典型例題剖析：函數(shù)的綜合運(yùn)用

1、PAGE13函數(shù)的綜合運(yùn)用一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識(shí)在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)歷一個(gè)由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過(guò)程這個(gè)過(guò)程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，使基礎(chǔ)知識(shí)向深度和廣度發(fā)展2以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體突出數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時(shí)它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識(shí)函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化或非等價(jià)轉(zhuǎn)化因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想3要重視綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng)函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還

2、不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識(shí)但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的意識(shí)是十分重要的推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對(duì)這方面的考查，尤其是對(duì)代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的本課題在例題安排上作了這方面的考慮4函數(shù)應(yīng)用題主要研究如何利用函數(shù)思想解決生產(chǎn)實(shí)踐中的實(shí)際問題，要求各位同學(xué)有較寬的知識(shí)面，能讀懂題意，然后對(duì)問題進(jìn)行分析，靈活運(yùn)用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，建立量與量的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題材轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過(guò)對(duì)函數(shù)問題材的解決達(dá)到實(shí)際問題解決目的二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1為了能較快地解決函數(shù)綜合問題，要求各位學(xué)生（1）在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，

3、全面把握各類函數(shù)的特征，提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力（2）掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng)（3）初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識(shí)的橫向聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力（4）樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題2對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，是提高分析問題、解決問題能力的好途徑不少人在數(shù)學(xué)應(yīng)用題面前，束手無(wú)策；有的讀不懂題意；有的不會(huì)歸納抽象、建模，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)加強(qiáng)提高閱讀理解能力，然后將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想去解決問題三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1

4、不等式錯(cuò)解：錯(cuò)因：當(dāng)時(shí)，真數(shù)且在所求的范圍內(nèi)（因），說(shuō)明解法錯(cuò)誤原因是沒有弄清對(duì)數(shù)定義此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性正解例2將進(jìn)價(jià)為8元的商品，按每件10元售出，每天可銷售0件，若每件售價(jià)漲價(jià)元，其銷售量就減少10件，問應(yīng)將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤(rùn)最大，并求出這個(gè)最大利潤(rùn)錯(cuò)解：設(shè)每件售價(jià)提高元，利潤(rùn)為y元，則y=1時(shí)，（元）錯(cuò)因：沒理解題意，每天銷售0件是在定價(jià)10元時(shí)的情況下，所設(shè)的應(yīng)理解為在定價(jià)目10元的基礎(chǔ)上，再每件售價(jià)提高元，故利潤(rùn)每件應(yīng)為（2）元，此時(shí)的銷售量為（020）元正解：設(shè)每件售價(jià)提高元，利潤(rùn)為y元，則y=故當(dāng)，即定價(jià)為14元時(shí)

5、，每天可獲得最大利潤(rùn)為720元例3某工廠改進(jìn)了設(shè)備，在兩年內(nèi)生產(chǎn)的月增長(zhǎng)率都是m，則這兩年內(nèi)第二年三月份的產(chǎn)值比第一年三月份的產(chǎn)值的增長(zhǎng)率是多少錯(cuò)解：設(shè)第一年三月份的產(chǎn)值為a，則經(jīng)過(guò)二年，三月份的產(chǎn)值是a1m11,則所求增長(zhǎng)率為，或把第二年三月份的產(chǎn)值寫為a1m13錯(cuò)因：對(duì)增長(zhǎng)率問題的公式未透徹理解而造成錯(cuò)解，則此后第月的產(chǎn)值為，指數(shù)是基數(shù)所在時(shí)間后所跨過(guò)的時(shí)間間隔數(shù)正解：設(shè)第一年三月份的產(chǎn)值為a，則第四個(gè)月的產(chǎn)值為a1m，五月份的產(chǎn)值為a1m2，從此類推，則第二年的三月份是第一年三月份后的第12個(gè)月，故第二年的三月份的產(chǎn)值是a1m12，又由增長(zhǎng)率的概念知，這兩年的第二年的三月份的產(chǎn)值比第一年

6、的三月份的產(chǎn)值的增長(zhǎng)率為例4在一個(gè)交通擁擠及事故易發(fā)生路段，為了確保交通安全，交通部門規(guī)定，在此路段內(nèi)的車速v（單位：m/h）的平方和車身長(zhǎng)（單位：m）的乘積與車距d成正比，且最小車距不得少于半個(gè)車身長(zhǎng)假定車身長(zhǎng)均為（單位：m）且當(dāng)車速為50（m/h）時(shí)，車距恰為車身長(zhǎng)，問交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使在此路段的車流量Q最大車流量=錯(cuò)解：，將，代入得，又將代入得，由題意得（）將Q=（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，綜上所知，（m/h）時(shí)，車流量Q取得最大值錯(cuò)因：上述解法中結(jié)果雖然正確，但解題過(guò)程中是錯(cuò)誤的，即雖然車速要求，但在行駛過(guò)程中車速有可能低于25（m/h），所以解題材中應(yīng)分兩類情形求解，得分段函數(shù)

