9連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)之集中質(zhì)量法、假設(shè)模態(tài)法、模態(tài)綜合法

1、教學(xué)內(nèi)容一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法模態(tài)綜合法有限元法連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的精確確解僅適適用于簡(jiǎn)簡(jiǎn)單構(gòu)件件形狀和和邊界條條件當(dāng)構(gòu)件形形狀復(fù)雜雜或邊界界條件復(fù)復(fù)雜時(shí)可可以采用用近似解解法各種近似似解法的的共同特特點(diǎn)：用用有限自自由度的的系統(tǒng)對(duì)對(duì)無(wú)限自自由度的的系統(tǒng)進(jìn)進(jìn)行近似似集中質(zhì)量量法假設(shè)模態(tài)態(tài)法有限元法法集中質(zhì)量量法是將連續(xù)續(xù)系統(tǒng)的的質(zhì)量集集中到有有限個(gè)點(diǎn)點(diǎn)或截面面上假設(shè)模態(tài)態(tài)法是用有限限個(gè)函數(shù)數(shù)的線性性組合來(lái)來(lái)構(gòu)造連連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的解有限元法法兼有以上上兩種方方法的特特點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/集中質(zhì)量量法集中質(zhì)量量法工程系統(tǒng)統(tǒng)的物理理參數(shù)常常常分布布不均勻勻慣性和剛剛性較大大的部件件可看作

2、作質(zhì)量集集中的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)和剛剛體慣性小和和彈性強(qiáng)強(qiáng)的部件件可抽象象為無(wú)質(zhì)質(zhì)量的彈彈簧，它它們的質(zhì)質(zhì)量可以以不計(jì)或或折合到到集中質(zhì)質(zhì)量上物理參數(shù)數(shù)分布均均勻的系系統(tǒng)，也也可近似似地分解解為有限限個(gè)集中中質(zhì)量集中質(zhì)量量的數(shù)量量取決于于所要求求的計(jì)算算精度連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)離散為為有限自自由度系系統(tǒng)后，可以采采用多自自由度系系統(tǒng)的分分析方法法進(jìn)行分分析連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/集中質(zhì)量量法集中質(zhì)量量法以等截面面梁為例例材料密度長(zhǎng)度l抗彎剛度度EI將梁均分分為四段段并將每段段的質(zhì)量量平均分分到該段段的兩端端支座處的的集中質(zhì)質(zhì)量不影影響梁的的彎曲連續(xù)梁可可用三個(gè)個(gè)集中質(zhì)質(zhì)量代替替：質(zhì)量矩陣陣：梁質(zhì)量：橫截面積積度S連續(xù)系

3、統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/集中質(zhì)量量法三個(gè)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)之間的的梁段具具有相同同的彈性性性質(zhì)由材料力力學(xué)，得得柔度影影響系數(shù)數(shù)：質(zhì)量矩陣陣：柔度矩陣陣：可以求解解系統(tǒng)固固有頻率率連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/集中質(zhì)量量法也可將連連續(xù)梁離離散為兩兩自由度度或單自自由度系系統(tǒng)在求得質(zhì)質(zhì)量矩陣陣和柔度度矩陣后后，可以以計(jì)算出出相應(yīng)的的系統(tǒng)固固有頻率率連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/集中質(zhì)量量法連續(xù)梁三自由度系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)固有頻率精確解近似解誤差近似解誤差近似解誤差0.03%0.73%6.3%0.1%3.3%0.7%（1）隨著自自由度數(shù)數(shù)目的增增加，計(jì)計(jì)算精度度提高；（2）基頻精精度較高高；（3）頻率階階數(shù)增高高，誤差差增大注：

4、在采采用集中中質(zhì)量法法時(shí)，計(jì)計(jì)算精度度與邊界界條件有有關(guān)，例例如將同同一模型型用于懸懸臂梁系系統(tǒng)，計(jì)計(jì)算精度度明顯下下降連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/集中質(zhì)量量法教學(xué)內(nèi)容容一維波動(dòng)動(dòng)方程梁的彎曲曲振動(dòng)集中質(zhì)量量法假設(shè)模態(tài)態(tài)法模態(tài)綜合合法有限元法法假設(shè)模態(tài)態(tài)法利用有限限個(gè)已知知的模態(tài)態(tài)函數(shù)來(lái)來(lái)確定系系統(tǒng)的運(yùn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律律在采用模模態(tài)疊加加法討論論連續(xù)系系統(tǒng)的響響應(yīng)時(shí)，是將連連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的解寫(xiě)寫(xiě)作全部部模態(tài)函函數(shù)的線線性組合合：模態(tài)函數(shù)：模態(tài)坐標(biāo)若取前n個(gè)有限項(xiàng)項(xiàng)作為近近似解，則有：應(yīng)該是是系統(tǒng)的的模態(tài)函函數(shù)，但但實(shí)際中中由于無(wú)無(wú)法得到到等原因因而代以以假設(shè)模模態(tài)，即即滿足部部分或全全部邊界界條件，但不一一定滿足

