SARS傳播模型建立與仿真

1、文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.SARS傳染病模型建立與預(yù)測(cè)張亞新劉洪光田香玉摘要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，本文建立了SARS傳播的微分方程模型，即：dN( t)s(t)N ( t)r( t) N(t )d( t)N ( t) ，其中 N(t) 表示 t 時(shí)刻的 SARS病人數(shù)，s(t)表示 tdt時(shí)刻的傳播率，r(t) 表示表示t 時(shí)刻的治愈率， d(t) 表示表示t 時(shí)刻的死亡率。 本文用 s(t) 、r(t) 、d(t)三個(gè)參數(shù)較好地描述了SARS的傳播過(guò)程。通過(guò)采集6 月 20 號(hào)以前的數(shù)據(jù)，結(jié)合各個(gè)參數(shù)代表的實(shí)際意義，對(duì)他們分別進(jìn)行指數(shù)回歸分析，得到了s(

2、t) 、r(t)、 d(t)的表達(dá)式，較好地刻劃了SARS的傳播規(guī)律，并對(duì)疫情作出了預(yù)測(cè)。本模型的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在：1、通過(guò)回歸分析的方法使離散的點(diǎn)連續(xù)化；2、用微分方程描述SARS的傳播問(wèn)題更加準(zhǔn)確。本文利用Matlab 軟件，對(duì)復(fù)雜的微分方程進(jìn)行了求解。利用附件 1 提供的散點(diǎn)數(shù)據(jù)，得到了SARS病人數(shù)目隨時(shí)間變化的曲線預(yù)測(cè)圖。預(yù)測(cè)了在6 月 12日左右疫情將得到緩解，在 7 月中旬將基本消除。經(jīng)檢驗(yàn)， 我們的預(yù)測(cè)與實(shí)際情況是相吻合的。文中調(diào)整s(t) 、r(t) 、 d(t) 來(lái)對(duì)模型的結(jié)果進(jìn)行控制，畫(huà)出提前5 天和推后5 天進(jìn)行隔離時(shí)病人數(shù)和時(shí)間的曲線，其結(jié)果與實(shí)際情況是相符的。本文建立的微

3、分方程模型能夠較好地對(duì) SARS的傳播過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)，并為政府部門(mén)提供決策依據(jù)，具有一定的普遍適用性。關(guān)鍵詞 ： SARS微分方程模型控制參數(shù)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)SARS（ Severe Acute Respiratory Syndrome ，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱(chēng)： SARS型肺炎）是 21 世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、 為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。因此建立一個(gè)適合可靠的傳染病模型為 SARS病毒的預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息源意義重大。一、模型的

4、假設(shè)1.1 模型假設(shè) :1文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.1將 SARS所有可能的傳播途徑都視為與病源的直接接觸。2在模型的建立中所采用的數(shù)據(jù)都是根據(jù)衛(wèi)生部所公布的數(shù)據(jù)，假設(shè)這些數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。3我們把整個(gè)人群看作由兩個(gè)系統(tǒng)組成，傳染系統(tǒng)和非傳染系統(tǒng)。傳染系統(tǒng)完全由活著的SARS病人組成， 且只有活著的SARS病人才具有傳染能力，該病人一旦治愈或一旦死亡我們就看作其退出傳染系統(tǒng)。所有的非SARS病人組成非傳染系統(tǒng)，其中每個(gè)成員都有可能被傳染成為 SARS患者。4非傳染系統(tǒng)的成員一旦受傳染就立即進(jìn)入傳染系統(tǒng)（不考慮潛伏期），并被確診通報(bào)。5在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)出

5、現(xiàn)治療SARS的特效藥。1.2 符號(hào)規(guī)定1、 N(t) ：在 t 時(shí)刻，具有傳染能力的SARS病人；2、 Nn ：第 n 天, 具有傳染能力的SARS病人 ;3、 s(t)：在 t 時(shí)刻的傳染率，即在單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)病人傳染的人數(shù)；4、 sn：第 n 天的傳染率，即在這一天平均每個(gè)病人傳染的人數(shù)；5、 R(t) ：在 t 時(shí)刻，被治愈出院的病人數(shù)；6、 Rn：第 n 天，被治愈出院的病人數(shù)；7、 r(t) ：在 t 時(shí)刻的治愈率，即R(t )r ( t)N( t) ；8、 D(t)： t 時(shí)刻的死亡人數(shù)；9、 Dn ：第 n 天的死亡人數(shù)；10、 d(t) : 在 t 時(shí)刻的死亡率，即D(t

