2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第3講 長度問題含解析

1、2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第3講 長度問題一解答題（共19小題） 1已知橢圓，與軸不重合的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（1）若直線的斜率為1，求直線的斜率；（2）是否存在直線，使得成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由2已知橢圓的離心率為，經(jīng)過左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上（）求橢圓的方程；（）若，求直線的方程3已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，的周長為8（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于點(diǎn)、，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上4已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的

2、左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為4，四邊形的面積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，為橢圓上的兩個動點(diǎn)，的面積為1證明：存在定點(diǎn)，使得為定值5已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍6已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)都在軸上，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，的面積的最大值為，在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的兩直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，和點(diǎn)，且，比較與的大小7已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為過且垂直于

3、軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若（1）求橢圓的方程； （2）動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，且分別交直線和直線于、兩點(diǎn)，試求的值8已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為1（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍9已知橢圓的離心率為，一個短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2（）求橢圓的方程；（）已知直線，過點(diǎn)作直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，問：是否存在常數(shù)，使得恒成立，并說明理由10已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的短軸長為2，為其右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且與軸垂直，（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，若

4、以為直徑的圓恒過原點(diǎn)，求弦長的最大值11已知橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是有一個角為的等腰三角形的三個頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)（）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（）斜率為2的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得成立，并求的值12已知橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的3個頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)（）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)證明：存在常數(shù)，使得，并求的值13已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，（）當(dāng)，時，求的面積；（）當(dāng)時，求的取值范圍14如圖，設(shè)

5、橢圓，動直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限（）已知直線的斜率為，用，表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為15過橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中，另一條過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（不與，重合），且點(diǎn)不與點(diǎn)重合過作軸的垂線分別交直線，于，（1）求點(diǎn)坐標(biāo)和直線的方程；（2）比較線段和線段的長度關(guān)系并給出證明16已知，當(dāng)，分別在軸，軸上滑動時，點(diǎn)的軌跡記為（1）求曲線的方程：（2）設(shè)斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若，求17已知橢圓，點(diǎn)（）求橢圓的短軸長和離心率；（）過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，判斷與的大小，并證明你的結(jié)論18已知橢圓，它的上，下頂點(diǎn)分別為

6、，左，右焦點(diǎn)分別為，若四邊形為正方形，且面積為2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，它們與橢圓分別交于點(diǎn)，且四邊形是菱形求證：直線，關(guān)于原點(diǎn)對稱；求出該菱形周長的最大值19在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長為2，傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：第3講 長度問題一解答題（共19小題） 1已知橢圓，與軸不重合的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（1）若直線的斜率為1，求直線的斜率；（2）是否存在直線，使得成立？若存在，求出

7、直線的方程；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）由已知可知，又直線的斜率為1，所以直線的方程為，設(shè)，由解得或，所以中點(diǎn)，于是直線的斜率為（2）假設(shè)存在直線，使得成立當(dāng)直線的斜率不存在時，的中點(diǎn)，所以，矛盾；故直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，得，設(shè)，則，于是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，得，設(shè)，則，由題知，即，化簡，得，故，所以直線的方程為，2已知橢圓的離心率為，經(jīng)過左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上（）求橢圓的方程；（）若，求直線的方程【解答】解：（）設(shè)橢圓焦距為，由已知可得，且，所以，即有，則橢圓的方程為；（）由題意可知直線斜率存在，

8、可設(shè)直線，由消，并化簡整理得，由題意可知，設(shè)，則，因為點(diǎn)，都在線段上，且，所以，即，所以，即，所以，解得，即所以直線的方程為或3已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，的周長為8（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于點(diǎn)、，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上【解答】解：（）由已知，得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點(diǎn)矛盾，所以直線的斜率存在令，將直線的方程代入橢圓方程得：，同理由得，此時，直線，即點(diǎn)的定直線上4已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為4，四邊

