專題06 直線與雙曲線的位置關(guān)系-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點專題突破（全國通用）（解析版）

1、專題06 直線與雙曲線的位置關(guān)系一、單選題1直線與雙曲線的交點情況是（ ）A恒有一個交點B存在m有兩個交點C至多有一個交點D存在m有三個交點【解析】將代入得當(dāng)時，無解；當(dāng)時，所以至多有一個交點故選：C2若直線ykx與雙曲線4x2y216相交，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）A(2，2)B2，2)C(2，2D2，2【解析】因為直線ykx與雙曲線4x2y216相交，則，將ykx代入4x2y216得關(guān)于x的一元二次方程(4k2)x2160，由，解得2k2.故選：A.3已知雙曲線（）的右焦點為，直線與雙曲線只有1個交點，則（ ）ABCD【解析】雙曲線的漸近線方程為，直線經(jīng)過焦點，當(dāng)時，只有直線與漸近線平行，

2、與雙曲線有1個交點，可得，同理可得，當(dāng)時，故故選：C4若曲線與曲線恰有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【解析】如圖示：表示起點為的兩條斜率分別為1和-1的射線.當(dāng)曲線為橢圓時，即，只需點落在橢圓內(nèi)，即，解得：；當(dāng)曲線為雙曲線時，即，漸近線方程：要使曲線與曲線恰有兩個不同的交點，只需，解得：.所以實數(shù)的取值范圍是，故選：C5已知點是雙曲線的左焦點，過原點的直線與該雙曲線的左右兩支分別相交于點，則的取值范圍是（ ）ABCD【解析】由得,則左焦點,右焦點,如圖：因為雙曲線與過原點的直線都關(guān)于原點對稱,所以,又根據(jù)雙曲線的定義,所以,設(shè)所以,設(shè),，所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當(dāng)時，所以

3、的取值范圍為則的取值范圍是,故選：A6已知雙曲線C：，若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點M，N，且M，N都在以為圓心的圓上，則m的取值范圍是（ ）ABCD【解析】設(shè)，由，則，由根與系數(shù)關(guān)系得，設(shè)MN的中點為，則，解得或，故選：A.7已知雙曲線和直線至多只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD-1，1【解析】將雙曲線和直線的方程聯(lián)立，消去得：當(dāng)雙曲線和直線至多只有一個公共點時，關(guān)于的方程有一個實數(shù)解或兩個相等的實數(shù)解)或無解.當(dāng)，即時，雙曲線和直線只有一個公共點；當(dāng)且即或時，雙曲線和直線至多只有一個公共點.實數(shù)的取值范圍是故選：C8已知雙曲線(，)與直線有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為

4、（ ）ABCD【解析】如圖所示，雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線(，)與直線有交點，則有，即，解得，得.雙曲線離心率的取值范圍為.故選：C.二、多選題9若直線與雙曲線有且只有一個公共點，則的值可能為（ ）A3B4C8D10【解析】聯(lián)立，得，又因為直線與雙曲線只有一個交點，故當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，即；當(dāng)直線與雙曲線相切時,，解得：或0（舍去），故選：AB10在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線與直線有唯一的公共點，則動點與定點的距離可能為（ ）A2BCD3【解析】由消去，整理得，因為雙曲線與直線有唯一的公共點，所以只需，整理得，即，因為，所以；因此動點與定點的距離為；當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.BCD

5、選項都滿足，A不滿足；故選：BCD.11已知圓被軸分成上下兩部分的弧長之比為，且被軸截得的弦長為4，當(dāng)圓心到直線的距離最小時，圓的方程為（ ）ABCD【解析】設(shè)圓心為，半徑為，圓被軸分成兩部分的弧長之比為，則其中劣弧所對圓心角為,由圓的性質(zhì)可得，又圓被軸截得的弦長為4，變形為，即在雙曲線上，易知雙曲線上與直線平行的切線的切點為，此點到直線有距離最小設(shè)切線方程為，由，消法得，解得，時，時，即切點為或，半徑為，圓的方程為或故選：AB12雙曲線，圓，雙曲線與圓有且僅有一個公共點，則取值可以是（ ）A2.2B2.4C2.5D2.7【解析】圓，圓心為，半徑，設(shè)雙曲線右支上的一點為，則對任意的恒成立，即，

