對(duì)數(shù)平均值的幾何解釋與探究(岳峻)課件

1、高考?jí)狠S題與對(duì)數(shù)平均值高考?jí)狠S題與對(duì)數(shù)平均值 中學(xué)數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家安振平在剖析2013年陜西高考數(shù)學(xué)時(shí)指出，其壓軸題的理論背景是： 設(shè) 則 ， 其中 被稱(chēng)之為對(duì)數(shù)平均值.一、對(duì)數(shù)平均值的概念 中學(xué)數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家安振平在剖析2013年陜西 對(duì)數(shù)平均值在現(xiàn)行高中教材沒(méi)有出現(xiàn)，但其蘊(yùn)含著高等數(shù)學(xué)的背景，近幾年的高考?jí)狠S題中，頻頻出現(xiàn)。 安振平老師構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)證明了對(duì)數(shù)平均數(shù)的有關(guān)不等式，難度較大，為此，本人作了一些探討，以期對(duì)2016年的復(fù)習(xí)迎考有所啟發(fā)。一、對(duì)數(shù)平均值的概念 對(duì)數(shù)平均值在現(xiàn)行高中教材沒(méi)有出現(xiàn)，但其蘊(yùn)含 設(shè) ，則二、對(duì)數(shù)平均值的不等式鏈 二、對(duì)數(shù)平均值的不等式鏈三、不等式鏈的證明

2、思路1：由于 為兩個(gè)獨(dú)立的變量，如果能夠變形為一個(gè)整體，那么就可以構(gòu)造兩個(gè)變量的比值（或差值）通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為一元變量，再利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具證明此不等式. 下面以 為例加以證明。三、不等式鏈的證明 思路1：由于 為兩個(gè)獨(dú) 證法1：設(shè) ，則不等式等價(jià)于 設(shè)函數(shù) 則 令 則 所以 在 單調(diào)遞增， 所以 在 單調(diào)遞增， 故待證不等式成立。三、不等式鏈的證明 證法1：設(shè) 思路2：因?yàn)橐C的不等式中含有兩個(gè)變量，地位均衡.如果我們辯證的看到它們，將其中某一個(gè)變量作為主元，另外的一個(gè)變量視作為常量來(lái)處理，那么往往問(wèn)題就可破解.三、不等式鏈的證明 思路2：因?yàn)橐C的不等式中含有兩個(gè)變量，地位均證法2：設(shè) ，則不

3、等式等價(jià)于設(shè)函數(shù) 則 令 則 所以 在 單調(diào)遞增， 所以 在 單調(diào)遞增， 故待證不等式成立。三、不等式鏈的證明證法2：設(shè) 評(píng)注：涉及兩個(gè)變量的不等式的證明，其解題策略耐人尋味: 證法1是先將不等式逆推分析，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使得其中的兩個(gè)變量的特征、規(guī)律更明朗，然后將兩個(gè)變量的比值（或和、或差、或積）替換為新的一元變量，便于構(gòu)造出新的一元函數(shù)，再通過(guò)對(duì)新的一元函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性、確定極值（或最值），達(dá)到解決問(wèn)題的目的，可歸結(jié)為 “化歸-換元-構(gòu)造-求導(dǎo)”； 證法2將地位均衡的兩個(gè)變量之一作為主元，另外的一個(gè)變量視為常量來(lái)處理，構(gòu)造出一元函數(shù)，可歸結(jié)為 “化歸-主元-構(gòu)造-求導(dǎo)”.三、不等式鏈的

4、證明 評(píng)注：涉及兩個(gè)變量的不等式的證明，其解題策略耐 反比例函數(shù) 的圖象，如圖所示，作 ， 軸，則 ，作 在點(diǎn) 處的切線分別與 交于 ，四、對(duì)數(shù)平均值的幾何解釋 反比例函數(shù) 四、對(duì)數(shù)平均值的幾何解釋?zhuān)?）因?yàn)?，所以 （2） 如圖可知： ，所以 四、對(duì)數(shù)平均值的幾何解釋?zhuān)?）因?yàn)?四、對(duì)數(shù)平均值的幾何解釋?zhuān)?）又 ，所以 綜上可知：即 四、對(duì)數(shù)平均值的幾何解釋?zhuān)?）又 對(duì)數(shù)平均數(shù)的不等式鏈，提供了多種巧妙放縮的途徑，可以用來(lái)解決含自然對(duì)數(shù)的不等式問(wèn)題對(duì)數(shù)平均數(shù)的不等式鏈包含多個(gè)不等式，我們可以根據(jù)問(wèn)題的需要合理選取其中一個(gè)達(dá)到不等式證明的目的五、不等式鏈的應(yīng)用 對(duì)數(shù)平均數(shù)的不等式鏈，提供了多種

