啟明學院講義等一致連續(xù)性

1、在a,b上有界.定理3.1.8設 f ( x) Ca, bf ( x)2. 最大值和最小值定理定理3.1.9設f ( x) Ca,b,x1 , x2 a, b,s.t.有f ( x1 ) max f ( x),xa,bx a, b,f ( x2 ) minf ( x).xa,bax2x 1 bxyoy f ( x)f a, b1. 有界性定理 (a,b) ,s.t.f ( ) 0.3.零點定理定理3.1.10f ( x) Ca, b , 且 f (a) f (b) 0ab23f (b) B,oyabxy f (x)BA一點 (a,b),使f ( ) .4.介值定理定理3.1.11設 f ( x

2、) Ca,b , 且 f (a) A,A B , 則對 A 與 B 之間的任一數 ,至少存在推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.bxyoa介值定理示意圖mM推論示意圖2n1 a1 x a2 n1 x a2 n ,證：設p( x) x 2 n1 ax 2n0)4a2n x 2n1xp( x) x 2n1 (1 a0a1 a2n1 x 2x 2nlimp( x) ,limp( x) .xx可見 p( x ) C ( , ).故存在a b, p(a) 0, p(b) 0. (a, b), 使p( ) 0.例1.證明任意奇次代數方程必有實根.例25設函數 f ( x)在

3、區(qū)間a, b上連續(xù),且f (a) a,f (b) b.證明 (a, b),使得 f ( ) .證 令 F ( x) f ( x) x,則F ( x)在a, b上連續(xù),而 F (a) f (a) a 0,由零點定理, (a, b),F (b) f (b) b 0,使F ( ) f ( ) 0,即 f ( ) .注：若點 滿足 f ( ) ，則稱 為函數f (x) 的不動點.例3.f C (a , b), a x1x2 xn b.nkf ( x).n求證： (a , b),f ( ) 1n6k1nk 1m f ( x)n1nkf ( x).1nk 1 ( x, x), 使f ( ) k 1證明：

4、易見 f C x1, xn ,f ( x).maxx x1 , xn M令m minf ( x), M x x1 , xn 思考題：某短跑運動員跑完100米用了10秒，證明其中必有10米的距離恰好用1秒跑完.是一個局部概念5.函數的一致連續(xù)性連續(xù)的定義： 0, 0,使當 x x0 時, 恒有f ( x) f ( x0 ) .7整體化一致連續(xù)在某個區(qū)間上“一起”連續(xù)一致連續(xù)是區(qū)間上整體的性質, 強調有公共的 .連續(xù): 0, ( , x0 ).一致連續(xù): 0, ( ).與x0有關 ( , x0 )小于,f x f x .定義1 0, 0,x1, x2 I ,| x1 x2 | ,總有:|f ( x

5、1 ) f ( x2 ) | ,則稱f ( x)在 I 上一致連續(xù).顯然:f ( x)在區(qū)間 I上一致連續(xù)f ( x)在區(qū)間I上連續(xù)直觀地說,f在 I 上一致連續(xù)意味著：不論兩點 x與 x 在 I中處于什么位置, 只要它們的距離就可使 ( ).8 xx9yo x幾何解釋可以看出，一致連續(xù)要求函數變化不要“太陡”cos x在, 上一致連續(xù)；例41222cos x cos x 2sin x1 x2 sin x1 x2證明： 0,1212 cos x cos x2sin x1 x2 sin x1 x2x x當x1 x222 時,都有cos x1 cos x2 cos x cos y 2sin x y

6、 sin x y.22取 ，10 x例5.證明：f ( x) 1 在 , 上一致連續(xù)( 0).x1x2x1 x2 221f ( x1 ) f ( x2 )x2 x1111x xx2 x1 證： 0,11對 x1 , x2 , ,有取 2 ,則當時，必有xf ( x1 ) f ( x2 ) .故， f ( x) 1 在 , 上一致連續(xù)( 0).xf ( x) 1例6 C (0, 1,但不一致連續(xù).01nx 1,x 1(n N ),取點則2n1x1 x211nn11n( n1)但f ( x1 ) f ( x2 )n (n 1) 1 0 x這說明f (x) 1在( 0 , 1 上不一致連續(xù).證因為

7、1,s.t.f ( x1 ) f ( x2 ) 0 .x1 , x2 , x1 x2 0 0, 0,假設f 在I上不一致連續(xù)對任意 取N 1 N1n 12定理5（Cantor一致連續(xù)性定理）若函數 f在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則 f在a,b 上一致連續(xù).即：閉區(qū)間上的連續(xù)函數都是一致連續(xù)的.證明方法：反證法+ 致密性定理s.t.f ( xn ) f ( yn ) 0 .n13nxn , yn , xn y 10 0,n N+ ,kk 由于xn a , b , 必有收斂子列 xn,klim xnx0 a, b .證假設f 在a,b上不一致連續(xù) 設 ynk為 y的任一子列nkkknkkxn x01xn