9、形的面積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，為橢圓上的兩個動點(diǎn)，的面積為1證明：存在定點(diǎn)，使得為定值【解答】（1）解：由題意知，即，即，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：當(dāng)定點(diǎn)為原點(diǎn)時，為定值5證明如下：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時，即，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，代入可得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，而，化簡得，即，綜上所述，存在定點(diǎn)，當(dāng)為原點(diǎn)時，可使為定值5已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍【解答】解：（1）易知，得，則，而，又，得，因此，

10、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)兩條直線中有一條斜率為0時，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；當(dāng)兩條直線斜率都存在且不為0時，由（1）知，設(shè)，、，直線的方程為，則直線的方程為，將直線方程代入橢圓方程并整理得：，顯然，同理得，所以，令，則，設(shè)，所以，所以，則綜合可知，的取值范圍是6已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)都在軸上，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，的面積的最大值為，在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的兩直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，和點(diǎn)，且，比較與的大小【解答】解：（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的的方程為，在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個，在軸上方使成立的點(diǎn)是橢圓的短軸的端點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)時，由已知

11、可得，解得，橢圓的方程為，（2）若直線的斜率為0或不存在時，且，或，且，由，若的斜率存在且不為0時，設(shè)，由可得，設(shè)，則，同理可得，綜上所述7已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為過且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若（1）求橢圓的方程； （2）動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，且分別交直線和直線于、兩點(diǎn)，試求的值【解答】解：（1）易知，所以，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)直線與橢圓的切點(diǎn)為點(diǎn)，則直線的方程為，且有，可得，直線與直線交于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)所以，因此，8已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為1（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點(diǎn)

12、在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍【解答】解：由已知得，解得，（3分）橢圓，（4分）設(shè)，由已知得，（5分）由消去得（6分）則（7分）又（9分）又，（10分），（11分）的取值范圍是（12分）9已知橢圓的離心率為，一個短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2（）求橢圓的方程；（）已知直線，過點(diǎn)作直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，問：是否存在常數(shù)，使得恒成立，并說明理由【解答】解：（）由題意可知：，解得：，橢圓的方程為 （4分）（） 設(shè)直線的方程為，有解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，（5分）將直線代入橢圓方程得：，由韋達(dá)定理，得，（7分）所以（11分）存在實數(shù)，使得恒成立（12分）10已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的短軸長為2，為其右焦

13、點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且與軸垂直，（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，若以為直徑的圓恒過原點(diǎn)，求弦長的最大值【解答】解：（1）由已知得，又，橢圓的方程為（5分）（2）當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為零時，易知；（7分）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，直線，互相垂直且由圖象的對稱性知，直線，為橢圓有四個交點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)作弦長所得的值相等設(shè)直線方程為：聯(lián)立：解得：不妨取，同理取則，綜上 可知：（12分）11已知橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是有一個角為的等腰三角形的三個頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)（）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（）斜率為2的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明

14、：存在常數(shù)，使得成立，并求的值【解答】解：（）由已知，則橢圓的方程為，聯(lián)立方程組得方程的判別式為，由，得，此方程的解為，所以橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo) （4分）（）由已知可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得所以點(diǎn)坐標(biāo)為， （6分）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，由方程組可得方程的判別式為，由，解得由得（8分）所以，同理，所以，（10分）故，存在常數(shù)，使得成立（12分）12已知橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的3個頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)（）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)證明：存在常數(shù)，使得，并求的值【解答】解：（）依題意可知，可設(shè)橢圓

15、方程為，即，代入，整理得，由，得，故橢圓的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為（）設(shè)直線，設(shè)，由，得，故由，得，則，同理，故存在常數(shù)，使得13已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，（）當(dāng)，時，求的面積；（）當(dāng)時，求的取值范圍【解答】解：（）方法一、時，橢圓的方程為，直線的方程為，代入橢圓方程，整理可得，解得或，則，由，可得，由，可得，整理可得，由無實根，可得，即有的面積為；方法二、由，可得，關(guān)于軸對稱，由可得直線的斜率為1，直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，則的面積為；（）直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，即有，由，可得，整理得，由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，即有，即有，可得

