(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第24講《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式》（講）（解析版）

1、第24講 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C()：cos()coscossinsinC()：cos()coscossin_sinS()：sin()sincoscos_sinS()：sin()sincoscossinT()：tan()eq f(tan tan ,1tan tan )eq blc(rc)(avs4alco1(，f(,2)k，kZ).T()：tan()eq f(tan tan ,1tan tan )eq blc(rc)(avs4alco1(，f(,2)k，kZ).2二倍角的正弦、余弦、正切公式S2：sin 22sin

2、cosC2：cos 2cos2sin22cos2112sin2T2：tan 2eq f(2tan ,1tan2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(k,2)，且kf(,2)，kZ).題型歸納題型1 公式的直接應(yīng)用【例1-1】（2020春六盤水期末）已知sin（）=33，則cos2A223B13C【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求sin的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求解【解答】解：sin（）sin=3cos212sin212(3故選：D【例1-2】（2020春金牛區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算cos18cos42cos72sin42（）A12B12C3【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)

3、公式的應(yīng)用和余弦的和角公式的運(yùn)用求出結(jié)果【解答】解：cos18cos42cos72sin42cos18cos42sin18sin42=cos60=1故選：A【例1-3】（2020春上饒期末）若3sin2sin(+3)A233B233【分析】由兩角和的正弦公式展開整理可得3cos2sin7，兩邊平方，由基本關(guān)系式sin2+cos21可得7sin247sin+40，解出sin，進(jìn)而求出cos【解答】解：由3sin2sin(+3)7=0，化簡可得3sin212sin232cos=7，即2sin3兩邊平方可得3cos24sin247sin+7，整理可得3（1sin2）4sin247sin+7，即7si

4、n247sin+40，解得sin=2所以3cos2277所以tan=sin故選：A【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020春河池期末）已知tan=12，tan（+）=1A16B17C1【分析】由于（+），根據(jù)已知利用兩角差的正切函數(shù)公式即可計(jì)算求解【解答】解：tan=12，tan（+）tantan（+）=tan(+)tan故選：B【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春南陽期末）sin75cos45sin15sin45（）A0B12C32【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式，進(jìn)行化簡所給的式子，可得結(jié)果【解答】解：sin75cos45sin15sin45cos15cos45sin15sin45cos（15+

5、45）=1故選：B【跟蹤訓(xùn)練1-3】（2020春寧波期末）sin212A234B2+34C【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求解【解答】解：sin212故選：A【跟蹤訓(xùn)練1-4】（2020春南充期末）若cos=13，則cos2A79B89C【分析】由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求解【解答】解：cos=1cos22cos212（13）21=故選：A【跟蹤訓(xùn)練1-5】（2020春黃浦區(qū)期末）若tan2=14，則tan（+4）+tan（【分析】展開兩角和與差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案【解答】解：tan2=1tan（+4）+tan（=1+tan故答案為：12【跟蹤訓(xùn)

6、練1-6】（2020春平谷區(qū)期末）2cos2151等于 【分析】由題意利用二倍角的余弦公式，求得結(jié)果【解答】解：2cos2151cos30=3故答案為：32【名師指導(dǎo)】應(yīng)用三角公式化簡求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號(hào)反”(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用題型2 三角函數(shù)公式的逆用與變形用【例2-1】（2020重慶模擬）（1+tan19）（1+tan26） 【分析】先把所求展開，再根據(jù)兩角和的正切即可求解結(jié)論【解答】解：因?yàn)椋?+tan19）（1+tan26）1+t

7、an19+tan26+tan19tan261+tan（19+26）（1tan19tan26）+tan19tan261+1tan19tan26+tan19tan262；故答案為：2【例2-2】（2020春開江縣校級(jí)月考）已知cos(x6)=A32B3C12【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式，求得要求式子的值【解答】解：已知cos(xcosx+cos(x3)=cos（x3）cos（x3）cos3sin（x3=32cos（x3）32sin（x3=3cos（x6故選：D【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020張家口二模）1tanA12B12C3【分析】切化弦，易得原式為cos210，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，

8、特殊角的三角函數(shù)值即可求解【解答】解：1tan2105故選：D【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019秋武漢期末）化簡12sin(2)cos(+2)的結(jié)果是（）Asin2+cos2Bsin2cos2Ccos2sin2Dsin2cos2【分析】利用誘導(dǎo)公式變形，化為兩數(shù)和的平方，開方得答案【解答】解：12sin(2)cos(+2)sin|sin2+cos2|sin2+cos2故選：A【名師指導(dǎo)】兩角和、差及倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式(2)和差角公式變形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，

9、tan tan tan()(1tan tan )(3)倍角公式變形：降冪公式題型3 角的變換與名的變換【例3-1】（2020春寧波期末）設(shè)，（0，），cos=1213，cos2=255，則cos【分析】利用余弦的倍角公式以及兩角和差的正切公式進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：cos2cos2212（255）21=35則sin=45，tancos=1213，sin=513則tan（+）=tan+tan故答案為：35，【例3-2】（2020春城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）若tan3，則cos2+3sin2 【分析】先利用余弦的二倍角公式將其化簡，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將分母的1用sin2+cos2代替，然后將分式的

10、上下同除cos后，可將原式轉(zhuǎn)化為只含tan的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)即可得解【解答】解：cos2+3sin2cos2sin2+3sin2=co兩邊同除cos，原式=1+2ta故答案為：1910【例3-3】（2020春梧州期末）已知cos（2+）=32，則cos2【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，求得結(jié)果【解答】解：已知cos（2+）=32=sin， 則cos212sin2123故答案為：1【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春寧波期末）已知sin2=34，則tanA43B43C8【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡所求結(jié)合已知即可計(jì)算求解【解答】解：sin2=3則tan+1

11、故選：D【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春廣州期末）已知cos（+3）=1A13B13C2【分析】由角的轉(zhuǎn)化可得6=2（+3），進(jìn)而可得sin（6【解答】解：因?yàn)?=2所以sin（6）sin2（+3故選：A【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020春濰坊期末）已知cos(4)=A2425B1225C【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值【解答】解：由cos(4)=7210，則sin22(72故選：D【名師指導(dǎo)】1三角公式求值中變角的解題思路(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”2常見