5、足動(dòng)力學(xué)學(xué)方程的的試函數(shù)族族：與假設(shè)設(shè)模態(tài)所所對(duì)應(yīng)的的廣義坐坐標(biāo)動(dòng)力學(xué)方方程瑞利法里茲法連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法假定模態(tài)函數(shù) 已經(jīng)確定梁的近似似解可寫(xiě)寫(xiě)為：以均質(zhì)梁梁的橫向向振動(dòng)為為例動(dòng)能：質(zhì)量陣質(zhì)量陣為為對(duì)稱陣陣連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法假定模態(tài)函數(shù) 已經(jīng)確定梁的近似似解可寫(xiě)寫(xiě)為：以均質(zhì)梁梁的橫向向振動(dòng)為為例勢(shì)能：剛度陣剛度陣為為對(duì)稱陣陣連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法有激勵(lì)存存在的拉拉格朗日日方程：或拉氏函數(shù)數(shù)：對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) 的廣義力設(shè)沿梁作作用有分分布力p(x,t)當(dāng)梁有虛位移 時(shí)，分布力的的虛功：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法有激勵(lì)存存在的拉拉格朗日日方程：或分布力的

6、的虛功：按照廣義義力的定定義：比較，得：矩陣形式式：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法有激勵(lì)存存在的拉拉格朗日日方程：或T、V、Q代入拉格格朗日方方程：廣義力：拉格朗日日方程的的矩陣形形式：彈性體的的受迫振振動(dòng)轉(zhuǎn)換換成了n自由度系系統(tǒng)的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)問(wèn)題連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法梁的近似似解：動(dòng)能：質(zhì)量陣系統(tǒng)的動(dòng)動(dòng)能：質(zhì)量陣：如果梁上上有集中中質(zhì)量m，對(duì)稱陣連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法系統(tǒng)的勢(shì)勢(shì)能：如果梁上上有卷簧簧k1和彈簧k2，勢(shì)能：剛度陣梁的近似似解：剛度陣：對(duì)稱陣連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法例：等截截面簡(jiǎn)支支梁梁中部有有一集中中質(zhì)量Ma，大小等等于梁的的質(zhì)量采用假設(shè)設(shè)模態(tài)法法

7、，求：（1）梁的前前三階固固有頻率率（2）梁的穩(wěn)穩(wěn)態(tài)橫向向強(qiáng)迫振振動(dòng)Ma集中質(zhì)量上有外力假設(shè)模態(tài)取為：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法解：若對(duì)第三三階固有有頻率的的精度要要求不高高，取n3質(zhì)量陣：Ma模態(tài)函數(shù)數(shù)陣：剛度陣：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法特征值問(wèn)問(wèn)題：固有頻率率：正則化特特征向量量：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法梁的穩(wěn)態(tài)態(tài)響應(yīng)：外力寫(xiě)成成分布力力形式：Ma強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)方程：廣義力：廣義力列列陣：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法離散化強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)方程：令：坐標(biāo)變換換：梁的穩(wěn)態(tài)態(tài)響應(yīng)：求得得代入梁的的穩(wěn)態(tài)響響應(yīng)方程程中得解解連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法假設(shè)模態(tài)態(tài)法動(dòng)力學(xué)方方程瑞

8、利法里茲法連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的瑞利利法是基基于能量量法的假假設(shè)模態(tài)態(tài)法，是是多自由由度系統(tǒng)統(tǒng)的瑞利利法的推推廣以梁的彎彎曲振動(dòng)動(dòng)為例假設(shè)梁以某階模態(tài)函數(shù)作頻率為 的自由振動(dòng)：設(shè)系統(tǒng)為為保守系系統(tǒng)，機(jī)機(jī)械能守守恒即引入系統(tǒng)統(tǒng)的參考考動(dòng)能：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法定義瑞利商：參考動(dòng)能能：當(dāng) 為準(zhǔn)確的第 i 階模態(tài)函數(shù)時(shí)，瑞利商即為相應(yīng)的特征值，即第 i 階固有頻率若 是試函數(shù)，它滿足梁的幾何邊界條件，但不滿足動(dòng)力學(xué)方程，則瑞利商是一個(gè)依賴于 的標(biāo)量試函數(shù) 越接近某階真實(shí)模態(tài)，瑞利商越接近該階固有頻率與多自由由度系統(tǒng)統(tǒng)相同，瑞利商商大于基基頻實(shí)際計(jì)算算時(shí)可選選擇梁的的靜變形形函數(shù)，或選擇擇條件相相近

