2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國Ⅱ卷)理

1、絕密 啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國卷,理)(本試卷共4頁,23小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2,則U(AB)=()A.-2,3B.-2,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,32.若為第四象限角,則()A.cos 20B.cos 20D.sin 20,b0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn).若ODEA.4B.8C.16D.329.設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1

2、|,則f(x)()A.是偶函數(shù),且在12,+單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù),且在-,-12單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)10.已知ABC是面積為934的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16,則O到平面ABC的距離為(A.3B.32C.1D.11.若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|b0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合,C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A,B兩點(diǎn),交C2于C,(1)求C1的離心率;(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn).若|MF|=5,求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.20.(12分)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形

3、,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn),過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)設(shè)O為A1B1C1的中心,若AO平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0,)的單調(diào)性;(2)證明:|f(x)|33(3)設(shè)nN*,證明:sin2xsin22xsin24xsin22nx3n(二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答,并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑,多涂、錯(cuò)涂、漏涂

4、均不給分,如果多做,則按所做第一題計(jì)分。22.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)已知曲線C1,C2的參數(shù)方程分別為C1:x=4cos2,y=4sin2(為參數(shù)(1)將C1,C2的參數(shù)方程化為普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)C1,C2的交點(diǎn)為P,求圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.23.選修45:不等式選講(10分)已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范圍.2020年數(shù)學(xué)(全國卷,理)查缺補(bǔ)漏表題組及考查主題題型考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏1(集合)選擇題集合的基

5、本運(yùn)算(并集、補(bǔ)集);數(shù)學(xué)運(yùn)算9,11,21(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))選擇題函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性;數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題函數(shù)的單調(diào)性;邏輯推理解答題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算2,17(三角函數(shù)與解三角形)選擇題三角函數(shù)在各象限的符號(hào),二倍角公式;數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題正弦定理、余弦定理,兩角和與差的正弦公式,正弦函數(shù)的性質(zhì);數(shù)學(xué)運(yùn)算13(平面向量)填空題平面向量的數(shù)量積;數(shù)學(xué)運(yùn)算4,6,12(數(shù)列)選擇題等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題 等比數(shù)列的判定,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題數(shù)列的應(yīng)用;邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算7,10,16,20(空間向量與立體

6、幾何)選擇題求空間幾何體的基本元素;直觀想象選擇題球的切接問題,線線、線面的位置關(guān)系;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算填空題空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;直觀想象,邏輯推理解答題空間線線平行、面面垂直的證明、線面角;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算5,8,19(平面解析幾何)選擇題直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離,直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算選擇題雙曲線的幾何性質(zhì),基本不等式;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題求橢圓的離心率,橢圓、拋物線的定義、幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程;邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算續(xù)表題組及考查主題題型考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏3,14,18(計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì))選擇題概率應(yīng)用,數(shù)學(xué)運(yùn)算填空題排列組合;數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題樣本

7、估計(jì)總體,相關(guān)系數(shù),分層抽樣;數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析15(復(fù)數(shù))填空題復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模;數(shù)學(xué)運(yùn)算22(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)解答題極坐標(biāo)與參數(shù)方程;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算23(不等式選講)解答題絕對(duì)值不等式,分段函數(shù);直觀想象、邏輯推理【試題分析】2020年全國卷理科數(shù)學(xué),突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)(約占40%)以及主干內(nèi)容的考查,如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(22分),立體幾何(27分),解析幾何(22分),計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)(22分),三角函數(shù)與解三角形(17分).縱觀全卷,在穩(wěn)定中求創(chuàng)新,重視對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法與能力的考查,關(guān)注學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí),試卷梯度明顯,有良好的區(qū)分度.試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì),突出理性思維

8、、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用,突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查.第12題不僅考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力,而且也考查了學(xué)生的觀察能力、運(yùn)算能力、推斷能力與靈活運(yùn)用知識(shí)的綜合能力.第21題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法、導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.第3題以新冠疫情期間,訂單配貨的概率設(shè)計(jì)問題,考查學(xué)生的邏輯思維能力.第4題以北京天壇為背景,設(shè)計(jì)了數(shù)列的計(jì)算問題,將數(shù)列的基本知識(shí)與文化遺產(chǎn)有機(jī)結(jié)合,考查學(xué)生的分析能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).1.AAB=-1,0,1,2,U(AB)=-2,3.故選A.2.D為第