6、 )d( t)N ( t)；11 、 Q(t) ： t時(shí) 刻退出傳染系 統(tǒng) 的 人數(shù) （ 包 括t時(shí) 刻死 亡 人 數(shù) 和治愈 人 數(shù) ） , 即：Q( t)D( t)R(t ) ；2文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.12、 q(t) ：在 t 時(shí)刻的退出率，即 q( t)Q( t)r (t ) d(t ) ；N ( t)二、模型的建立與求解在 SARS爆發(fā)的初期 , 由于潛伏期的存在, 社會(huì)對(duì) SARS病毒的傳播速度和危害程度認(rèn)識(shí)不夠 , 所以政府和公眾并不以為然; 當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)被感染者不斷增加、死亡人數(shù)不斷增多時(shí),政府開(kāi)始采取多種措施以控制SARS的進(jìn)一步蔓

7、延.所以 SARS的傳播可以分為三個(gè)階段:1）控制前的自然傳播模式階段。2）過(guò)渡期階段， 即公眾開(kāi)始意識(shí)到 SARS的嚴(yán)重性到政府采取隔離措施前的一段時(shí)間內(nèi)。3）控制階段，即政府采取隔離治療措施階段。但是 ,傳播的概率考慮。不管 SARS傳播處于哪個(gè)階段， 影響傳播最本質(zhì)的因素是 : 自由傳染者的數(shù)量 N(t), s(t) 及病毒本身的傳播能力 (用 R(t) 和 D(t) 來(lái)衡量 )等。所以我們不分階段進(jìn)行第 n 天的病人是在第n-1 天的基礎(chǔ)上加上新增的病人，減去退出傳染系統(tǒng)的病人，即：移項(xiàng)得N n D nR n1(1)sn 1N n1經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換，得取微分得到下面連續(xù)的方程即：由此得到 SA

8、RS的傳播模型為：其中 s(t)、 d(t)、 r(t)等參數(shù)可以為我們提供所需要的信息。我們只要能夠知道s(t)、d(t)、r(t)的表達(dá)式，便可以求解微分方程得到N(t)。我們根據(jù)附件1 中 6 月 20 號(hào)以前的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到s(t)、d(t)、r(t)的走勢(shì)曲線，從3文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.而實(shí)現(xiàn)對(duì)N（ t ）的預(yù)測(cè)。2.1對(duì)于 s(t)-傳染率我們根據(jù)附件1 市疫情的數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）式對(duì) s進(jìn)行描點(diǎn)，得到一些s 的散點(diǎn)圖。隨著時(shí)間的推移，隔離措施、醫(yī)療保障、公眾健康意識(shí)的加強(qiáng)，s 值應(yīng)該急劇減小，并趨近于0。因此對(duì)散點(diǎn)進(jìn)行指數(shù)回歸分析（

9、利用 Matlab 軟件），便可得到s 關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)函數(shù) s（ t ） , 如圖 1 所示 .將附件 1 中的數(shù)據(jù)以excel 表格的形式導(dǎo)入到matlab 中并命名為sheet主程序?yàn)?:N=sheet(:,1)-sheet(:,2)-sheet(:,3);for i=2:65D(i-1)=sheet(i,2)-sheet(i-1,2);O(i-1)=sheet(i,3)-sheet(i-1,3);endD=D;O=O;for i=1:64s(i)=(N(i+1)+D(i)+O(i)./N(i)-1;ends=s;cftool在 Curve Fitting Tool 窗口中選擇 X da