5、巧妙放縮的例1 （2014陜西）設(shè)函數(shù) 其中 是 的導(dǎo)函數(shù)（1）（2）（略）（3）設(shè) ，比較 與 的大小，并加以證明五、不等式鏈的應(yīng)用1 的應(yīng)用解析：（3）因?yàn)樗远?因此，只需比較 與 的大小即可. 例1 （2014陜西）設(shè)函數(shù) 五、不等式鏈的應(yīng)用1 的應(yīng)用解析：由于 時(shí)， 即令 則所以將以上各不等式相加得：故五、不等式鏈的應(yīng)用解析：由于 評(píng)注 本題是高考試題的壓軸題，難度較大，為了降低試題的難度采取多步設(shè)問(wèn)，層層遞進(jìn)，上問(wèn)結(jié)論，用于下問(wèn)，其第二問(wèn)是為第三問(wèn)做鋪墊的“梯子”，盡管如此，步驟依然繁瑣，求解過(guò)程復(fù)雜，但我們這里應(yīng)用對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈來(lái)證明，思路簡(jiǎn)捷，別具新意，易于學(xué)生理解、掌握五

6、、不等式鏈的應(yīng)用1 的應(yīng)用 評(píng)注 本題是高考試題的壓軸題，難度較大，為例2 （2012天津）設(shè)函數(shù) 的最小值為0（1）（2）（略）（3）證明：五、不等式鏈的應(yīng)用1 的應(yīng)用解析：（3）易求 待證不等式等價(jià)于由于 時(shí)， 即令 則因此例2 （2012天津）設(shè)函數(shù) 五、不等式鏈的應(yīng)用1 的應(yīng)用解析：將以上各不等式左右兩邊分別相加得： 即五、不等式鏈的應(yīng)用解析：將以上各不等式左右兩邊分別相加得例3 設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)為 其前 項(xiàng)的和為 證明五、不等式鏈的應(yīng)用2 的應(yīng)用解析：因?yàn)?時(shí)， 即令 則易證例3 設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)為 例4 （2015廣州三模）記函數(shù) 的圖象為曲線 設(shè) 為曲線 上的不同兩點(diǎn)。如果在曲線 上

7、存在點(diǎn) 使得：（1） （2）曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于直線 則稱(chēng)函數(shù) 存在“中值相依切線”. 試問(wèn)函數(shù) 是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由。五、不等式鏈的應(yīng)用3 的應(yīng)用解析：假設(shè)函數(shù) 存在“中值相依切線”， 則 即化簡(jiǎn)可得： 由 知假設(shè)不成立。故函數(shù) 存在“中值相依切線”。例4 （2015廣州三模）記函數(shù) 例5 （2015瀘州三診）記函數(shù)（1）（2）（略）（3）設(shè)函數(shù) 的圖象 與函數(shù) 的圖象 交于 過(guò)線段 的中點(diǎn) 作 的垂線分別交 于點(diǎn) 問(wèn)是否存在點(diǎn)使得 在 處的切線與 在 處的切線平行？若存在，求出 的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。五、不等式鏈的應(yīng)用3 的應(yīng)用解析：設(shè) 則 的橫坐標(biāo)為 在

8、處的切線斜率 在 處的切線假設(shè)存在，則例5 （2015瀘州三診）記函數(shù)五、不等式鏈的應(yīng)用解析例5 （2015瀘州三診）記函數(shù)（1）（2）（略）（3）設(shè)函數(shù) 的圖象 與函數(shù) 的圖象 交于 過(guò)線段 的中點(diǎn) 作 的垂線分別交 于點(diǎn) 問(wèn)是否存在點(diǎn)使得 在 處的切線與 在 處的切線平行？若存在，求出 的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。五、不等式鏈的應(yīng)用3 的應(yīng)用解析：亦即 與 矛盾，故不存在 在 處的切線與 在 處的切線平行。例5 （2015瀘州三診）記函數(shù)五、不等式鏈的應(yīng)用解析例6 設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)為 證明：五、不等式鏈的應(yīng)用3 的應(yīng)用解析：因?yàn)?時(shí)， 即令 則易證例6 設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)為 例7 （2010

9、湖北）已知函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線方程為（1）用 表示 ；（2）（略）（3）證明：五、不等式鏈的應(yīng)用4 的應(yīng)用解析： （1）（3）因?yàn)?時(shí)， 即令 則例7 （2010湖北）已知函數(shù) 例7（2010湖北）已知函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線方程為（3）證明：五、不等式鏈的應(yīng)用4 的應(yīng)用解析：（3）因此將以上各不等式左右兩邊分別相加得：即 待證不等式成立.例7（2010湖北）已知函數(shù) 例8 （2013年新課標(biāo)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn) （1）若 時(shí), 求 的最小值；（2）設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)為 證明：五、不等式鏈的應(yīng)用4 的應(yīng)用解析：（1） 的最小值是（2）當(dāng) 時(shí)， 即令 則例8 （2013年新課標(biāo)）已知函數(shù)的圖