7、正解：（1）依題意，則顯然當(dāng)時(shí)，Q是關(guān)于的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，Q=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，車流量Q取得最大值例5定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，（1）試求的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)，若，試確定的取值范圍（4）試舉出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解：（1）在中，令得：因?yàn)?，所以，?）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè)在已知條件中，若取，則已知條件可化為：由于，所以為比較的大小，只需考慮的正負(fù)即可在中，令，則得時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，所以，綜上，可知，對(duì)于任意，均有函數(shù)在R上單調(diào)遞減（3）首先利用的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含的式子，即由，所以，直線與圓

8、面無(wú)公共點(diǎn)所以，解得（4）如點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，將一般問題特殊化，也即選取適當(dāng)?shù)奶刂担ㄈ绫绢}中令；以及等）是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個(gè)適合題目條件的函數(shù)，則有助于問題的思考和解決例6設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)此時(shí)，為偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，此時(shí)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（2）（i）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為若，則函數(shù)在上的最小值為，且（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)若，則函數(shù)在上的最小值為，且若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上的最小值為綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為點(diǎn)評(píng)：（1）探索函

9、數(shù)的奇偶性，可依據(jù)定義，通過(guò)代入有，即可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)通過(guò)可得化得此式不管還是都不恒成立，所以函數(shù)不可能是奇函數(shù)（2）由于本題中含有絕對(duì)值，需要去掉，故分類討論，既要對(duì)二次函數(shù)值域的研究方法熟練掌握，又要將結(jié)論綜合，對(duì)學(xué)生的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力及數(shù)學(xué)思想作了較好的考查例7某公司為幫助尚有萬(wàn)元無(wú)息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬(wàn)元將該商店改建成經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店，并約定用該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)逐步償還債務(wù)所有債務(wù)均不計(jì)利息已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價(jià)p（元件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實(shí)線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應(yīng)交付

10、的其它費(fèi)用為每月130元（1）若當(dāng)銷售價(jià)p為52元件時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；（2）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時(shí)每件消費(fèi)品的價(jià)格定為多少元？分析：本題題目的篇幅較長(zhǎng)，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要?jiǎng)澐侄温鋵哟?，弄清每一層次?dú)立的含義和相互間的關(guān)系，更需要抓住矛盾的主要方面由題目的問題找到關(guān)鍵詞“收支平衡”、“還清所有債務(wù)”，不難想到，均與“利潤(rùn)”相關(guān)從閱讀和以上分析，可以達(dá)成我們對(duì)題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題為此，首先應(yīng)該建立利潤(rùn)與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價(jià)名則又由圖可知：所以，由已知，當(dāng)時(shí)，即，解得即此時(shí)該店有50名職

11、工（2）若該店只安排40名職工，則月利潤(rùn)當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，S取最大值7800元當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，S取最大值6900元綜上，當(dāng)時(shí)，S有最大值7800元設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù)，依題意，有解得所以，該店最早可在5年后還清債務(wù)，此時(shí)消費(fèi)品的單價(jià)定為55元點(diǎn)評(píng)：求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過(guò)閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義（2）建模關(guān)：即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（3）數(shù)理關(guān)：運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型四、典型習(xí)題導(dǎo)練=gt，則總不改變f值域的代換是ABt=t12t=cost2用鐵管做一個(gè)形狀為直角三角形的鐵框架，

12、要使直角三角形面積為1平方米，有下列四種長(zhǎng)度的鐵管，最合理（夠用，浪費(fèi)又最少）的是（）A.4.1米3函數(shù)的圖像大致是（）1、2為方程424mm2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m=_時(shí)，1222有最小值_是實(shí)數(shù)，記M=m|m1,f=log324m4m1證明：當(dāng)mM時(shí)，f對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義，則mM2當(dāng)mM時(shí)，求函數(shù)f的最小值3求證：對(duì)每個(gè)mM,函數(shù)f的最小值都不小于16（荊州質(zhì)量檢測(cè)）某影院共有1000個(gè)座位，票價(jià)不分等次，根據(jù)該影院的經(jīng)營(yíng)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)每張票價(jià)不超過(guò)10元時(shí)，每提高一元，將有30張票不能售出，為了獲得更高的收益，需給影院定一個(gè)比較合理的價(jià)格，要求它符合以下三個(gè)基本條件：為了方便找零與算賬，票價(jià)為1元的整數(shù)倍；影院放一場(chǎng)電影成本費(fèi)用支出為5750元；（元）表示每張票的價(jià)格，用y（元）表示該影院放映一場(chǎng)電影的凈收入（1）求函數(shù)的解析式和它的定義域；（2）試問在符合基本條件的前提下，每張票價(jià)定為多少時(shí)