時(shí)間序列分析方法之譜分析

1、第六章 譜分析析 SSpecctraal AAnallysiis到目前為止止，時(shí)刻刻變量的的數(shù)值一一般都表表示成為為一系列列隨機(jī)擾擾動(dòng)的函函數(shù)形式式，一般般的模型型形式為為：我們研究的的重點(diǎn)在在于，這這個(gè)結(jié)構(gòu)構(gòu)對(duì)不同同時(shí)點(diǎn)和和上的變變量和的協(xié)方方差具有有什么樣樣的啟示示。這種種方法被被稱為在在時(shí)間域域(tiime dommainn)上分分析時(shí)間間序列的的性質(zhì)。在本章中，我們討討論如何何利用型型如和的周期期函數(shù)的的加權(quán)組組合來描描述時(shí)間間序列數(shù)數(shù)值的方方法，這這里表示示特定的的頻率，表表示形式式為：上述分析的的目的在在于判斷斷不同頻頻率的周周期在解解釋時(shí)間間序列性性質(zhì)時(shí)所所發(fā)揮的的重要程程度如何

2、何。如此此方法被被稱為頻頻域分析析(frrequuenccy ddomaain anaalyssis)或者譜譜分析(speectrral anaalyssis)。我們們將要看看到，時(shí)時(shí)域分析析和頻域域分析之之間不是是相互排排斥的，任任何協(xié)方方差平穩(wěn)穩(wěn)過程既既有時(shí)域域表示，也也有頻域域表示，由由一種表表示可以以描述的的任何數(shù)數(shù)據(jù)性質(zhì)質(zhì)，都可可以利用用另一種種表示來來加以體體現(xiàn)。對(duì)對(duì)某些性性質(zhì)來說說，時(shí)域域表示可可能簡單單一些；而對(duì)另另外一些些性質(zhì)，可可能頻域域表示更更為簡單單。6.1 母體體譜我們首先介介紹母體體譜，然然后討論論它的性性質(zhì)。6.1.11 母體體譜及性性質(zhì)假設(shè)是一個(gè)個(gè)具有均均值的協(xié)

3、協(xié)方差平平穩(wěn)過程程，第個(gè)個(gè)自協(xié)方方差為：假設(shè)這些自自協(xié)方差差函數(shù)是是絕對(duì)可可加的，則則自協(xié)方方差生成成函數(shù)為為：這里表示復(fù)復(fù)變量。將將上述函函數(shù)除以以，并將將復(fù)數(shù)表表示成為為指數(shù)虛虛數(shù)形式式，則得得到的結(jié)結(jié)果(表表達(dá)式)稱為變變量的母母體譜：注意到譜是是的函數(shù)數(shù)：給定定任何特特定的值值和自協(xié)協(xié)方差的的序列，原原則上都都可以計(jì)計(jì)算的數(shù)數(shù)值。利用De Moiivree定理，我我們可以以將表示示成為：因此，譜函函數(shù)可以以等價(jià)地地表示成成為：注意到對(duì)于于協(xié)方差差平穩(wěn)過過程而言言，有：，因此此上述譜譜函數(shù)化化簡為：利用三角函函數(shù)的奇奇偶性，可可以得到到：假設(shè)自協(xié)方方差序列列是絕對(duì)對(duì)可加的的，則可可以證明

4、明上述譜譜函數(shù)存存在，并并且是的的實(shí)值、對(duì)對(duì)稱、連連續(xù)函數(shù)數(shù)。由于于對(duì)任意意，有：，因此此是周期期函數(shù)，如如果我們們知道了了內(nèi)的所所有的值值，我們們可以獲獲得任意意時(shí)的值。6.2 不同過過程下母母體譜的的計(jì)算假設(shè)隨機(jī)過過程服從從過程：這里：，根據(jù)前面關(guān)關(guān)于過程程自協(xié)方方差生成成函數(shù)的的推導(dǎo)：因此得到過過程的母母體譜為為：例如，對(duì)白白噪聲過過程而言言，這這時(shí)它的的母體譜譜函數(shù)是是常數(shù)：下面我們考考慮過程程，此時(shí)：，則則母體譜譜為：可以化簡成成為：顯然，當(dāng)時(shí)時(shí)，譜函函數(shù)在內(nèi)是的單單調(diào)遞減減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，譜譜函數(shù)在在內(nèi)是的單單調(diào)遞增增函數(shù)。對(duì)過程而言言，有：這時(shí)只要，則則有：，因因此譜函函數(shù)為：該譜函