9、的梁梁的精確確解作為為試函數(shù)數(shù)連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法若梁上存存在集中中質(zhì)量和和彈性支支撐則最大勢(shì)勢(shì)能和參參考動(dòng)能能相應(yīng)改改為：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法例：等截截面懸臂臂梁端部有一集中質(zhì)量用瑞利法法估計(jì)基基頻解：選擇等截截面懸臂臂梁在均均布載荷荷下的靜靜撓度曲曲線作為為試函數(shù)數(shù)：選擇端部部集中質(zhì)質(zhì)量作用用下的靜靜撓度曲曲線作為為試函數(shù)數(shù)：因集中質(zhì)質(zhì)量大于于梁的分分布質(zhì)量量，選用用后一種種試函數(shù)數(shù)好連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法假設(shè)模態(tài)態(tài)法動(dòng)力學(xué)方方程瑞利法里茲法里茲法是是瑞利法法的改進(jìn)進(jìn)瑞利法使使用單個(gè)個(gè)試函數(shù)數(shù)，而里里茲法使使用若干干個(gè)獨(dú)立立的試函函數(shù)的線線性組合合：滿足幾

10、何邊界條件里茲基函函數(shù)待定系數(shù)都是ai 的函數(shù)瑞利商：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法瑞利商：選擇系數(shù)數(shù)ai（i1,2,n），使得得瑞利商商取駐值值：得到ai的齊次代代數(shù)方程程組，其其非零解解條件可可用來(lái)計(jì)計(jì)算系統(tǒng)統(tǒng)的固有有頻率考慮梁的的彎曲振振動(dòng)，其其參考動(dòng)動(dòng)能為：定義：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法梁的彎曲曲振動(dòng)的的參考動(dòng)動(dòng)能：若梁上存存在集中中質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法梁的彎曲曲振動(dòng)，其最大大勢(shì)能：定義：固有頻率率的近似似值連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法梁的彎曲曲振動(dòng)最最大勢(shì)能能：若梁上存存在彈性性支撐連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法得特征值值問(wèn)題：可求得n個(gè)特征值 和n特

11、征向量 里茲法改改善了瑞瑞利法對(duì)對(duì)基頻的的估計(jì)，還可計(jì)計(jì)算高階階固有頻頻率n愈大，計(jì)計(jì)算精度度愈高計(jì)算精度度也與基基函數(shù)的的選選擇有關(guān)關(guān)，通常常采用冪冪函數(shù)、三角函函數(shù)、貝貝塞爾函函數(shù)或條條件相近近的有精精確解的的梁的模模態(tài)函數(shù)數(shù)作為基基函數(shù)第i階模態(tài)函函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法例：等截截面簡(jiǎn)支支梁梁中部有有一集中中質(zhì)量Ma，大小等等于梁的的質(zhì)量采用里茲茲法，求求：梁的的模態(tài)函函數(shù)近似似解Ma選取無(wú)集集中質(zhì)量量時(shí)的梁梁的模態(tài)態(tài)函數(shù)作作為里茲茲基函數(shù)數(shù)：解：基函數(shù)滿滿足自然然邊界條條件（兩兩端撓度度和彎矩矩為零）連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法離散化強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)方程：模態(tài)試函函數(shù)：若

12、對(duì)第三三階固有有頻率的的精度要要求不高高，取n3連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法模態(tài)試函函數(shù)：梁的模態(tài)態(tài)函數(shù)近近似解：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法例：楔形形懸臂梁梁?jiǎn)挝缓穸榷冉孛孀兓癁楦拷孛娣e用里茲法法求基頻頻解：截面對(duì)中中性軸的的慣性矩矩：根部截面面對(duì)中性性軸的慣慣性矩取基函數(shù)數(shù)：可以驗(yàn)證證，基函函數(shù)滿足足所有位位移邊界界條件和和力邊界界條件連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法單位厚度度截面變化化為根部截面積截面對(duì)中中性軸的的慣性矩矩：根部截面面對(duì)中性性軸的慣慣性矩基函數(shù)：取n2質(zhì)量陣：剛度陣：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法由：若取n1：精確解：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/假設(shè)模態(tài)態(tài)法教學(xué)內(nèi)容容

