第一部分 初等數(shù)學(xué)方法

1、第一部分 初等數(shù)學(xué)方法第一章 建模示例第一節(jié) 選舉中的席位分配一. 比例代表制例：有A、B、C、D四個政黨，代表50萬選民，各政黨的選民數(shù)為： A黨：199,000 B黨：127,500 C黨：124,000 D黨： 49,500要選出5名代表： A黨：2席 B黨：1席 C黨：1席 D黨：0席缺少1席，如何分配這最后一席呢？ 第一節(jié) 選舉中的席位分配最大余數(shù)法按每10萬選民1席分配后，按余數(shù)大小排序，多余的席位分給余數(shù)較大的各黨。黨名 代表選民數(shù) 整數(shù)席 余 數(shù) 余額席 總席數(shù) A 199,000 1 99,000 1 2 B 127,500 1 27,500 0 1 C 124,000 1

2、24,000 0 1 D 49,500 0 49,500 1 1第一節(jié) 選舉中的席位分配洪德(dHondt)規(guī)則分配辦法是：把各黨代表的選民數(shù)分別被1、2、3、除，按所有商數(shù)的大小排序，席位按此次序分配。即若A黨的人數(shù)比D黨的人數(shù)還多，那么給A黨3席、給D黨0席也是合理的。除數(shù) A黨 B黨 C黨 D黨1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,5002 99,500 (4) 63,750 62,000 24,7503 66,333 (5) 42,500 41,333 16,5004 49,750 31,875 總席位 3 1 1 0 第一節(jié) 選舉中的席位分配北歐

3、折衷方案作法與洪德規(guī)則類似，所采用的除數(shù)依次為1.4、3、5、7、 A黨 B黨 C黨 D黨 2 2 1 0三種分配方案，得到了完全不同的結(jié)果，最大余數(shù)法顯然對小黨比較有利，洪德規(guī)則則偏向最大的黨，北歐折衷方案對最大和最小黨都不利 第一節(jié) 選舉中的席位分配二份額分配法(Quota Method)一種以“相對公平”為標準的席位分配方法，來源于著名的“阿拉巴瑪悖論”(Alabama Paradox)。美國憲法第1條第2款對議會席位分配作了明確規(guī)定，議員數(shù)按各州相應(yīng)的人數(shù)進行分配。最初議員數(shù)只有65席，因為議會有權(quán)改變它的席位數(shù)，到1910年，議會增加到435席。憲法并沒有規(guī)定席位的具體分配辦法，因此

4、在1881年，當考慮重新分配席位時，發(fā)現(xiàn)用當時的最大余數(shù)分配方法，阿拉巴瑪州在299個席位中獲得8個議席，而當總席位增加為300席時，它卻只能分得7個議席。這一怪事被稱為有名的“阿拉巴瑪悖論”。系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比例 結(jié)果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0總和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問題三個系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34,

5、問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比例 結(jié)果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 總和 200 100.0 20.0 20系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比例 結(jié)果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4總和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標 人數(shù) 席位 A方

6、 p1 n1B方 p2 n2當p1/n1= p2/n2 時，分配公平 p1/n1 p2/n2 對A的絕對不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若 p1/n1 p2/n2 ，對 不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小設(shè)A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問應(yīng)分給A, 還是B不妨設(shè)分配開始時 p1/n1 p2

7、/n2 ，即對A不公平 對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配, 即“公平”分配方法若 p1/n1 p2/n2 ，定義1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，則這席應(yīng)給 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計算rB(n1+1, n2)應(yīng)計算rA(n1, n2+1)若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B當 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給ArA, rB的定義該席給A否則, 該席給B 定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席

8、位該席給Q值最大的一方Q 值方法計算，三系用Q值方法重新分配 21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103, n1=10乙系：p2= 63, n2= 6丙系：p3= 34, n3= 3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知: m方人數(shù)分別為 p1, p2, , pm, 記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2, , nm (自