5、數(shù)的的性質(zhì)為為：當(dāng)時(shí)時(shí)，譜函函數(shù)在內(nèi)是的單單調(diào)遞增增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，譜譜函數(shù)在在內(nèi)是的單單調(diào)遞減減函數(shù)。一般地，對(duì)對(duì)過程而而言：則母體譜函函數(shù)為：如果移動(dòng)平平均和自自回歸算算子多項(xiàng)項(xiàng)式可以以進(jìn)行下下述因式式分解：則母體譜函函數(shù)可以以表示為為：從母體譜函函數(shù)中計(jì)計(jì)算自協(xié)協(xié)方差如果我們知知道了自自協(xié)方差差序列，原則上上我們就就可以計(jì)計(jì)算出任任意的譜譜函數(shù)的的數(shù)值。反反過來也也是對(duì)的的：如果果對(duì)所有有在內(nèi)的的，已知知譜函數(shù)數(shù)的數(shù)值值，則對(duì)對(duì)任意給給定的整整數(shù)k，我們們也能夠夠計(jì)算kk階自協(xié)協(xié)方差。這這意味著著母體譜譜函數(shù)和和自協(xié)方差差序列包包含著相相同的信信息。其其中任何何一個(gè)都都無法為為我們提提供另外

6、外一個(gè)無無法給出出的推斷斷。下面的命題題為從譜譜函數(shù)計(jì)計(jì)算自協(xié)協(xié)方差提提供了一一個(gè)有用用的公式式：命題6.11 假假設(shè)是絕絕對(duì)可加加的自協(xié)協(xié)方差序序列，則則母體譜譜函數(shù)與與自協(xié)方方差之間間的關(guān)系系為：上述公式也也可以等等價(jià)地表表示為：利用上述譜譜公式，可可以實(shí)現(xiàn)現(xiàn)譜函數(shù)數(shù)與自協(xié)協(xié)方差函函數(shù)之間間的轉(zhuǎn)換換。解釋母體譜譜函數(shù)假設(shè)，則利利用命題題6.11可以得得到時(shí)間間序列的的方差，即即，計(jì)算算公式為為：根據(jù)定積分分的幾何何意義，上上式說明明母體譜譜函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)內(nèi)的面積積就是，也也就是過過程的方方差。更一般的，由由于譜函函數(shù)是非非負(fù)的，對(duì)對(duì)任意，如如果我們們能夠計(jì)計(jì)算：這個(gè)積分結(jié)結(jié)果也是是一個(gè)正正

7、的數(shù)值值，可以以解釋為為的方差差中與頻頻率的絕絕對(duì)值小小于的成成分相關(guān)關(guān)的部分分。注意意到譜函函數(shù)也是是對(duì)稱的的，因此此也可以以表示為為：這個(gè)積分表表示頻率率小于的的隨機(jī)成成分對(duì)方方差的貢貢獻(xiàn)。但是，頻率率小于的的隨機(jī)成成分對(duì)方方差的貢貢獻(xiàn)意味味著什么么？為了了探索這這個(gè)問題題，我們們考慮更更為特殊殊一些的的時(shí)間序序列模型型：這里和是零零均值的的隨機(jī)變變量，這這意味著著對(duì)所有有時(shí)間tt，有。進(jìn)一一步假設(shè)設(shè)序列和和是序列列不相關(guān)關(guān)和相互互不相關(guān)關(guān)的：，對(duì)所有的的j和k這時(shí)的方差差是：因此，對(duì)這這個(gè)過程程來說，具具有頻率率的周期期成分對(duì)對(duì)的方差差的貢獻(xiàn)獻(xiàn)部分是是。如果頻頻率是有有順序的的：，則則的

8、方差差中由頻頻率小于于或者等等于的周周期形成成的部分分是：。這種情形下下的k階自協(xié)協(xié)方差為為：因?yàn)檫^程的的均值和和自協(xié)方方差函數(shù)數(shù)都不是是時(shí)間的的函數(shù)，因因此這個(gè)個(gè)過程是是協(xié)方差差平穩(wěn)過過程。但但是，可可以驗(yàn)證證此時(shí)的的自協(xié)方方差序列列不是絕絕對(duì)可加加的。雖然在上述述過程中中，我們們已經(jīng)過過程的方方差分解解為頻率率低于某某種程度度的周期期成分的的貢獻(xiàn)，我我們能夠夠這樣做做的原因因在于這這個(gè)過程程是比較較特殊的的。對(duì)于于一般的的情形，著著名的譜譜表示定定理(tthe speectrral reppressenttatiion theeoreem)說說明：任任何協(xié)方方差平穩(wěn)穩(wěn)過程都都可以表表示成為

