的一條漸近線的方程為 焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)有： 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有： 求得雙曲線的離心率 2或故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線 的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值此題易忽視兩解得出錯(cuò)誤答案7A【解析】利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理

9、得，整理得，由余弦定理得，.由正弦定理得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8D【解析】 由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上的一點(diǎn)，為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點(diǎn)，且,點(diǎn)在直線上，并且，則，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次

10、式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)9C【解析】化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10C【解析】將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為.因?yàn)殡p曲線，所以其漸近線方程為，又因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì) ，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11A【解析】由已知新運(yùn)

11、算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.12A【解析】根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，則，化簡得，當(dāng)點(diǎn)到（軸）距離最大時(shí)，的面積最大，面積的最大值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由分段函數(shù)可得不滿足題意；時(shí)，可得，即有，解方程可得，4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，時(shí)，時(shí)，當(dāng)關(guān)于的不等式的解

12、集為，可得不成立，時(shí)，時(shí)，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn)綜上可得的所有值的和為1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題14-8【解析】通過約束條件，畫出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題，通過圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示：令，則即為在軸截距的最大值由圖可知：當(dāng)過時(shí)，在軸截距最大本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的型最值的求解問題，關(guān)鍵在于將所求最值轉(zhuǎn)化為在軸截距的問題.15【解析】由題意可在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)與函數(shù)

13、的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，運(yùn)用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立可得有兩個(gè)解，即可設(shè)，則，進(jìn)而且不恒為零，可得在單調(diào)遞增.由可得時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時(shí)，有兩個(gè)解.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題，還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于難題.16【解析】根據(jù)題意可知圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直，恒為銳角，只需直線 與圓相離，從而可得，解不等式

14、，再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直，因此當(dāng)直線 與圓相離時(shí)， 恒為銳角，故，解得 從而離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了邏輯分析能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）B（2）【解析】（1）由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡可求cosB，進(jìn)而可求B；（2）由已知結(jié)合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閎（a2+c2b2）ca2cosC+ac2cosA，即2bcosBacosC+c

15、cosA由正弦定理可得，2sinBcosBsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB，因?yàn)椋?，所以B；（2）由正弦定理可得，b2RsinB2，由余弦定理可得，b2a2+c22accosB，即a2+c2ac4，因?yàn)閍2+c22ac，所以4a2+c2acac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào)，即ac的最大值4，所以ABC面積S即面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.18（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列，通過直接對進(jìn)行賦值計(jì)算出的首項(xiàng)和公比，即可求解出的通項(xiàng)公式；（2）的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的

16、形式，采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.【詳解】（1）數(shù)列為等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公比為，解得（2），.【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用，難度一般.判斷是否適合使用錯(cuò)位相減法，可根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來判斷.19（1）；（2）【解析】（1）,對函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線方程;（2）對求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?所以,所以,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;當(dāng)時(shí),令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符

17、合題意;當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.20證明見解析【解析】利用分析法，證明a即可【詳解】證明：a0，a1，a10，要證明1，只要證明a1（a）14（a）+4，只要證明：a，a1，原不等式成立【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，著重考查分析法的運(yùn)用，考查推理論證能力，屬于中檔題21（1）； （2）證明見解析，.【解析】（1）根據(jù)離心率和的面積是得到方程組，計(jì)算得到答案.（2）先排除斜率為0時(shí)的情況，設(shè)，聯(lián)立方程組利用韋

18、達(dá)定理得到，根據(jù)化簡得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與直線關(guān)于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設(shè)條件矛盾，故直線的斜率不為0.設(shè)，直線的方程為聯(lián)立，整理得則，.因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為1，所以，所以，將，代入上式，整理得.所以，即，則直線的方程為.故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線過定點(diǎn)問題，計(jì)算出是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.22橫線處任填一個(gè)都可以，面積為【解析】無論選哪一個(gè)，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式，展開后，可求得角，再由余弦定理求得，從而易求得三角形面積【詳解】在橫線上填寫“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”.