9、然應(yīng)有n1+n2+nm=N)，記qi=Npi /P, i=1,2, , m, ni 應(yīng)是 N和 p1, , pm 的函數(shù)，即ni = ni (N, p1, , pm )若qi 均為整數(shù)，顯然應(yīng) ni=qi qi=Npi /P不全為整數(shù)時，ni 應(yīng)滿足的準則：記 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m) 即ni 必取qi , qi+ 之一即當總席位增加時， ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿

10、足 1），但不滿足 2）Q值方法滿足 2）,但不滿足 1）。令人遺憾！第二節(jié) 商業(yè)中心的影響范圍問題：一個城市中，商業(yè)如何布局才能為大多數(shù)市民提供方便？農(nóng)村中，如何選擇集市貿(mào)易的地點以便擴大物資交流？這些都要求我們對商業(yè)中心的影響作出估計。若從經(jīng)營者的角度考慮，一個商店要獲得利潤就應(yīng)吸引足夠的顧客，應(yīng)該估計商店能吸引多遠的顧客，高峰銷售時間的交通是否方便，因此也要估計商店的影響范圍。第二節(jié) 商業(yè)中心的影響范圍設(shè)A、B為兩個商業(yè)中心，T表示某顧客去商業(yè)中心購物的概率，我們應(yīng)該考慮T應(yīng)與哪些因素有關(guān)？假設(shè)T只依賴于兩個關(guān)鍵參數(shù)： 一、是顧客到商業(yè)中心的距離D， 二、是商業(yè)中心的吸引力F。即Tf(D

11、,F)。為了簡單起見，假設(shè)F13F2。為了尋找兩個中心的影響區(qū)域，我們應(yīng)該確定顧客到每個中心去的可能性相等的點，即等概率點，它由如下方程確定f(D1,F1)=f(D2,F2)。第二節(jié) 商業(yè)中心的影響范圍由T的含義，它隨F及D變化。當F增加時，說明中心的吸引力增加，想去的人應(yīng)該增多，即T應(yīng)該增大；再根據(jù)一般人就近購物的心理，當D增加時，T應(yīng)該減少。我們?nèi)〉男问綖?第三節(jié) 動物的身長和體重利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建立動物身長和體重間的比例關(guān)系。把四足動物的軀干看作圓柱體，長度、直徑、截面積。將軀干與四肢的接觸處看作前后兩個接觸點，這樣這種圓柱體的軀干可以類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，以

12、便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。第三節(jié) 動物的身長和體重b/l已經(jīng)達到其最合適的數(shù)值，應(yīng)視為與這種動物的尺寸無關(guān)的常數(shù) 第四節(jié) 房屋保溫隔熱的經(jīng)濟效益核算問題：房屋的保溫隔熱是一筆很大的開支，北方漫長的冬季需要保溫供暖，南方炎炎夏季需要降溫制冷。據(jù)研究，房屋內(nèi)熱量散發(fā)的途徑中30%是通過墻壁，10%通過窗，25%通過屋頂，其余通過地板等途徑散發(fā)。一般房屋建造時的主要保溫隔熱措施是在屋頂上采用10cm隔熱材料，對墻和窗則沒有采用專門的隔熱措施，墻中空隙未加填充，而窗僅用46mm的單層玻璃。一些改進的辦法可以用聚苯乙烯塑料球或尿素甲醛的化學(xué)材料填補空隙，或者采用雙層玻璃窗以減小房屋保溫隔熱的費用。有人說：用填充隔熱墻的辦法所節(jié)約的熱量是采用雙層玻璃窗的5倍。實際情況如何？需建模定量分析。第四節(jié) 房屋保溫隔熱的經(jīng)濟效益核算1 問題的分析房屋的保溫隔熱問題涉及兩個方面：熱交換的物理機理和費用的經(jīng)濟學(xué)問題。影響熱損失的因素有很多：(1) 室內(nèi)溫度；(2) 室外溫度；(3) 傳熱方式：對流、傳導(dǎo)和輻射；(4) 墻面積；(5) 窗面積；(6) 墻的傳熱性質(zhì)；(7) 窗的傳熱性質(zhì)；(8) 墻厚度；(9) 窗厚度；(10) 保溫節(jié)省的熱量。影響經(jīng)濟學(xué)的因素有：(1) 保溫措施的費用；(2)