9、為不同頻頻率周期期成分的的和形式式。對(duì)任意給定定的固定定頻率，我我們定義義隨機(jī)變變量和，并假假設(shè)可以以將一個(gè)個(gè)具有絕絕對(duì)可加加自協(xié)方方差的協(xié)協(xié)方差平平穩(wěn)過程程表示為為：這里需要對(duì)對(duì)隨機(jī)變變量和的相關(guān)關(guān)性給出出更為具具體的假假設(shè)，但但是上述述公式便便是譜表表示定理理的一般般形式。6.2 樣本周周期圖 Saamplle PPeriiodoograam對(duì)一個(gè)具有有絕對(duì)可可加自協(xié)協(xié)方差的的協(xié)方差差平穩(wěn)過過程，我我們已經(jīng)經(jīng)定義在在頻率處處的譜函函數(shù)值為為：，注意到母體體譜是利利用表示示的，而而表示的的是母體體的二階階矩性質(zhì)質(zhì)。給定由表示示的T個(gè)樣本本，我們們可以利利用下述述公式計(jì)計(jì)算直到到階的樣樣本自協(xié)

10、協(xié)方差：，對(duì)于給定的的，我們們可以獲獲得母體體譜密度度對(duì)應(yīng)的的樣本情情形，我我們稱其其為樣本本周期圖圖：樣本周期圖圖也可以以表示成成為如下下形式：類似地，我我們可以以證明樣樣本周期期圖下的的面積等等于樣本本方差：樣本周期圖圖也是關(guān)關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱的的，因此此也有：更為重要的的是，譜譜表示定定理在樣樣本情形形也有類類似的表表示。我我們將要要說明，對(duì)對(duì)于平穩(wěn)穩(wěn)過程的的任意一一個(gè)容量量為的觀觀測(cè)值序序列，存存在頻率率和系數(shù)數(shù)，使得期的的值可以以表示成成為：其中：當(dāng)時(shí)，與不不相關(guān)；當(dāng)時(shí)，與不不相關(guān)；對(duì)于所有的的和，與不相關(guān)關(guān)。的樣本方差差是，該該方差中中可以歸歸因于頻頻率為的的周期成成分的部部分由樣樣本

11、周期期圖給出出。我們對(duì)樣本本容量是是奇數(shù)的的情形展展開討論論上述譜譜表示模模式。這這時(shí)可以以表示成成為由個(gè)個(gè)不同頻頻率構(gòu)成成的周期期函數(shù)，頻頻率如下下：，因此最高頻頻率為：我們考慮基基于常數(shù)數(shù)項(xiàng)、正正弦函數(shù)數(shù)和余弦弦函數(shù)的的線性回回歸：將這個(gè)回歸歸方程表表示成為為下述方方式：其中：，這這是一個(gè)個(gè)具有個(gè)個(gè)解釋變變量的回回歸方程程，因此此解釋變變量與觀觀測(cè)值是是一樣多多的。我我們將證證明解釋釋變量之之間是線線性無關(guān)關(guān)的，這這意味著著基于回歸歸的OLLS估計(jì)計(jì)具有惟惟一解。該該回歸方方程的 系數(shù)具具有顯著著的統(tǒng)計(jì)計(jì)意義：表示中可以歸歸因于頻頻率的周周期成分分的那部部分。這這就是說說，任意意觀測(cè)到到的

12、序列列，它都都可以利利用上述述周期函函數(shù)形式式表示，并并且不同同頻率的的周期成成分對(duì)方方差的貢貢獻(xiàn)都可可以在樣樣本周期期圖中找找到。命題6.22 假假設(shè)樣本本容量是是奇數(shù)，定定義，并并設(shè)定，假設(shè)設(shè)解釋變變量為：則有：進(jìn)一步，假假設(shè)是任任意個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)，則則下述推推斷成立立：(a) 過過程可以以表示為為：這里：，(b) 的的樣本方方差可以以表示為為：樣本方差可可以歸因因于頻率率為的周周期成分分的部分分為。(c) 的的樣本方方差中可可以歸因因于頻率率為的周周期成分分的部分分還可以以表示為為：其中是樣本本周期圖圖在頻率率處的值值。上述結(jié)果說說明，是是對(duì)角矩矩陣，這這意味著著包含在在向量中中的向量量之間是

13、是相互正正交的。這這個(gè)命題題斷言：任何奇奇數(shù)個(gè)觀觀測(cè)到的的時(shí)間序序列可以以表示成成為一個(gè)個(gè)常數(shù)加加上具有有個(gè)不同同頻率的的個(gè)周期期成分的的加權(quán)和。當(dāng)是偶數(shù)數(shù)整數(shù)的的時(shí)候，類類似的結(jié)結(jié)果也是是成立的的。因此此，這個(gè)個(gè)命題給給出了類類似譜表表示定理理的有限限樣本的的類似情情況。這這個(gè)命題題進(jìn)一步步表明了了樣本周周期圖的的特征是是將的方方差按部部分分解解為不同同頻率的的周期成成分的貢貢獻(xiàn)。注意到解釋釋的方差差的頻率率都落在在區(qū)間中中。為什什么不使使用負(fù)的的頻率？假設(shè)數(shù)數(shù)據(jù)確實(shí)實(shí)是由上上述過程程的一種種特殊情情形生成成的：這里代表某某個(gè)特殊殊的負(fù)頻頻率，和和是零均均值的隨隨機(jī)變量量，利用用三角函函數(shù)的