8、0 x 0(k )kyn x0yn xnkk lim yn x0 .k 由 f連續(xù)：limf ( xn) f ( yn)kkf ( x0 ) f ( x0 ) 0,但由題設：f ( xnk) f ( yn) 0 ,k.14例7.證明： 0,為使f ( x1 ) f ( x2 ) L x1 x2 .L15取 即可.設f在I上滿足 Lipschitz 條件：L 0,x1 , x2 I , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) L x1 x2 ,求證： f在I上一致連續(xù).例8.設區(qū)間 1 的右端點為 c 1 , 區(qū)間 2 的左端點也為c , 并且 c 2 . 證明：若 f ( x) 分別在 1 ,

9、 2上一致連續(xù),則 f ( x) 在區(qū)間 1 2 上也一致連續(xù).5.16f ( x) 在a,b 上一致連續(xù);小 結設 f ( x) Ca,b,則f ( x)在a,b 上有界;f ( x) 在a,b 上達到最大值與最小值;f ( x) 在a,b上可取最大與最小值之間的任何值;當 f (a) f (b) 0時,必存在 (a,b), 使 f ( ) 0;閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(1 )化為指數函數或利用公式lim f ( x) g( x)elim( f ( x)1) g( x)1lim (cos x) ln(1 x 2 )x0lncos x1lime x0 ln(1 x 2 )x2x2limln co

10、s x lim ln cos x lim cos x 1 1x0 x02 .17x0 ln(1 x2 )2 1原式= e11. 計算：lim (cos x) ln(1 x 2 )x02. 設f (x) 定義在區(qū)間(, ) 上 ,x1 ,x2 R,有18x0limf (x x) lim f (x) f (x)x0f (x) f (0)f (x 0)f (x)f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ), 若 f (x) 在 x 0 連續(xù),證明f (x) 對一切 x 都連續(xù).提示:3.19設f Ca,，且 limf ( x)存在.x求證：f ( x)在a,)有界.證明：設 limf

11、( x) A,x N a, 使x N時,|f ( x) A | 1. |f ( x) |f ( x) A A |f ( x) A | | A | 1 A.在a, N 上f連續(xù)，必有界.x a, N ,|f ( x) | M . 令L 1 | A | M，則對一切x a,),總有|f ( x) | L.證明：令 limf ( x) A, limf ( x) B.xaxbf(x)Ax a,f ( x)x (a, b), Bx b.20即f ( ) 0.f( x)在a,b內連續(xù),而f(a 0) f(b 0) 04.f C a,b,且f (a 0)和f (b 0)存在(包括無窮大）且異號，證明： (a

12、, b)，s . t .（f） 0. (a, b)，s.t.（f） 05.證明：函數1 ,R( x) q0,x pp為既約真分數)x=0,1,或為區(qū)間(0,1)的無理數在(0,1)內任何無理點都連續(xù),任何有理點處都不連續(xù).讀題:(3)R(2 / 3) ?, R(3 / 3) ?, R( / 4) ?, R(e / 5) ?R(1/ 9) ?, R(2 / 9) ?, R(4 / 9) ?, R(7 / 9) ?R(3 / 9) ?, R(6 / 9) ?使 R( x) 1 的x有幾個?使 R( x) 1 的x有幾個?99使 R( x) 1 的x有不會超過8個.238,9使 R( x) 19的函

13、數值為:11 19使 R( x) 1的x不會超過:1 2 7(4)對于任意給定的 0,使 R( x) 的x至多有幾個? (有限個!)215.證明：函數1 ,R( x) q0,qx p ,q(p, q為正整數, p 為既約真分數)x=0,1,或為區(qū)間(0,1)的無理數在(0,1)內任何無理點都連續(xù),任何有理點處都不連續(xù).證:先證在有理點不連續(xù).x x0設 x0 為(0,1)內的有理點. 以下證lim( R( x) R( x0 ) 0.設0 xp1 .對 0(無論 如何小),在 U (x0 , )內總可以找到無理數x, 使得0q| R(x) R(x ) | 1 ,即xx0lim R(x) R(x0 ), 故R(x)在點x0 不連續(xù).22證: 再證函數在無理點連續(xù). 設 (0,1) 為無理點, 則R( ) 0.以下要證:xlim R( x) R( ) 0.即要證: 0, 0, 當 | x | 時有| R ( x) R( ) | R( x) .(i) 當x為無理數時,顯然有 | R