6、即，又，所以對任意的恒成立，即可得，故選：ABC三、填空題13已知直線與雙曲線交于，兩點，則的取值范圍是_【解析】由得，因為直線與雙曲線相交于兩點，所以解得：且 所以的取值范圍是：且，故答案為：且.14若曲線與直線有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是_【解析】聯(lián)立，消y得當(dāng)，即時，不滿足題意.當(dāng)，即時，曲線與直線有兩個不同的公共點，解得，.故答案為：，且.15已知曲線與直線x+y-1=0相交于P，Q兩點，且(O為原點)，則_.【解析】將y=1-x代入，得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1+x2=，x1x2=.因為=x1x2+y1y2=x1x

7、2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1，所以+1=0，即2a+2ab-2a+a-b=0，即b-a=2ab，所以.16若曲線與直線有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是_.【解析】直線過定點,曲線表示雙曲線在軸及其上方的上部分，雙曲線的漸近線為，左右頂點分別為 如圖，過點作直線分別與兩漸近線平行.將直線繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)過點時，滿足條件，此時 根據(jù)雙曲線的圖像特征，如圖當(dāng)直線繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，從旋轉(zhuǎn)到的位置時，滿足與曲線有兩個交點.所以斜率滿足 故答案為： 四、解答題17已知曲線C：x2y21和直線l：ykx1（1）若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；（

8、2）若l與C交于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點，且AOB的面積為，求實數(shù)k的值【解析】（1）由，得(1k2)x22kx20直線與雙曲線有兩個不同的交點，解得，且，k的取值范圍為（2）結(jié)合（1），設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)則x1x2，x1x2，點O到直線l的距離d，即，解得或，檢驗符合故實數(shù)k的值為0，18已知雙曲線C：（）的左右焦點分別為，過焦點，且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且滿足.（1）求C的方程；（2）過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，且，求直線的方程.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，過，且斜率為的直線方程為，由，由，由于，即，所以.所以雙曲線的方程為.

9、（2）設(shè)，由消去并化簡得，且.設(shè)，則，所以中點的坐標(biāo)為，由于，所以，化簡得，解得或，由于且，所以，所以直線的方程為.19已知雙曲線C的中心為直角坐標(biāo)系的原點，它的右焦點為，虛軸長為2（1）求雙曲線C漸近線方程；（2）若直線與C的右支有兩個不同的交點，求k的取值范圍【解析】（1）由題設(shè)，則雙曲線方程為，對應(yīng)漸近線方程為： （2）設(shè)直線l與雙曲線C右支的兩交點為A，B且，聯(lián)立方程，消由題意得：，解得：當(dāng)A，B為直線l與C右支的兩個交點時20已知雙曲線C：的離心率為，且經(jīng)過.（1）求雙曲線C的方程；（2）若過點的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點PQ，設(shè)PQ中點為M，求三角形面積的取值范圍.【解析】

10、（1）由題題意，得，解得.所以，雙曲線C的方程為.（2）設(shè)直線的方程為與雙曲線C方程聯(lián)立：，消元得，設(shè)PQ兩點的縱坐標(biāo)為，則：，解得.設(shè)點M的縱坐標(biāo)為，由題點M為的中點，即所以，易知表達式在上單調(diào)遞減，故三角形面積的取值范圍為.21已知雙曲線過點，且該雙曲線的虛軸端點與兩頂點的張角為（1）求雙曲線的方程；（2）過點的直線與雙曲線左支相交于點，直線與軸相交于兩點，求的取值范圍【解析】（1）由已知（2）設(shè)直線方程為，直線的方程為，可得直線的方程為，可得聯(lián)立，消去，整理得，可得，又，所以的范圍是.22已知雙曲線的焦距為，坐標(biāo)原點到直線的距離是，其中，的坐標(biāo)分別為，.（1）求雙曲線的方程；（2）是否存在過點的直線與雙曲線交于，兩點，使得構(gòu)成以為頂點的等腰三角形?若存在，求出所有直線的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）記雙曲線的焦距為，由題意，可得，即，又，的坐標(biāo)分別為，所以直線的方程為， 即，又坐標(biāo)原點到直線的距離是，所以，解得，所以，因此雙曲線的方程為；（2）由（1）可得，假設(shè)存在過點的直線與雙