14、奇奇偶性，可可以將表表示為：因此，利用用上述式式子無法法從數(shù)據(jù)據(jù)中識(shí)別別數(shù)據(jù)是是從正發(fā)發(fā)頻率還還是負(fù)的的頻率生生成的。這這時(shí)一種種簡單的的方式是是假設(shè)數(shù)數(shù)據(jù)是從從具有正正的頻率率中生成成的。為什么只考考慮作為為最大的的頻率呢呢？假設(shè)設(shè)數(shù)據(jù)真真的是從從頻率的的周期函函數(shù)中生生成的，例例如：這時(shí)正弦和和余弦函函數(shù)的周周期性質(zhì)質(zhì)表明，上上式可以以表示成成為：因此，根據(jù)據(jù)以前的的討論，具具有頻率率的周期期在觀測(cè)測(cè)值上等等價(jià)于具具有頻率率的周期期。注意到頻率率和周期期之間的的關(guān)系，頻頻率對(duì)應(yīng)的周周期為。由由于我們們考慮的的最高頻頻率為，因因此我們們所觀測(cè)測(cè)到的能能夠自己己重復(fù)的的最短階階段是。如如果，則

15、則周期是是每階段段重復(fù)自自己。但但是，如如果數(shù)據(jù)據(jù)是整數(shù)數(shù)階段觀觀測(cè)的，因因此數(shù)據(jù)據(jù)可以觀觀測(cè)的時(shí)時(shí)間間隔隔仍然是是每4個(gè)個(gè)階段觀觀測(cè)到，這這對(duì)應(yīng)著著周期頻頻率是。例例如，函函數(shù)和函函數(shù)在整整數(shù)的時(shí)時(shí)間間隔隔上，它它們的觀觀測(cè)值是是一致的的。命題6.22也為計(jì)計(jì)算在頻頻率()上的的樣本周周期圖的的數(shù)值提提供了方方法。定定義：這里：，因此可以得得到：6.3估估計(jì)總本本譜 Esttimaatinng tthe Poppulaatioon SSpecctruum上面我們介介紹了母母體譜的的意義和和性質(zhì)，下下面我們們面對(duì)的的問題是是：獲得得了觀測(cè)測(cè)樣本以以后，如如何估計(jì)計(jì)母體譜譜函數(shù)？樣本周期圖圖的大

16、樣樣本性質(zhì)質(zhì)一個(gè)顯然的的方法是是利用樣樣本周期期圖去估估計(jì)母體體譜函數(shù)數(shù)。但是是，這種種方法具具有顯著著的限制制。假設(shè)設(shè)對(duì)于無無限移動(dòng)動(dòng)平均過過程而言言：這里系數(shù)是是絕對(duì)可可加的，是具有均值和方差的獨(dú)立同分布序列，假設(shè)是如上定義的母體譜函數(shù)，且對(duì)所有的，都有。假設(shè)是如上定義的樣本譜函數(shù)，F(xiàn)uller (1976) 證明了，對(duì)和充分大的樣本容量，樣本周期圖與母體譜函數(shù)之比的二倍具有下述漸近分布：進(jìn)一步，如如果，也也有：并且上述兩兩個(gè)漸近近分布的的隨機(jī)變變量是相相互獨(dú)立立的。注意到的均均值等于于自由度度，因此此有：因?yàn)槭悄阁w體數(shù)量，不不是一個(gè)個(gè)隨機(jī)變變量，因因此上式式也可以以表示成成為：因此，對(duì)充充分大的的樣本容容量，樣樣本周期期函數(shù)為為母體譜譜提供了了一個(gè)漸漸近無偏偏估計(jì)。母體譜的參參數(shù)化估估計(jì)假設(shè)我們認(rèn)認(rèn)為數(shù)據(jù)據(jù)可以由由模型表表示：這里是具有有方差的的白噪聲聲。這時(shí)時(shí)一個(gè)估估計(jì)母體體譜的出出色方法法是先利利用前面面介紹的的極大似似然估計(jì)計(jì)估計(jì)參參數(shù)，具有絕絕對(duì)可加加自協(xié)方方差的協(xié)協(xié)方差平平穩(wěn)過程程，我們們已經(jīng)定定義在頻頻率處的