16、，即的取值范圍是，14如圖，設(shè)橢圓，動直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限（）已知直線的斜率為，用，表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為【解答】解：（）設(shè)直線的方程為，由，消去得由于直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，故，即，此時點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在第一象限，故，故，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，（）由于直線過原點(diǎn)且與直線垂直，故直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，整理得：，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為15過橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中，另一條過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（不與，重合），且點(diǎn)不與點(diǎn)重合過作軸的垂線分別

17、交直線，于，（1）求點(diǎn)坐標(biāo)和直線的方程；（2）比較線段和線段的長度關(guān)系并給出證明【解答】解：（1）由題意可得直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，由可求，（2）線段和線段的長度為證明：當(dāng)與軸垂直時，兩點(diǎn)與，兩點(diǎn)重合，由橢圓的對稱性，當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)，的方程為由，消去，整理得則，由已知，則直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)把代入得由已知，則直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)把代入得，將代入到中，即，即16已知，當(dāng)，分別在軸，軸上滑動時，點(diǎn)的軌跡記為（1）求曲線的方程：（2）設(shè)斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若，求【解答】解：（1）設(shè)，由得由，得，從而，曲線的方程為；（2），設(shè)，將代入到的方程并整理，可得，所以和的中點(diǎn)

18、重合，聯(lián)立可得，故17已知橢圓，點(diǎn)（）求橢圓的短軸長和離心率；（）過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，判斷與的大小，并證明你的結(jié)論【解答】解：（）橢圓，化為：，故，有，（3分）橢圓的短軸長為，離心率為（5分）（）結(jié)論是：（6分）設(shè)直線，若不存在，直線化為，此時，滿足：，整理得：（8分）故，（10分）（11分）（12分）故，即點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，故（13分）18已知橢圓，它的上，下頂點(diǎn)分別為，左，右焦點(diǎn)分別為，若四邊形為正方形，且面積為2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，它們與橢圓分別交于點(diǎn)，且四邊形是菱形求證：直線，關(guān)于原點(diǎn)對稱；求出該菱形周長的最大值【解答】（

19、1）解：由題意可知，得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)的方程為，設(shè)的方程為，聯(lián)立，得，由，得，；同理，四邊形是菱形，又，可得直線，關(guān)于原點(diǎn)對稱；橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，四邊形是菱形，即，化簡得：設(shè)菱形的周長為，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，滿足菱形周長的最大值為19在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長為2，傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：【解答】（1）解：由已知，設(shè)，由，兩式相減得由已知條件知，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)，聯(lián)立，得到，得，且，化簡得又

20、為弦的中點(diǎn)，故即，第4講 三角形面積問題一、解答題 1已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，且,為橢圓上異于，的點(diǎn)，和的斜率之積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓中心，是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個動點(diǎn)，求面積的最大值2已知橢圓（）的離心率為，過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于直線對稱，試求四邊形的面積的最大值.3已知橢圓的四個頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點(diǎn)為圓的圓心(1)求橢圓的方程；(2)若M，N為橢圓上的兩個動點(diǎn)，直線OM，ON的斜率分別為，當(dāng)時，MON的面積是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由4已知

21、橢圓C：（ab0）過點(diǎn)，且它的焦距是短軸長的倍.（1）求橢圓C的方程.（2）若A，B是橢圓C上的兩個動點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對稱），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB的斜率分別為k1，k2，問是否存在非零常數(shù)，使k1k2時，的面積S為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.5已知分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)時，求的面積.6已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（ab0）的左、右焦點(diǎn)，過橢圓的上頂點(diǎn)的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（）求橢圓C的方程；（）過F1的直線l交

