第二課時 向量的坐標(biāo)表示

1、第二課時 向量的坐標(biāo)表示第1頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日1平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個 的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a， 一對實數(shù)1，2，使a . 其中， 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底不共線有且只有1e12e2不共線的向量e1、e2(2)平面向量的正交分解一個平面向量用一組基底e1、e2表示成a1e12e2的形式，我們稱它為向量a的 當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的 (3)平面向量的坐標(biāo)表示對于向量a，當(dāng)它的起點移至原點O時，其終點坐標(biāo)(x，y)稱為向量a的 ，記作

2、a 分解正交分解坐標(biāo)(x，y)第2頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日2平面向量的坐標(biāo)運算(1)加法、減法、數(shù)乘運算向量abababa坐標(biāo)(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)第3頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (x2x1，y2y1)，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量 的坐標(biāo)減去 的坐標(biāo)(3)向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則a與b共線a .終點始點x1y2x2y10b第4頁，共22頁，2022年，5月20日

3、，21點57分，星期日1(2010南京市第九中學(xué)高三調(diào)研測試)已知向量a(1,2)，b(2,3)， 若(ab)(ab)，則_. 解析：(ab)(ab)(2,23)(1，1)0. 2230， 答案： 第5頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日2. 已知點A（2，3），B（-1，5），且 則點C，D的坐標(biāo)分別是_，_. 解析： (3,2)，設(shè)C(x，y)，則由 得：(x2，y3) (3,2)， x1，y ，C(1， )同理得D(7,9) 答案：(1， )(7,9)第6頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日1由平面向量基本定理知，平面內(nèi)的任一向量都可以用一組基

4、底表示，基底不同，表示的方法也不同2利用基底表示向量，主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的線性運算第7頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日【例1】如右圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知 試用c，d表示 思路點撥：直接用c，d表示 有難度，可換一個角度，由 表示 ，進(jìn)而求 解：解法一：設(shè) 則 ， b ， 將代入得a ，代入得bc 第8頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日解法二：設(shè) .因M，N分別為CD，BC中點，所以，因而 即 第9頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日1向量的坐標(biāo)運算主要是利用

5、加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用2利用向量的坐標(biāo)運算解題主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解3利用坐標(biāo)運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)4向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算第10頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日【例2】 已知A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)且 ，求點M、N及 的坐標(biāo)思路點撥：由A、

6、B、C三點的坐標(biāo)易求得 的坐標(biāo)，再根據(jù)向量坐標(biāo)的定義就可求出M、N的坐標(biāo)第11頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日解：A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)， (1,8)， (6,3)， 設(shè)M(x，y)，則有 (x3，y4)，M點的坐標(biāo)為(0,20)同理可求得N(9,2)，因此 (9，18)，故所求點M、N的坐標(biāo)分別為(0,20)、(9,2)， 的坐標(biāo)為(9，18)第12頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日1平面向量a與b(b0)共線的充要條件是ab，用坐標(biāo)表示為：abx1y2x2y10(a(x1，y1)，b(x2，y2)且b 0 )2向量共線的坐

7、標(biāo)表示提供了通過代數(shù)運算來解決向量共線的方法，也為點共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法解題時要注意共線向量定理的坐標(biāo)表示本身具有公式特征，應(yīng)學(xué)會利用這一點來構(gòu)造函數(shù)和方程，以便用函數(shù)與方程的思想解題第13頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日【例3】 向量 (k,12)， (4,5)， (10，k)， 當(dāng)k為何值時，A、B、C三點共線 思路點撥：根據(jù)向量共線的充要條件，若A、B、C三點共線，只要 滿足 (或 )，就可以列方程求出k的值 或利用向量平行的充要條件求出k的值解：解法一： (4,5)(k,12)(4k，7)， (10，k)(4,5)(6，k5)A、B、C三

8、點共線， ，即(4k，7)(6，k5)(6，(k5)解得k11或2.解法二：接解法一，A、B、C三點共線，(4k)(k5)6(7)，解得k11或2.第14頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日1向量平行的充要條件是建立向量的坐標(biāo)及其運算的理論依據(jù)；平面向量的基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)2利用平面向量的基本定理，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，其具體過程大致為：(1)適當(dāng)選擇基底(兩個彼此不共線向量)；(2)用基底顯示幾何問題的條件和結(jié)論；(3)利用共線向量的充要條件、向量垂直的充要條件，通過向量的運算解決平行、垂直、成角和距離的證明和計算等問題【規(guī)律方法總結(jié)】第15頁，共2

9、2頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日【例4】 已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t為正實數(shù)，xa(t21)b，y(1)若xy，求k的最大值；(2)是否存在k，t，使xy？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由. 第16頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日本題最易出錯的是向量的坐標(biāo)運算，如計算向量x，y時，對數(shù)與向量的乘積只乘向量的一個坐標(biāo)；以坐標(biāo)形式的向量加減運算時，漏掉其中的某個坐標(biāo)；當(dāng)向量x，y垂直時數(shù)量積的運算錯誤，向量x，y平行時，向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系用錯等如把xy的條件是兩個向量坐標(biāo)交叉相乘之差等于零寫成交叉之積的和等于零，即： ，其

10、結(jié)果是k這樣只要給正數(shù)t一個大于 的值，就得到一個正數(shù)k，其結(jié)果就是存在的 【錯因分析】第17頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日解：x(1,2)(t21)(2,1)(2t21，t23)，y (1)若xy，則xy0，即 整理得，k，當(dāng)且僅當(dāng)t ，即t1時取等號，kmax (2)假設(shè)存在正實數(shù)k，t，使xy，則 化簡得 0，即t3tk0.(2)因為k、t為正實數(shù)，故不存在正數(shù)k使上式成立，從而不存在k、t，使xy.,【答題模板】第18頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日向量的模與數(shù)量積向量的模與數(shù)量積之間有關(guān)系式|a|2a2aa，這是一個簡單而重要但又

11、容易用錯的地方，由這個關(guān)系還可以得到如|ab|2|a|22ab|b|2，|abc|a|2|b|2|c|22ab2bc2ca等公式，是用向量的數(shù)量積解決向量模的重要關(guān)系式在解決與向量模有關(guān)的問題時要仔細(xì)辨別題目的已知條件，用好向量的模與數(shù)量積之間的關(guān)系. 【狀元筆記】第19頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日1如圖，在平行四邊形ABCD中，A(1,1)， (6,0)， 點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P. (1)若 =(3,5)，求點C的坐標(biāo)； (2)當(dāng) 時，求點P的軌跡方程 分析：(1)可根據(jù)兩個向量相等，對應(yīng)的坐標(biāo)相等求出C的坐標(biāo)； (2)設(shè)出點P的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示兩個對角線所表示的向量，根據(jù) 菱形的對角線互相垂直，求出P的軌跡方程第20頁，共22頁，2022年，5月20日，21點57分，星期日解：(1)設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0，y0) =(9,5)，(x0-1，y0-1)=(9,5)，x0=10，y0=6，即點C的坐標(biāo)為(10,6)(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則 =(x-7，y-1)， = =(3x-9,3y