對(duì)3秋季課程講義-數(shù)學(xué)九年級(jí)第13講銳角三角比與相似三角形綜合教案6dpzth6b004x

1、PAGE 123/23精銳教育1對(duì)3輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名： 學(xué)科教師：年 級(jí)： 輔導(dǎo)科目：授課日期時(shí) 間主 題第13講-銳角三角比與相似三角形的綜合學(xué)習(xí)目標(biāo)1使學(xué)生理解銳角三角比的意義，會(huì)運(yùn)用正、余弦和正、余切的計(jì)算，能夠熟練的掌握解直角三角形.2通過(guò)相似三角形的性質(zhì)和判定定理，解決幾何綜合問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.教學(xué)內(nèi)容知識(shí)梳理一、銳角三角比知識(shí)結(jié)構(gòu)框架圖： 正切、余切、正弦、余弦 已知銳角求三角比；已知三角比求銳角 銳角三角比的概念 正切與余切的關(guān)系，不同三角比值隨角度大小變化關(guān)系 給定條件下求銳角的三角比（直接法、間接法、設(shè)比法等）銳角三角比銳角三角比 特殊角的三角比值

2、熟記30、45、60 三邊，兩銳角、一銳角與兩邊的關(guān)系 解直角三角形 已知一邊和一角 已知兩邊 圖形中的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用 有關(guān)概念 實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 基本圖形與基本題型 尋找或構(gòu)造直角三角形 數(shù)形結(jié)合與方程數(shù)學(xué)思想1、直角三角形的認(rèn)識(shí)：直角、銳角、斜邊、對(duì)邊、鄰邊2、正弦：直角三角形中，一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比，叫做這個(gè)銳角的正弦. 在RtABC中,C=900，AB=c, BC=a, AC=b, 則A的正弦：B的正弦：3、余弦：直角三角形中，一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比，叫做這個(gè)銳角的余弦. A的余弦： B的余弦：注：在RtABC中,C=90，則sinA=cosB(或cosA=sinB) ,

3、 , 當(dāng)為銳角， 0sin1，0cos1；tan0，cot0.4、正切：直角三角形中，一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比，叫做這個(gè)銳角的正切. 在RtABC中,C=900，AB=c, BC=a, AC=b, 則A的正切： B的正切：5、余切：直角三角形中，一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比，叫做這個(gè)銳角的余切A的余切： ，B的余切：注：tanAcotA=1（或），同一個(gè)銳角的正切與余切互為倒數(shù)；若A+B=90，則tanA=cotB（或cotA=tanB）二、數(shù)函角三度角數(shù)函角三度角300450600sincostancot三、解直角三角形：1解直角三角形的定義： 由直角三角形中已知的邊和角，計(jì)算出未知的邊和角的過(guò)

4、程，叫做解直角三角形.2. 在RtABC中，C=90，a、b、c、A、B這五個(gè)元素間的等量關(guān)系：（1）邊角之間的關(guān)系：A的正弦：sinA =, A的余弦：cosA =,A的正切：tanA = , A的余切：cotA = ，（2）兩銳角之間的關(guān)系：AB90（3）三條邊之間的關(guān)系：3.解直角三角形的基本類(lèi)型和方法:已知條件解法一邊及一銳角直角邊a及銳角AB90-A； batanA； c=斜邊c及銳角AB90-A； acsinA； bccosA兩邊兩條直角邊a和b； B90-A， 直角邊a和斜邊csinA=， B90-A， 4.仰角、俯角的定義5.坡度相關(guān)概念如圖，坡面的鉛垂高度（h）和水平長(zhǎng)度（l

5、）的比叫做坡面坡度（或坡比）.記作i,即i=.坡度通常寫(xiě)成1m的形式，如i=16.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有 i =tan a顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.相似三角形知識(shí)點(diǎn)整理相似三角形預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊所在的直線(xiàn)，截得的三角形與原三角形相似。（平行即相似）相似三角形判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）. 相似三角形判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似）相似三角形判定

6、定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似）相似三角形判定定理4：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似（斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似）二、相似三角形的判定方法： 全等三角形 相似三角形 判定方法兩邊和其夾角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似 兩角和其夾邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似 三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩直角三角形全等 一個(gè)

7、直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似 此外還有：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原直角三角形相似 二、相似三角形判定中常見(jiàn)常用的基本圖形 1、平行線(xiàn)型（兩線(xiàn)平行，則相似） 2、相交線(xiàn)形（兩角相等，則相似）3、旋轉(zhuǎn)型 等積式、比例式的證明： 等積式、比例式的證明是相似形一章中常見(jiàn)題型。因?yàn)檫@種問(wèn)題變化很多，同學(xué)們常常感到困難。但是，如果我們掌握了解決這類(lèi)問(wèn)題的基本規(guī)律，就能找到解題的思路。 （一）遇到等積式（或比例式）時(shí)，先看是否能找到相似三角形。 等積式可根據(jù)比例的基本性質(zhì)改寫(xiě)成比例式，在比例式各邊的四個(gè)字母中如有三個(gè)不重復(fù)的