13、一維波動(dòng)動(dòng)方程梁的彎曲曲振動(dòng)集中質(zhì)量量法假設(shè)模態(tài)態(tài)法模態(tài)綜合合法有限元法法模態(tài)綜合合法對(duì)于由多多個(gè)構(gòu)件件組成的的復(fù)雜系系統(tǒng)，很很難找到到適合于于整個(gè)系系統(tǒng)的假假設(shè)模態(tài)態(tài)子結(jié)構(gòu)的的劃分應(yīng)應(yīng)使得子子結(jié)構(gòu)易易于分析析，并且且對(duì)接面面盡量縮縮小，以以減少子子結(jié)構(gòu)之之間的耦耦合實(shí)際工程程問(wèn)題中中低階模模態(tài)占主主要成分分，因此此對(duì)每個(gè)個(gè)子結(jié)構(gòu)構(gòu)只需要要計(jì)算少少量低階階模態(tài)，然后加加以綜合合對(duì)策：將復(fù)雜結(jié)結(jié)構(gòu)分解解成若干干個(gè)較簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的子子結(jié)構(gòu)，對(duì)每個(gè)個(gè)子結(jié)構(gòu)構(gòu)選定假假設(shè)模態(tài)態(tài)，然后后根據(jù)對(duì)對(duì)接面上上的位移移和力的的協(xié)調(diào)條條件，將將各個(gè)子子結(jié)構(gòu)的的假設(shè)模模態(tài)綜合合成總體體系統(tǒng)的的模態(tài)函函數(shù)模態(tài)綜合合法連續(xù)系統(tǒng)

14、統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/模態(tài)綜合合法等截面直直角梁的的彎曲振振動(dòng)問(wèn)題題兩根梁，長(zhǎng)度l，截面抗抗彎剛度度EI梁材料密度 ，截面積 A處固接將直角梁梁分為兩兩個(gè)子結(jié)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)：子結(jié)構(gòu)模模態(tài)的選選?。汗潭ń缑婷娣ǎ杂山缑婷娣ü潭ń缑婷娣ǎ簩勺咏Y(jié)結(jié)構(gòu)的界界面o3加以固定定，使兩兩子結(jié)構(gòu)構(gòu)成為兩兩端固定定的直梁梁滿足幾何何邊界條條件的模模態(tài)函數(shù)數(shù)：不計(jì)梁的的縱向振振動(dòng)，界界面無(wú)橫橫向位移移，但界界面可自自由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/模態(tài)綜合合法當(dāng)界面o3產(chǎn)生單位位角位移移時(shí)，各各子結(jié)構(gòu)構(gòu)滿足幾幾何邊界界條件的的模態(tài)稱稱為約束模態(tài)態(tài)，取為：滿足幾何何邊界條條件的模模態(tài)函數(shù)數(shù)：梁的橫向向位移的的模態(tài)表表達(dá)式：界面應(yīng)

15、滿滿足：位移協(xié)調(diào)調(diào)條件彎矩協(xié)調(diào)調(diào)條件代入，得得約束方方程：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/模態(tài)綜合合法記：令系統(tǒng)廣廣義坐標(biāo)標(biāo)：得：系統(tǒng)動(dòng)能能：系統(tǒng)勢(shì)能能：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/模態(tài)綜合合法系統(tǒng)得動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/模態(tài)綜合合法教學(xué)內(nèi)容容一維波動(dòng)動(dòng)方程梁的彎曲曲振動(dòng)集中質(zhì)量量法假設(shè)模態(tài)態(tài)法模態(tài)綜合合法有限元法法有限元法法20世紀(jì)五六六十年代代發(fā)展起起來(lái)的方方法吸取了集集中質(zhì)量量法與假假設(shè)模態(tài)態(tài)法的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)有限元法法是目前前工程中中計(jì)算復(fù)復(fù)雜結(jié)構(gòu)構(gòu)廣泛使使用的方方法每個(gè)單元元作為彈彈性體，單元內(nèi)內(nèi)各點(diǎn)的的位移用用節(jié)點(diǎn)位位移的插插值函數(shù)數(shù)表示（單元的的假設(shè)模模態(tài)）由于是僅僅對(duì)單元元、而非非整個(gè)結(jié)結(jié)構(gòu)

