高考真題數(shù)學分項詳解-專題30-排列組合、二項式定理【理】（解析版）

1、專題30排列組合、二項式定理【理】年份題號考點考查內(nèi)容2011理8二項式定理二項式定理的應用，常數(shù)項的計算2012理2排列與組合簡單組合問題2013卷1理9二項式定理二項式定理的應用以及組合數(shù)的計算卷2理5二項式定理二項式定理的應用2014卷1理13二項式定理二項式展開式系數(shù)的計算卷2理13二項式定理二項式展開式系數(shù)的計算2015卷1理10二項式定理三項式展開式系數(shù)的計算卷2理15二項式定理二項式定理的應用2016卷1理14二項式定理二項式展開式指定項系數(shù)的計算卷2理5排列與組合計數(shù)原理、組合數(shù)的計算卷3理12排列與組合計數(shù)原理的應用2017卷1理6二項式定理二項式展開式系數(shù)的計算卷2理6排列

2、與組合排列組合問題的解法卷3理4二項式定理二項式展開式系數(shù)的計算2018卷1理15排列與組合排列組合問題的解法卷3理5二項式定理二項式展開式指定項系數(shù)的計算2019卷3理4二項式定理利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)2020卷1理8二項式定理利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)卷3理14二項式定理利用展開式通項公式求展開式常數(shù)項大數(shù)據(jù)分析*預測高考考點出現(xiàn)頻率2021年預測考點102兩個計數(shù)原理的應用23次考2次命題角度：（1）分類加法計數(shù)原理；（2）分步乘法計數(shù)原理；（3）兩個計數(shù)原理的綜合應用核心素養(yǎng)：數(shù)學建模、數(shù)學運算考點103排列問題的求解23次考0次考點104組合問題的求解23

3、次考4次考點105排列與組合的綜合應用23次考2次考點106二項式定理23次考11次十年試題分類*探求規(guī)律考點102兩個計數(shù)原理的應用1(2016全國II理)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A24B18C12D9【答案】B【解析】由題意可知有6種走法，有3種走法，由乘法計數(shù)原理知，共有種走法，故選B2（2014新課標理1理）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為ABCD【答案】D【解析】（2012湖北理）（）（）【解析】（）4位回文數(shù)只用排列前

4、面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（19）種情況，第二位有10（09）種情況，所以4位回文數(shù)有種答案：90（）解法一：由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，位回文數(shù)和位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出位回文數(shù)的個數(shù)位回文數(shù)只用看前位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面項每項有10種情況，所以個數(shù)為解法二：可以看出2位數(shù)有9個回文數(shù)，3位數(shù)90個回文數(shù)。計算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00,11,22,99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個按此規(guī)律推導，而當奇數(shù)位時，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09這十個數(shù)，因此，則4（2011湖北理）給個自上而下相連的正方形著黑色

5、或白色當時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：由此推斷，當時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 種，（結果用數(shù)值表示）【解析】（）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（19）種情況，第二位有10（09）種情況，所以4位回文數(shù)有種答案：90（）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，位回文數(shù)和位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出位回文數(shù)的個數(shù)位回文數(shù)只用看前位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面項每項有10種情況，所以個數(shù)為法二、可以看出2位數(shù)有9個回文數(shù)，3位數(shù)90個回文數(shù)計算四位數(shù)的回文

6、數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00，11，22，99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個按此規(guī)律推導，而當奇數(shù)位時，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09這十個數(shù)，因此，則考點103排列問題的求解5（2016四川理）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為A24B48C60D72【答案】D【解析】由題意，要組成沒有重復的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應該為1、3、5中任選一個，有種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個數(shù)字中任選，進行全排列，有種方法，所以其中奇數(shù)的個數(shù)為，故選D6（2015四川理）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A14

7、4個B120個C96個D72個【答案】B【解析】據(jù)題意，萬位上只能排4、5若萬位上排4，則有個；若萬位上排5，則有個所以共有個，故選B7（2015廣東理）某高三畢業(yè)班有人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了條畢業(yè)留言（用數(shù)字作答）【答案】1560【解析】由題意，故全班共寫了1560條畢業(yè)留言8（2014北京理）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有_種【答案】36【解析】將A、B捆綁在一起，有種擺法，再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列，有種擺法，共有=48種擺法，而A、B、C3件在一起，且A、B相鄰，A、C相鄰有CAB、BAC兩種情況，將這3

8、件與剩下2件全排列，有種擺法，故A、B相鄰，A、C不相鄰的擺法由48-12=369（2013北京理）將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少一張，如果分給同一人的兩張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是 【答案】96【解析】5張參觀券分成4堆，有2個聯(lián)號有4種分法，每種分法分給4個人有種方法，總共有10（2013浙江理）將六個字母排成一排，且均在的同側，則不同的排法共有_種（用數(shù)字作答）【答案】480【解析】第一類，字母C排在左邊第一個位置，有種；第二類，字母C排在左邊第二個位置，有種；第三類，字母C排在左邊第三個位置，有種，由對稱性可知共有2(+)=480種考點104組合