8、字母，就可找出相似三角形。 （二）若由求證的等積式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，則需要進(jìn)行等線(xiàn)段代換或等比代換。有時(shí)還需添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，構(gòu)造平行線(xiàn)或相似三角形。 例題1：如圖，為直角的斜邊上一點(diǎn)，交與，如果沿翻折，恰好與重合，聯(lián)結(jié)交于，如果，那么= 【答案】6:5例題2：如圖，菱形中，點(diǎn)、在對(duì)角線(xiàn)上，若四邊形為正方形，則并求圖中有幾對(duì)相似三角形？【答案】 12試一試：1.在中，若、分別是、的對(duì)邊，則下列結(jié)論中，正確的是（ ）； ； ； 【答案】 A 2如圖，在中，90，為邊上的高，已知1，則線(xiàn)段的長(zhǎng)是（ ） ； ； ； 【答案】 D【拓展】射影定理3如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1

9、，、是小正方形的頂點(diǎn)，則的正弦值為 【答案】 24如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)（2,1），射線(xiàn)與軸的正半軸所夾的角為，那么的余弦值等于 【答案】 25在中，若，則= 【答案】 906.把RtABC的三邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍，則銳角A的四個(gè)三角比的值（ ）都擴(kuò)大3倍 B都縮小到原來(lái)的 EQ F(1,3) C沒(méi)有變化 D不能確定【答案】 C【拓展】?jī)蓚€(gè)三角形相似之后哪些變，哪些不變？7.在中，、都是銳角，若，則的形狀為 三角形【答案】 等邊8.已知：如圖432，在RtABC中，C=，D是BC中點(diǎn)，DEAB于E，tanB=，AE=7，求相似三角形？和DE的長(zhǎng)？【答案】 79.已知：在ABC中，A=90

10、，BD=8，cosB=,cotCDA=,求AC的長(zhǎng)？【答案】 160例題3：如圖，點(diǎn)是正方形對(duì)角線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），作交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、交于點(diǎn)。（1）求證：；（2）若，求的值?！敬鸢浮柯?；【解析】第一問(wèn)利用相似三角形判定定理1證明；第二問(wèn)利用2問(wèn)中的假設(shè)和1中的結(jié)論證明。例題4：已知：如圖，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于D，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F。求證：CD2=DEDF。若B=60，求AFD的四個(gè)三角比？ 【答案】 略?？嫉幕緢D形：（母子型相似三角形）1.如圖，梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，BECD交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于E求證： 【答案】 略3.已知：如圖

11、，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD、AC于E、F求證：【答案】 略（雙垂型）1.如圖，在ABC中，sinA=32求證：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED【答案】 略2.如圖，已知銳角ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，ABC和BDE的面積分別是27和3，DE=6，求：點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離?！敬鸢浮?3（共享型相似三角形）1.ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線(xiàn)上,DAE的補(bǔ)角的正弦值是32【答案】 32.已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，sinDAE=22求證：（1）ABEACD；（2）【答案】 略（一線(xiàn)三等角型相似三

12、角形）1.如圖，等邊ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，cosEDF=1（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE【答案】 證明略；52.（1）在中，點(diǎn)、分別在射線(xiàn)、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.若點(diǎn)在線(xiàn)段上（如圖），且，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；求ABC和BAC的正弦值？若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；【答案】 125 正方形的邊長(zhǎng)為（如下圖），點(diǎn)、分別在直線(xiàn)、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，求出線(xiàn)段的長(zhǎng).【答案】 5+（一線(xiàn)三直角型相似三角形）1.已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)A,D不重合，過(guò)點(diǎn)P作，交邊AB于點(diǎn)E,設(shè)，求y

13、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍?！敬鸢浮?2017年一模真題練習(xí)：1已知,下列判斷正確的是（A ）、； 、； 、； 、2如果是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，并且，那么的長(zhǎng)度為（C ）、； 、； 、； 、3已知，那么= 32 4如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1:4，那么它們的面積比是 1:16 5如圖，為的邊上一點(diǎn)，如果，那么圖中是和的比例中項(xiàng) AC 6如圖，中，若于，且，則 23 7如圖，為重心，如果，那么的長(zhǎng)為 8 8計(jì)算：【答案】329如圖，、分別表示兩幢相距36米的大樓，高興同學(xué)站在大樓的處窗口觀察大樓的底部點(diǎn)的俯角為，觀察大樓的頂部點(diǎn)的仰角為，求大樓的高。 【答案】 36+我的總結(jié)重在讓學(xué)生

14、進(jìn)行總結(jié)與回顧，老師適當(dāng)引導(dǎo)。1.在中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，,要使DE/BC,還要滿(mǎn)足下列條件 中的（ D ） B. C. D.2.在中，如果，那么AC的長(zhǎng)為（ B ）A. B. C. D.3.如果銳角的正弦值為，那么下列結(jié)論中正確的是（ C ）A. B. C. D.4.如果，且與相似比為，那么與面積比為_(kāi)1:16_.5.在中，如果，那么的重心到底邊的距離為_(kāi)2_.6.在，點(diǎn)分別在上，如果，那么的周長(zhǎng)為_(kāi)454_.7.如圖，在，點(diǎn)分別在邊上，如果，那么等于_3:2_.第7題圖第7題圖8.一張直角三角形紙片ABC,AB=24，tanB=(如圖），將它折疊使直角頂點(diǎn)C與斜邊AB的中點(diǎn)重合，那么折痕的長(zhǎng)為 13 第18題圖第18題圖9.計(jì)算：【答案】6+10.將筆記本電腦放置在水平的桌面上，顯示屏OB與底板OA夾角為115（如圖1），側(cè)面示意圖為圖2；使用時(shí)為了散熱，在底板下面墊入散熱架后，電腦轉(zhuǎn)到的位置（如圖3），側(cè)面示意圖為圖4，已知OA=OB=20cm，,垂足為C.（1）求點(diǎn)的高度；（精確到0.