16、取假假設(shè)模態(tài)態(tài)，因此此模態(tài)函函數(shù)可取取得十分分簡(jiǎn)單，并且可可令各個(gè)個(gè)單元的的模態(tài)相相同將復(fù)雜結(jié)結(jié)構(gòu)分割割成有限限個(gè)單元，單元端端點(diǎn)稱為為節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的位移移作為廣義坐標(biāo)標(biāo)，并將單單元的質(zhì)質(zhì)量和剛剛度集中中到節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上以桿的縱向向振動(dòng)和梁的彎曲曲振動(dòng)為例進(jìn)行行介紹連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法桿的縱向向振動(dòng)單元質(zhì)量量矩陣和和剛度矩矩陣的求求解將桿劃分分為多個(gè)個(gè)單元取出其中中一個(gè)單單元進(jìn)行行分析單元長(zhǎng)l，兩端節(jié)節(jié)點(diǎn)位移移u1(t)、u2(t)x位置截面面的位移移：?jiǎn)卧僭O(shè)模態(tài)（形函數(shù)數(shù)）取為一個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)坐坐標(biāo)有單單位位移移、而其其余節(jié)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)皆皆為零時(shí)時(shí)，單元元的靜變變形函數(shù)數(shù)例如：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)

17、動(dòng)/有限元法法x位置截面面的位移移：代入，得得：?jiǎn)卧獎(jiǎng)幽苣埽簡(jiǎn)卧|(zhì)量量矩陣為常數(shù)時(shí)：材料密度：截面積連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法單元?jiǎng)菽苣埽簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠榷染仃嚍槌?shù)時(shí)：彈性模量f(x,t)對(duì)虛位移移的的虛功：與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)ue 對(duì)應(yīng)的單元廣義力列陣若軸向力力f(x,t)為常力連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法全系統(tǒng)的的動(dòng)力學(xué)學(xué)方程以上對(duì)單單元所作作的分析析必須進(jìn)進(jìn)行綜合合，以擴(kuò)擴(kuò)展到總總體結(jié)構(gòu)構(gòu)以一個(gè)例例子進(jìn)行行說(shuō)明桿劃分為為三個(gè)單單元單元質(zhì)量量矩陣：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠榷染仃嚕簡(jiǎn)卧鴺?biāo)標(biāo)連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法全部節(jié)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)列列陣：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)約束條條件：只有三個(gè)個(gè)獨(dú)立定義獨(dú)立立的廣義義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)標(biāo)列陣：

18、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)與廣義義坐標(biāo)之之間的關(guān)關(guān)系：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法全系統(tǒng)的的動(dòng)能：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法質(zhì)量矩陣陣M也可直接接利用單單元質(zhì)量量矩陣組組集而成成方法：將單元質(zhì)質(zhì)量矩陣陣me1、me2和me3的各個(gè)元元素統(tǒng)一一按qi(i=1,2,3)的下標(biāo)重重新編號(hào)號(hào)，放入入M中與編號(hào)號(hào)相對(duì)應(yīng)應(yīng)的行和和列中連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法單元質(zhì)量矩陣：和廣義坐標(biāo) 相對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法全系統(tǒng)的的勢(shì)能：也可組集集得到：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法當(dāng)桿上有有常值軸軸向力作作用時(shí)，三根桿桿的廣義義外力陣陣為：系統(tǒng)的廣廣義力陣陣：作用力的的總虛功功：與廣義坐坐標(biāo)q對(duì)應(yīng)的

19、廣廣義力陣陣也可將Fe1、Fe2和Fe3的各個(gè)元元素統(tǒng)一一按qi(i=1,2,3)的下標(biāo)重重新編號(hào)號(hào)，放入入Q中與編號(hào)號(hào)相對(duì)應(yīng)應(yīng)的行和和列中連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法用廣義坐坐標(biāo)陣q表示的廣廣義質(zhì)量量陣、廣廣義剛度度陣和廣廣義外力力陣：用廣義坐坐標(biāo)陣q表示的全全系統(tǒng)的的動(dòng)力學(xué)學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法梁的彎曲曲振動(dòng)單元質(zhì)量量矩陣和和剛度矩矩陣的求求解將梁劃分分為多個(gè)個(gè)單元取出其中中一個(gè)單單元進(jìn)行行分析：?jiǎn)卧魏瘮?shù)單元長(zhǎng)l，節(jié)點(diǎn)橫橫向位移移u1(t)、u3(t)，節(jié)點(diǎn)截截面轉(zhuǎn)角角u2(t)、u4(t)單元x位置截面面的橫向向位移：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)：選為均質(zhì)質(zhì)梁在端端點(diǎn)常值值位移作作用下的的靜撓度度曲線：連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法解得：?jiǎn)卧魏瘮?shù)應(yīng)滿滿足的邊邊界條件件：1連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法代入：形函數(shù)列列陣：?jiǎn)卧膭?dòng)動(dòng)能：材料密度：截面積單元質(zhì)量量矩陣為常數(shù)時(shí)連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)/有限元法法單元的勢(shì)勢(shì)能：抗彎