22、橢圓于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)ABF2面積最大時，求直線l的方程.7已知點(diǎn)，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足軸，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓面積最大時，求直線的方程.8已知橢圓的右焦點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離為3.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不在x軸上），若，延長AO交橢圓與點(diǎn)G，求四邊形AGBE的面積S的最大值.9已知P是圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動時，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與（1）中曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為

23、坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB面積的最大值及此時直線l的方程.10已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.（）求橢圓的方程； （）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.11已知圓M：及定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓M上的動點(diǎn)，點(diǎn)B在上，點(diǎn)G在上，且滿足，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)，與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.12已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，以PF1為直徑的圓E：x2過點(diǎn)F2（1

24、）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P且斜率大于0的直線l1與C的另一個交點(diǎn)為A，與直線x4的交點(diǎn)為B，過點(diǎn)（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x4交于點(diǎn)D，求ABD面積的最小值13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P若直線l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)若的面積為，求直線l的方程14已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，且過點(diǎn)（，）（）求橢圓方程；（）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l：y=kx+m（k0），與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線OP、OQ的斜率一次為k1、k2，滿足4k=k1+k2

25、（i）當(dāng)k變化時，m2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由；（ii）求OPQ面積的取值范圍第4講 三角形面積問題一、解答題 1已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，且,為橢圓上異于，的點(diǎn)，和的斜率之積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓中心，是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個動點(diǎn)，求面積的最大值【答案】（1） （2）【解析】試題分析：第（1）問首先由得到橢圓左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由和的斜率之積為求出幾何量的值即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；第（2）問先列出的面積，需要求直線被橢圓截得的弦長，計算點(diǎn)到直線的距離，再討論的面積最值試題解析：（1）由，得，所以，設(shè)，則， 解得于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）

26、當(dāng)直線垂直于軸時，設(shè)的方程為，由，得，從而，當(dāng)時，的面積取得最大值當(dāng)直線線與軸不垂直時，設(shè)的方程為，由消去，得，化簡得設(shè)，則，原點(diǎn)到直線的距離，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值綜合知，的面積取得最大值考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和橢圓的位置關(guān)系，三角形面積2已知橢圓（）的離心率為，過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于直線對稱，試求四邊形的面積的最大值.【答案】（1）；（2）2【分析】（1）由題得：過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線方程為，又由該直線與圓相切得到：，聯(lián)立，解方程組即得；（2）由題得直線的斜率一定存在，可設(shè)直線，代入橢圓方程，消元

27、化簡得：，由弦長公式求得，再求出點(diǎn)到直線的距離，算出，最后求出四邊形的面積的最大值.【詳解】（1）過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線方程為，即，又該直線與圓相切，又離心率，橢圓的方程為.（2）由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于直線對稱，得.當(dāng)直線的斜率不存在時，軸，四邊形不存在，不合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線，設(shè)，將代入，得，當(dāng)，即時，從而，又點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，且滿足，四邊形的面積的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，求橢圓的面積的最值等問題，運(yùn)用了弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于難題；同時考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.3已知橢圓的四個頂點(diǎn)圍成的

28、菱形的面積為，橢圓的一個焦點(diǎn)為圓的圓心(1)求橢圓的方程；(2)若M，N為橢圓上的兩個動點(diǎn)，直線OM，ON的斜率分別為，當(dāng)時，MON的面積是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由【答案】（1）（2）為定值，詳見解析【分析】(1)根據(jù)菱形的面積和焦點(diǎn)建立方程組，解方程組可得；(2)先求弦長和三角形的高，再求面積的表達(dá)式，求出定值.【詳解】解：（1）由題意可知， 圓的圓心為，所以， 因此，聯(lián)立，解之，故橢圓的方程為. （2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，由，消可得， 則有，即，所以. 點(diǎn)到直線的距離，所以. 又因為，所以，化簡可得，滿足， 代入， 當(dāng)直線的斜率不存在時，由于，考慮