9、問題的求解11【2020山東卷3】6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去個場館，甲場館安排名，乙場館安排名，丙場館安排名，則不同的安排方法共有（）A種B種C種D種【答案】C【思路導引】利用分步計算原理，結合組合數(shù)的計算，計算出不同的安排方法【解析】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去并場館，故不同的安排方法共有種，故選C12(2018全國理)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是

10、ABCD【答案】C【解析】不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)有種不同的取法，這10個數(shù)中兩個不同的數(shù)的和等于30的有3對，所以所求概率，故選C13（2017山東理）從分別標有，的張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是ABCD【答案】C【解析】不放回的抽取2次有，如圖可知與是不同，所以抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同有=40，所求概率為14（2014廣東理）設集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個數(shù)為（）A60B90C120D130【答案】D【解析】易知1或2或3，下面分三種情況討論其

11、一：1，此時，從中任取一個讓其等于1或-1，其余等于0，于是有種情況；其二：2，此時，從中任取兩個讓其都等于1或都等于-1或一個等于1、另一個等于-1，其余等于0，于是有種情況；其三：3，此時，從中任取三個讓其都等于1或都等于-1或兩個等于1、另一個等于-1或兩個等于-1、另一個等于1，其余等于0，于是有種情況由于15（2014安徽理）從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為的共有A24對B30對C48對D60對【答案】C【解析】解法一（直接法）：如圖，在上底面中選，四個側面中的面對角線都與它成，共8對，同樣對應的也有8對，下底面也有16對，這共有32對；左右側面與前后側面中共

12、有16對，所以全部共有48對解法二（間接法）：正方體的12條面對角線中，任意兩條垂直、平行或成角為，所以成角為的共有16（2013山東理）用0，1，9十個數(shù)學，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為A243B252C261D279【答案】B【解析】能夠組成三位數(shù)的個數(shù)是91010=900，能夠組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是998=648故能夠組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為17（2012新課標理）將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有A12種B10種C9種D8種【答案】A【解析】先安排1名教師和2名學生到甲地，再將

13、剩下的1名教師和2名學生安排到乙地，共有種18（2012浙江理）若從1，2，3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A60種B63種C65種D66種【答案】D【解析】和為偶數(shù)，則4個數(shù)都是偶數(shù)，都是奇數(shù)或者兩個奇數(shù)兩個偶數(shù)，則有種取法19（2012山東理）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，并且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)是A232B252C472D484【答案】C【解析】若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有=64，若2張同色，則有，若紅色1張，其余2張不同色，則有，

14、其余2張同色則有，所以共有64+144+192+72=472另解1：，答案應選C另解2：20【2020上海卷9】從6個人選4個人去值班，每人值班一天，第一天安排1個人，第二天安排1個人，第三天安排2個人，則共有 種安排情況【答案】180【解析】按照先選再排的方法可知共有種方法故答案為：18021(2018全國理)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種（用數(shù)字填寫答案）【答案】16【解析】通解可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有（種）；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有（種）根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有l(wèi)位女生人選的不同的選

15、法有16種優(yōu)解從6人中任選3人，不同的選法有（種），從6人中任選3人都是男生，不同的選法有（種），所以至少有1位女生入選的不同的選法有204=16（種）22（2014廣東理）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為【答案】【解析】6之前6個數(shù)中取3個，6之后3個數(shù)中取3個，23（2014江西理）10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是_【答案】【解析】從10件產(chǎn)品中任取4件共有=210種不同取法，因為10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，所以從中任取4件恰好取到1件次品共有種不同的取法，故所求的概率為24（2013

16、新課標2理）從個正整數(shù)1，2，中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則=_【答案】8【解析】由題意，解得25（2011湖北理）給個自上而下相連的正方形著黑色或白色當時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：由此推斷，當時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 種，（結果用數(shù)值表示）【答案】2143【解析】時，黑色正方形互不相鄰的著色方案種數(shù)分別為2，3，5，8，由此可看出后一個總是前2項之和，故時應為5+8=13，時應為8+13=21；時，所有的著色方案種數(shù)為種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有種考點10

17、5排列與組合的綜合應用26【2020全國理14】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有_種【答案】【解析】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，先取2名同學看作一組，選法有：，現(xiàn)在可看成是3組同學分配到3個小區(qū)，分法有：，根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種，故答案為：27（2017新課標理理）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A12種B18種C24種D36種【答案】D【解析】由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成

18、一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有種故選D28(2018浙江理)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)【答案】1260【解析】若取的4個數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為；若取的4個數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為綜上，一共可以組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為+=720+540=126029（2017浙江理）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有種不同的選法（用數(shù)字作答）【