10、ta、 Y data，進(jìn)行 Exponential 指數(shù)擬合繪圖如下：圖 1從圖中可以看出，擬合出的指數(shù)函數(shù)與散點(diǎn)數(shù)據(jù)基本吻合。4文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.根據(jù)新增死亡病例和新增治愈病例的數(shù)據(jù)，也可以得到d 和 r 的散點(diǎn)圖。2.2 對(duì)于 d(t) - 死亡率隨著醫(yī)療水平的提高以及對(duì)SARS病毒研究的深入，死亡率將逐漸減少，我們對(duì)的散點(diǎn)圖進(jìn)行指數(shù)回歸分析，即得d(t)（如圖 2）。圖 22.3 對(duì)于 r(t) - 治愈率在 SARS疫情蔓延的初期， 傳染系統(tǒng)的人數(shù)較少， 由于人們對(duì) SARS病毒的了解不多， 防危意識(shí)不強(qiáng)，導(dǎo)致疫情的爆發(fā)， 傳染系統(tǒng)的人

11、數(shù)急劇增加，治愈率呈現(xiàn)降低的趨勢(shì)；隨著政府的干預(yù)， 人們防危意識(shí)的增強(qiáng)， 治愈率開(kāi)始增加。 同樣我們對(duì)它進(jìn)行指數(shù)回歸分析得到如下結(jié)果（圖 3）：圖 3將得到的s(t) 、 d(t)、 r(t) 代入微分方程，得我們利用 matlab 的微分方程數(shù)值求解命令 ode45 （），求得 N(t) 的數(shù)值解，并畫(huà)出隨著時(shí)間變化的曲線（圖 4）：Matlab 求解命令為：建立 M 文件 eq1.mfunction dN=eq1(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)*N主程序：t,N=ode

12、45(eq1,1 80,288);plot(t,N,r)圖 4三 模型結(jié)果的分析與檢驗(yàn)5文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.3.1 模型與實(shí)際情況作對(duì)比圖進(jìn)行分析圖 5說(shuō)明： Y 軸表示 SARS病人數(shù) ，紅色曲線表示我們得到的預(yù)測(cè)曲線；離散點(diǎn)表示實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)由預(yù)測(cè)曲線可以看出：病情在 5 月 12 號(hào)左右達(dá)到 “高潮期” ，即圖中曲線上升最快到開(kāi)始平緩的過(guò)渡時(shí)期；疫情大約在 6 月 12 號(hào)之后開(kāi)始緩解。 ；?感染系統(tǒng)大概在x=70 時(shí)將降到0，因此，我們預(yù)計(jì)SARS疫情將在7 月中旬得到基本的消除，即疫情的“最終控制期”；實(shí)際情況是：病情在 5 月 15 號(hào)

13、達(dá)到最高峰，比模型中的結(jié)果晚到三天，誤差較小。值得注意的是， 我們所要預(yù)測(cè)的是 6 月以后的發(fā)展趨勢(shì)， 因此這里產(chǎn)生的誤差對(duì)預(yù)測(cè)不會(huì)造成太大影響。疫情大約在 6 月 12 號(hào)之后開(kāi)始緩解；由圖上可以看出，在 6 月之后，預(yù)測(cè)曲線和實(shí)際離散點(diǎn)開(kāi)始接近；? 通過(guò)在網(wǎng)上查閱資料3 ，可以知道在 7 月 15 日全國(guó)僅有15 人 SARS病人接受治療，可以認(rèn)為疫情已經(jīng)基本消除，和預(yù)測(cè)模型的結(jié)果相吻合。由以上對(duì)比我們知道，建立的微分方程模型較完整地刻劃了SARS病人數(shù)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，較好地解決了非典疫情的預(yù)測(cè)問(wèn)題。3.2 靈敏度分析通過(guò)查閱文獻(xiàn)知，治愈率o(t ) 的倒數(shù)為平均傳染周期，我們假設(shè)一旦進(jìn)

14、行嚴(yán)格隔離，則傳染周期將減小。設(shè)提前 T 天進(jìn)行嚴(yán)格隔離，則原模型修改為：6文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.當(dāng) T5時(shí)，分別代入相應(yīng)的參數(shù)求解得到兩條曲線，與T0 時(shí)進(jìn)行比較 .建立 M文件eq1.mfunction dN=eq1(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+0.001117*exp(0.08967*t)*N;eq2.mfunction dN=eq2(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+1/(1/(0.00111