29、到關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,此時，綜上，的面積為定值. 法二：設(shè)，由題意，可得， 所以， 而 因為，所以，故為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求解和定值問題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4已知橢圓C：（ab0）過點(diǎn)，且它的焦距是短軸長的倍.（1）求橢圓C的方程.（2）若A，B是橢圓C上的兩個動點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對稱），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB的斜率分別為k1，k2，問是否存在非零常數(shù)，使k1k2時，的面積S為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）由橢圓過的點(diǎn)及焦距是短軸長的倍和之間的關(guān)系即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)的直線方

30、程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長，及O到直線的距離，由直線OA，OB的斜率之積的值, 得參數(shù)之間的關(guān)系，求出面積的表達(dá)式，由的面積S為定值，可得對應(yīng)比成比例，即可求出的值.【詳解】（1）因為橢圓過點(diǎn)所以又因為該橢圓的焦距是短軸長的倍，所以 從而 聯(lián)立方程組 解得 所以 （2）設(shè)存在這樣的常數(shù)使 的面積為定值.因為A，B兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對稱，故斜率存在，設(shè)直線的方程為點(diǎn)點(diǎn) 則由知即即所以 聯(lián)立方程組 消去得由韋達(dá)定理有代入得 化簡得 點(diǎn)到直線的距離的面積將代入上式，再平方得要使上式為定值, 只需即需 從而 此時 所以存在這樣的常數(shù) 此時為定值.【點(diǎn)睛】本題的結(jié)論是：若A，B是橢圓上

31、的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB的斜率分別為k1，k2，若，則的面積S為定值.5已知分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)時，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得、，由橢圓性質(zhì)可得，進(jìn)而可求出，即可得解；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，化簡后由根與系數(shù)的關(guān)系與三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）由焦點(diǎn)為可得，因為點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由已知，可設(shè)直線方程為，

32、聯(lián)立 得則 ，所以=，因為，所以 ，解得， 聯(lián)立，可得，設(shè)，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，考查了直線與橢圓的綜合問題以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題6已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（ab0）的左、右焦點(diǎn)，過橢圓的上頂點(diǎn)的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（）求橢圓C的方程；（）過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)ABF2面積最大時，求直線l的方程.【答案】（）y2=1；（）xy0或x+y0.【分析】（）根據(jù)直線橢圓的過上頂點(diǎn)，得b=1，再利用點(diǎn)差法以及弦中點(diǎn)坐標(biāo)解得a2=3，即得橢圓方程；（）先設(shè)直線l方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，并以|F1F2|為底邊長求ABF2面積函數(shù)

33、關(guān)系式，在根據(jù)基本不等式求ABF2面積最大值，進(jìn)而確定直線l的方程.【詳解】（）直線x+y=1與y軸的交于（0，1）點(diǎn)，b=1，設(shè)直線x+y=1與橢圓C交于點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2，y1+y2，1，1，兩式相減可得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）=0， 1，解得a2=3，橢圓C的方程為y2=1.（）由（）可得F1（，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），可設(shè)直線l的方程x=my，將直線l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y22my1=0，則y3+y4，y3y4，|y3y4|，|F1F2|y3y4|y3y4|，當(dāng)且僅當(dāng)，

34、即m=1，ABF2面積最大，即直線l的方程為xy0或x+y0.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)差法、基本不等式求最值以及利用韋達(dá)定理研究直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.7已知點(diǎn)，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足軸，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓面積最大時，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由軸，結(jié)合勾股定理可得，從而可求出，則可知，結(jié)合，可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，可得，從而可用 表示出，用內(nèi)切圓半徑表示出，即可知，結(jié)合基本不等式，可求出當(dāng)半徑取最大時， 的值，從而可求出直線的方程.【詳

35、解】解：（1）因為軸，所以，則，由，解得，由橢圓的定義知， ，即，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）要使的內(nèi)切圓的面積最大，需且僅需其的內(nèi)切圓的半徑最大.因為，設(shè)，易知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，故，； 所以，又，故，即，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時內(nèi)切圓半徑取最大值為，直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓內(nèi)三角形周長的求解，考查了三角形的面積公式，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系.本題的關(guān)鍵是用內(nèi)切圓半徑表示出三角形的面積.本題的難點(diǎn)是計算化簡.8已知橢圓的右焦點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離為3.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A