19、答案】660【解析】分兩步，第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有種不同的選法；第二步，從4人中選出隊長、副隊長各一人，有種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有種不同的選法30（2017天津理）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個（用數(shù)字作答）【答案】1080【解析】分兩種情況，只有一個數(shù)字為偶數(shù)有個，沒有偶數(shù)有個，所以共有個31（2014浙江理）在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_種（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】分情況：一種情況將有獎的獎券按2張

20、、1張分給4個人中的2個人，種數(shù)為；另一種將3張有獎的獎券分給4個人中的3個人，種數(shù)為，則獲獎情況總共有36+24=60（種）考點106二項式定理32【2020全國理14】的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）【答案】【思路導引】寫出二項式展開通項，即可求得常數(shù)項【解析】，其二項式展開通項：，當，解得，的展開式中常數(shù)項是：故答案為：33【2020浙江卷12】設，則；【答案】80；51【解析】由題意可知表示的系數(shù)，即，故答案為：80；5134【2020天津卷11】在的展開式中，的系數(shù)是_【答案】10【解析】因為的展開式的通項公式為，令，解得所以的系數(shù)為故答案為：35（2020全國理8）的展開式中的系數(shù)

21、為（）ABCD【答案】C【解析】展開式的通項公式為（且），與展開式的乘積可表示為：或，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，的系數(shù)為，故選C36【2020北京卷3】在的展開式中，的系數(shù)為（）ABCD【答案】C【解析】由題意展開式的通項為Tr+1=C5r（x37（2019全國I理II理4）（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A12B16C20D24【答案】A【解析】的展開式中的系數(shù)為故選A38（2019浙江理13）在二項式的展開式中，常數(shù)項是_，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_【答案】5【解析】二項式的展開式的通項為由，得常數(shù)項是；當r=1，3，5，7，9時，

22、系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是5個39(2018全國理)的展開式中的系數(shù)為A10B20C40D80【答案】C【解析】，由，得，所以的系數(shù)為故選C40（2017新課標理）展開式中的系數(shù)為A15B20C30D35【答案】C【解析】展開式中含的項為，故前系數(shù)為30，故選C41（2017新課標理）的展開式中的系數(shù)為A80B40C40D80【答案】C【解析】的展開式的通項公式為：，當時，展開式中的系數(shù)為，當時，展開式中的系數(shù)為，所以的系數(shù)為，故選C42(2016四川理)設為虛數(shù)單位，則的展開式中含的項為A15B15C20D20【答案】A【解析】通項，令，得含的項為，故選A43（2015湖北理

23、）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為ABCD【答案】D【解析】因為的展開式中的第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項式的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為44（2015陜西理）二項式的展開式中的系數(shù)為15，則A4B5C6D7【答案】C【解析】由，知，解得或(舍去)，故選C45（2015湖南理）已知的展開式中含的項的系數(shù)為30，則ABC6D6【答案】D【解析】，令，可得，故選D46（2014浙江理）在的展開式中，記項的系數(shù)為，則=A45B60C120D210【答案】C【解析】由題意知，因此47（2014湖南理）的展開式中的系數(shù)是A20B5C5D20【

24、答案】A【解析】由二項展開式的通項可得，第四項，故的系數(shù)為20，故選A48（2014福建理）用代表紅球，代表藍球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“”表示取出一個紅球，面“”用表示把紅球和籃球都取出來以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、從5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是ABCD【答案】A【解析】分三步：第一步，5個無區(qū)別的紅球可能取出0個，1個，5個，則有種不同的取法；第二步，5個無區(qū)別的籃球都取出或都不取出，則有種不

25、同的取法；第三步，5個有區(qū)別的黑球看作5個不同色，從5個不同色的黑球任取0個，1個，5個，有種不同的取法，所以所求的取法種數(shù)為49（2013遼寧理）使得的展開式中含常數(shù)項的最小的為ABCD【答案】B【解析】通項，常數(shù)項滿足條件，所以時最小50（2013江西理）展開式中的常數(shù)項為A80B80C40D40【答案】C【解析】，令，解得，所以常數(shù)項為51（2012安徽理）的展開式的常數(shù)項是（）ABCD【答案】D【解析】第一個因式取，第二個因式取得：，第一個因式取，第二個因式取得：展開式的常數(shù)項是52（2012天津理）在的二項展開式中，的系數(shù)為A10B10C40D40【答案】D【解析】=，即，的系數(shù)為53（2011福建理）的展開式中，的系數(shù)等于A80B40C20D10【答案】B【解析】的展開式中含的系數(shù)等于，系數(shù)為40答案選B54（2011陜西理）（R）展開式中的常數(shù)項是ABC15D20【答案】C【解析】，令，則，所以，故選C55（2019天津理理10）是展開式中的常數(shù)項為【答案】28【解析】由題意，可知此