15、7*exp(0.08967*t)+5)*N;eq3.mfunction dN=eq3(t,N)dN=(0.4485*exp(-0.18*t)-(0.01118*exp(-0.07644*t)+1/(1/(0.001117*exp(0.08967*t)-5)* N;主程序：x=1:1:65t,N1=ode45(eq1,1 80,288);t,N2=ode45(eq2,1 80,288);t,N3=ode45(eq3,1 56,288);%提前 5天控制在 matlab 中積分區(qū)間只能取到56plot （ t,N1, r,t,N2, g， t,N3, k,x,N, b.）圖 6說(shuō)明：黑色曲線表示提

16、前5 天進(jìn)行隔離；綠色曲線表示延后5 天進(jìn)行隔離由圖上可以看出按照我們提出的模型，提前采取嚴(yán)格的隔離措施7文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.能夠大大縮短傳染病的持續(xù)時(shí)間（大約能提前25 天）；能提前進(jìn)入疫情控制期；能對(duì)疫情進(jìn)行有效地控制，這和實(shí)際情況也是完全吻合的。除了及時(shí)采取隔離措施以外，其他能夠縮短平均傳染周期1的措施都能夠有效地提r( t)高治愈率。如：對(duì)抗病毒藥物的研究，建立緊急防疫機(jī)制，提高醫(yī)療軟、硬件水平等。通過(guò)以上兩個(gè)方面的分析， 我們認(rèn)為我們的模型在刻劃 SARS 病毒的傳播方面具有較強(qiáng)的針對(duì)性，可為預(yù)防和控制 SARS 疫情提供可靠、足夠信息

17、。3.3 模型的評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)a我們?cè)谀Ｐ徒⒌倪^(guò)程中，充分考慮到治愈和死亡這兩因素對(duì)SARS病人數(shù)的的影響，引進(jìn)了治愈率r （ t） 和死亡率d（ t） ，使模型更加貼近實(shí)際。b在數(shù)據(jù)有限的情況下，我們根據(jù)分析參數(shù)應(yīng)有的變化規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)回歸分析，使離散的點(diǎn)連續(xù)化，建立了s、 r、 d 關(guān)于時(shí)間t 的函數(shù)關(guān)系式。c利用 s(t)、r(t) 、d(t), 我們利用求解微分方程的方法找到了N 關(guān)于時(shí)間t 的連續(xù)函數(shù)，使得SARS的傳播問(wèn)題描述的更加準(zhǔn)確。在這里我們對(duì)模型中的q(t ) 做一些討論，作q(t) 的實(shí)際散點(diǎn)圖如下圖7 所示：圖 7由于所以，q（ t）0.01118e 0 .07

18、644 t 0.001117 e0.08967 t ，畫(huà)出其曲線得如下圖 8 所示：圖 8比較圖 7 和圖 8，可以看出， 盡管我們沒(méi)有對(duì)q(t ) 進(jìn)行回歸分析， 但根據(jù)已求得的q(t)8文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.關(guān)系式，仍然可以如實(shí)地反映實(shí)際數(shù)據(jù)的變化情況。這說(shuō)明模型是合理的。比較圖 3 和圖 8，還可以看出退出率的曲線和治愈率的曲線極其接近，這說(shuō)明，在影響退出率的程度上，治愈率較之死亡率是占主導(dǎo)方面的，這說(shuō)明在這場(chǎng)與SARS的斗爭(zhēng)中，我們必將取得最終的勝利！模型的缺點(diǎn)模型的假設(shè)沒(méi)有考慮潛伏期的因素，而 SARS的潛伏期一般為兩周，這是影響模型準(zhǔn)確性的一個(gè)方面；沒(méi)有考慮人員流通程度對(duì)疫情發(fā)展趨勢(shì)的影響。參考文獻(xiàn)遙感所課題攻關(guān)組， SARS