36、，B不在x軸上），若，延長AO交橢圓與點(diǎn)G，求四邊形AGBE的面積S的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓方程中基本量的關(guān)系與右焦點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離，即可求出橢圓基本量，即得橢圓方程；（2）首先聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出四邊形的面積，根據(jù)面積表達(dá)式的函數(shù)單調(diào)性求出面積的最值即可.【詳解】（1）由題知，解得，所以橢圓；（2）因為過點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不在x軸上），設(shè)，聯(lián)立，設(shè)，有，因為，所以四邊形AOBE是平行四邊形，所以，有，令，有，當(dāng)時單調(diào)遞減，所以當(dāng)時面積取最大值，最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程基本量的求解，橢圓中三角形的面積計算，屬于一

37、般題.9已知P是圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動時，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與（1）中曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB面積的最大值及此時直線l的方程.【答案】（1）.（2）面積的最大值為，此時直線l的方程為.【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，利用橢圓定義法可求得曲線C的方程；（2）設(shè)直線l的方程為x=ty與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x，利用韋達(dá)定理結(jié)合三角形的面積，利用換元法以及基本不等式求解最值，然后推出直線方程.【詳解】（1）由已知|

38、QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4，所以點(diǎn)Q的軌跡為以為，焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，則2a=4且2c=2，所以a=2，c=1，則b2=3，所以曲線C的方程為；（2）設(shè)直線l的方程為x=ty與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x，得(3t2+4)y26ty3=0，則y1+y2，y1y2，則SAOB|OM|y1y2|，令，則u1，上式可化為，當(dāng)且僅當(dāng)u，即t=時等號成立，因此AOB面積的最大值為，此時直線l的方程為x=.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系以及基本不等式的應(yīng)用，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.10已知橢圓的

39、離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.（）求橢圓的方程； （）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.【答案】（）（）見解析【分析】（）根據(jù)橢圓截直線所得的線段的長度為，可得橢圓過點(diǎn) ，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；（）分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時，四邊形的面積為 ； 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由 得 ，代入曲線C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù) 寫出面積的表達(dá)式整理即可得到定值【詳解】()由解得 得橢圓的方程為. （）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為 當(dāng)直線

40、的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程 ， 點(diǎn)到直線的距離是 由得因為點(diǎn)在曲線上，所以有整理得由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式、面積計算公式、向量數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題11已知圓M：及定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓M上的動點(diǎn)，點(diǎn)B在上，點(diǎn)G在上，且滿足，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點(diǎn)，與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時，求（O為坐標(biāo)

41、原點(diǎn)）面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡即可求范圍.【詳解】（1）為的中點(diǎn)，且是線段的中垂線，又，點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為（），則，所以曲線C的方程為.（2）設(shè)直線l：（），由消去y，可得.因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，所以，.又由可得；同理可得.由原點(diǎn)O到直線的距離為和，可得.將代入得，當(dāng)時，綜上，面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題，軌跡通過已

42、知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡，直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)而不求韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可，屬于一般性題目.12已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，以PF1為直徑的圓E：x2過點(diǎn)F2（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P且斜率大于0的直線l1與C的另一個交點(diǎn)為A，與直線x4的交點(diǎn)為B，過點(diǎn)（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x4交于點(diǎn)D，求ABD面積的最小值【答案】（1）；（2）22【分析】（1）根據(jù)題意求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l1的方程，代入涂鴉方程，利用韋達(dá)定理求得A的橫坐標(biāo)，求得直線l2方程，求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式及基本不等式即可求得ABD面積的最小值【詳解】（1）在圓E的方程中，令y0，得到：x24，所以F1（2，0），F(xiàn)2（2，0），又因為，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，b2，因此橢圓的方程為