初中數(shù)學(xué)不定方程及整數(shù)解

1、不定方程及整數(shù)解內(nèi)容基本要求略高要求較高要求我們?cè)?jīng)學(xué)過一元一次方程，例如2 % + 3 = -5，解這個(gè)方程可得 = -4 .如果未知數(shù)的個(gè)數(shù)不只一個(gè)，而是二 個(gè)或更多個(gè)，就變成為二元一次方程或多元一次方程，例如 + y = 4就是一個(gè)二元一次方程.這個(gè)方程有無數(shù) r %ir %4 r %6.5多組解.比如4，4，4 等.y = 3 y = 8y = -2.5這類未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)的方程（或方程組）就叫做不定方程（或方程組）初中范圍內(nèi)通常只討論 這類方程（組）的正整數(shù)解或整數(shù)解.不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數(shù)解或解的個(gè)數(shù)；如果不定方程有整數(shù)解，采取正確的 方法，求出

2、全部整數(shù)解.不定方程解的判定如果方程的兩端對(duì)同一個(gè)模機(jī)（常數(shù)）不同余,顯然，這個(gè)方程必?zé)o整數(shù)解.而方程如有解則解必為奇數(shù)、偶數(shù)兩 種，因而可以在奇偶分析的基礎(chǔ)上應(yīng)用同余概念判定方程有無整數(shù)解.不定方程的解法不定方程沒有統(tǒng)一的解法，常用的特殊方法有:配方法、因式（質(zhì)因數(shù)）分解法、不等式法、奇偶分析法和余 數(shù)分析法.對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，并正確應(yīng)用整數(shù)的性質(zhì)是解不定方程的基本思路.定理1:若二元一次不定方程a% + by = c，整數(shù)a和b的最大公約數(shù)不能整除c，則方程沒有整數(shù)解.定理2：若整數(shù)a , b互質(zhì)，則方程a% + by = 1有整數(shù)解，同時(shí)方程a% + by = c也有整數(shù)解.若（ ,

3、 y ）是方程 00a% + by = 1的一個(gè)整數(shù)解，則c% , cy是方程a% + by = c的一個(gè)整數(shù)解.定理3:整系數(shù)方程a% + by = （a, b）有整數(shù)解.定理2和定理3都是“裴蜀定理”的內(nèi)容% = %I % = % + bu0是滿足整系數(shù)方程a% + by = c的一組整數(shù)解，則40（其中u為任意整數(shù)）也是y = yI y = y au00 滿足上式的整數(shù)解.這表明，滿足方程的整數(shù)解有無窮組，并且在ab 0時(shí)，可選擇為正（負(fù)）數(shù)，此時(shí)y為相應(yīng)的為負(fù)（正）數(shù).這個(gè)結(jié)論可以通過把這組解直接代人已知方程進(jìn)行證明.由這個(gè)定理，只要能夠觀察出二元一次方程的一組整數(shù)解，就可以得到它的全

4、部整數(shù)解.I % = 4例如，方程4% + 5y = 21的一組解為4，則此方程的所有整數(shù)解可表示為：I y =1page 6 of page 6 of 6板塊一不定方程的整數(shù)解【例1】 求方程11% + 15k7的整數(shù)解.【鞏固】求37% +107y = 25的整數(shù)解.【鞏固】求方程的整數(shù)解：72% +157y = 1；103%-90y = 5 .【例2】 求7% +19y = 213的所有正整數(shù)解.【鞏固】求方程5% + 3y = 22的所有正整數(shù)解.【鞏固】求6% + 22y = 90的非負(fù)整數(shù)解.【例3】 求2% + 3y + 7z = 34的整數(shù)解.【鞏固】求9% + 24y -5z

5、 = 1000的整數(shù)解.【例4】求方程組15% + 7y + 99 = 52的正整數(shù)解.3% + 5 y + 7 z - 36【例5】求不定方程2(% + y)- %y + 7的整數(shù)解.page 6 of 6page 6 of 6【例6】 求方程 + y = %2盯+ y2的整數(shù)解.【例7】第35屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）滿足聯(lián)立方程J ab + bc = 44ac + bc = 23的正整數(shù)（a, b, c）的組數(shù)是（）.（A） 0（B）1（C）2（D）3（E）4【例8】（第33屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）滿足方程%2 + y2 = %3的正整數(shù)對(duì)（%, y）的個(gè)數(shù)是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）

6、無限個(gè)（E）上述結(jié)論都不對(duì)【例9】求不定方程mn + nr + mr = 2（m + n + r）的正整數(shù)解（m, n, r）的組數(shù).【例10】求方程%2 - 4%y + 5y2 = 169的整數(shù)解.【例11】（原民主德國(guó)1982年中學(xué)生競(jìng)賽題）已知兩個(gè)自然數(shù)b和c及素?cái)?shù)a滿足方程a2 + b2 = c2 .證明:這時(shí)有 a p p，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米 賽中取得第一.求M的值，并問在跳高中誰取得第三名？【例23有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共10張，購(gòu)買一把價(jià)值為18元的雨傘，不同的付款方式共有（）A.1種B.2種C.3種D.4種【例24】旅游團(tuán)一行50人到一旅館住宿，

7、旅游館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人 每天20元，二人間的每人每天30元，單人間的每天50元，如果旅游團(tuán)共住滿了 20間客房，問三種 客房各住幾間？怎樣消費(fèi)最低？page 6 of 6page 6 of 6【例25】把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后 一只猴子得不到5顆，那么，共有 只猴子，共有 顆花生.【例26】試證明存在自然數(shù)a，使得21 a的后三位數(shù)字是241.【例27】某自然數(shù)與13的和是5的倍數(shù)，并且與13的差是6的倍數(shù)，求這樣的自然數(shù)中最小的3個(gè).【例28】設(shè)n是正整數(shù)，記1 x 2 x31 a a a a ax n為n!(例如1! = 1, 2! = 1 x 2 )，若存在整數(shù)a.a、a、a、a 滿足=f + f + y + f