9、四象限角,sin 0,sin 2=2sin cos 0),則(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.當(dāng)a=1時(shí),圓心為(1,1),此時(shí)圓心到直線2x-y-3=0的距離為d1=|2當(dāng)a=5時(shí),圓心為(5,5),此時(shí)圓心到直線2x-y-3=0的距離為d2=|2綜上,圓心到直線2x-y-3=0的距離為255.故選6.Cam+n=aman,令m=1,又a1=2,an+1=a1an=2an,an+1an=2,an是以2an=2n.ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+11-2101-2=2k+11-2k+1=k+11=15,k+1=57.A8.B由題意可知,

10、雙曲線的漸近線方程為y=bax因?yàn)橹本€x=a與雙曲線的漸近線分別交于D,E兩點(diǎn),所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以SODE=122ba=ab=8所以c2=a2+b22ab=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)取等號(hào).所以c4,所以2c8.所以雙曲線C的焦距的最小值為8.故選B.9.D由題意可知,f(x)的定義域?yàn)閤xf(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)為奇函數(shù).當(dāng)x-12,12時(shí),f(x)=ln(2x+1)-f(x)=22xf(x)在區(qū)間-12同理,f(x

11、)在區(qū)間-,-故選D.10.C設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a,球O的半徑為R,ABC的外接圓的半徑為r,則SABC=34a2=934,S球O=4R2=16,解得a=3,R=2.故r=2設(shè)O到平面ABC的距離為d,則d2+r2=R2,故d=R2-r故選C.【方法速記】在等邊三角形中,設(shè)其邊長為a,則高h(yuǎn)=32a,面積S=34a2,外接圓的半徑R=33a,內(nèi)切圓的半徑r=11.A2x-2y3-x-3-y,2x-3-x2y-3-y.f(t)=2t-3-t在R上為增函數(shù),且f(x)f(y),x0,y-x+11,ln(y-x+1)ln 1=0.故選A.12.C周期為5,m=5.C(k)=1mi=1maia

12、i+k=15iC(k)15(k=1,2,3,4),i=15aiai+k將選項(xiàng)代入驗(yàn)證可知,只有選項(xiàng)C符合題意.故選C.13.22由題意可知,ab=|a|b|cos 45=2ka-b與a垂直,(ka-b)a=k|a|2-ab=k-22=0,k=214.36由題意可知,必有兩名同學(xué)去同一個(gè)小區(qū),故不同的安排方法共有C42A3315.23設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR.|z1|=|z2|=2,a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,a+c=3,b+d=1.(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd

13、=4.2ac+2bd=-4.(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.|z1-z2|=(a-c)16.p1,p4為真命題,p2,p3為假命題,p2,p3為真命題,p1p4為真命題,p1p2為假命題,p2p3為真命題,p3p4為真命題.故填.17.解 (1)由正弦定理和已知條件得BC 2-AC 2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC 2=AC 2+AB2-2ACABcos A.由得cos A=-12.因?yàn)?A,所以A=2(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,從而AC=23sin B,AB=23sin(-A-B故BC

14、+AC+AB=3+3sin B+3cos B=3+23sinB+又0B3,所以當(dāng)B=6時(shí),ABC周長取得最大值3+218.解 (1)由已知得樣本平均數(shù)y=120i=120yi=60,從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,20)的相關(guān)系數(shù)r=i=120(xi(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層,再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性

15、,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).19.解 (1)由已知可設(shè)C2的方程為y2=4cx,其中c=a2不妨設(shè)A,C在第一象限,由題設(shè)得A,B的縱坐標(biāo)分別為b2a,-b2a;C,D的縱坐標(biāo)分別為2c,-2c,故|AB|=2b由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c設(shè)M(x0,y0),則x024c2+y023c2=1,y由于C2的準(zhǔn)線為x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236+y227=

16、1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為20.(1)證明 因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因?yàn)锳1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解 由已知得AMBC.以M為坐標(biāo)原點(diǎn),MA的方向?yàn)閤軸正方向,|MB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M -xyz,則AB=2,AM=連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形,故PM=233,E233由(1)知平面A1AMN平面ABC.作NQAM,垂足為Q,則NQ平面ABC.設(shè)Q(a,0,0),則NQ=4-B1a,故B1E=23又n

17、=(0,-1,0)是平面A1AMN的法向量,故sin2-0;當(dāng)x所以f(x)在區(qū)間0,3,23,(2)證明 因?yàn)閒(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在區(qū)間0,的最大值為f3=338,最小值為而f(x)是周期為的周期函數(shù),故|f(x)|33(3)證明 由于(sin2xsin22xsin22nx)=|sin3xsin32xsin32nx|=|sin x|sin2xsin32xsin32n-1xsin 2nx|sin22nx|=|sin x|f(x)f(2x)f(2n-1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|,所以sin2xsin22xsin22nx3322.解 (1)C1的普通方程為x+y=4(0 x4).由C2的參數(shù)方程得x2=t2+1t2+2,y2=