10、象在點(diǎn) 例8 （2013年新課標(biāo)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn) （1）若 時(shí), 求 的最小值；（2）設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)為 證明：五、不等式鏈的應(yīng)用4 的應(yīng)用解析：（2）所以將以上各不等式左右兩邊分別相加得： 變形即可得證.例8 （2013年新課標(biāo)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn) 例8 （2013年新課標(biāo)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn) （1）若 時(shí), 求 的最小值；（2）設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)為 證明：五、不等式鏈的應(yīng)用4 的應(yīng)用評(píng)注：本題提供標(biāo)準(zhǔn)答案是借助于第一問(wèn)的 的最小值 時(shí)， 加以賦值，并進(jìn)行變形，令 有 亦即 達(dá)到放縮的目的.兩者相比較，自然是運(yùn)用對(duì)數(shù)平均值的不等式鏈的方法簡(jiǎn)捷.例8 （2013年新課標(biāo)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn) 例9

11、 （2014福建）已知函數(shù)（1）（略）；（2）求證：五、不等式鏈的應(yīng)用5 的應(yīng)用解析：（2）當(dāng) 時(shí)， 即令 則 變形可得：則 將以上不等式相加即可得證.例9 （2014福建）已知函數(shù)五、不等式鏈的應(yīng)用解析：（例9 （2014福建）已知函數(shù)（1）（略）；（2）求證：五、不等式鏈的應(yīng)用5 的應(yīng)用評(píng)注：本題提供標(biāo)準(zhǔn)答案是借助于第一問(wèn)的 的最小值 時(shí)， 即 結(jié)合待證不等式的特征，令 得 整理得： 即 借此作為放縮的途徑達(dá)到證明的目的你能注意到兩種方法的區(qū)別嗎？例9 （2014福建）已知函數(shù)五、不等式鏈的應(yīng)用評(píng)注：本六、不等式鏈的探究 以對(duì)數(shù)平均數(shù)的不等式鏈為落點(diǎn)的壓軸試題層出不窮，是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽、名

12、校模擬數(shù)學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)真題的重要的理論背景之一. 羅增儒教授指出：通過(guò)有限的典型考題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智。這里的領(lǐng)悟解題的數(shù)學(xué)機(jī)智從某種意義上說(shuō)就是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，而對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)還在于我們對(duì)問(wèn)題信息的審視和挖掘.六、不等式鏈的探究 以對(duì)數(shù)平均數(shù)的不等式鏈為落六、不等式鏈的探究探究1：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 ，求證： 探究2：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 ，求證： 示例1：（2012湖北文科）設(shè)函數(shù) 為正整數(shù)， 為常數(shù)，曲線 在 處的切線方程為（1）求 的值；（2）求函數(shù) 的最大值；（3）證明：六、不等式鏈的探究探究1：取 六、不等式鏈的

13、探究示例1：（2012湖北文科）設(shè)函數(shù) 為正整數(shù)， 為常數(shù)，曲線 在 處的切線方程為（1）求 的值；（2）求函數(shù) 的最大值；（3）證明：分析： （1） （2）（3）只需證明 即證亦即 只需證明 而得證。六、不等式鏈的探究示例1：（2012湖北文科）設(shè)函數(shù) 六、不等式鏈的探究探究3：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 ，求證： 示例2：已知函數(shù) （1）設(shè) 證明：當(dāng) 時(shí)，（2）若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) 且 證明：六、不等式鏈的探究探究3：取 六、不等式鏈的探究示例2：已知函數(shù) （1）設(shè) 證明：當(dāng) 時(shí)，（2）若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) 且 證明：分析： （1）只需證 即證 亦即（2）要證 只需證由 有即證

14、 變形亦即六、不等式鏈的探究示例2：已知函數(shù) 六、不等式鏈的探究探究4：取 則由知： 探究5：取 則由知： 示例3：（2013湖南文科）已知函數(shù)（1）求 的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng) 時(shí)， 六、不等式鏈的探究探究4：取 六、不等式鏈的探究示例3：（2013湖南文科）已知函數(shù)（1）求 的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng) 時(shí)， 分析：（1） 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?，則即所以六、不等式鏈的探究示例3：（2013湖南文科）已知函數(shù)分析：六、不等式鏈的探究示例3：（2013湖南文科）已知函數(shù)（1）求 的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng) 時(shí)， 分析：（2）根據(jù)對(duì)數(shù)不等式鏈可知：所以六、不等式鏈的探究示

15、例3：（2013湖南文科）已知函數(shù)六、不等式鏈的探究示例3：（2013湖南文科）已知函數(shù)（1）求 的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng) 時(shí)， 分析：（2）亦即因?yàn)樗怨?得證。六、不等式鏈的探究示例3：（2013湖南文科）已知函數(shù)六、不等式鏈的探究探究6：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 ，求證： 探究7：取 則由 知： 于是，可編制如下試題： 求證： 六、不等式鏈的探究探究6：取 六、不等式鏈的探究探究8：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 探究9：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 六、不等式鏈的探究探究8：取 六、不等式鏈的探究探究10：取 則由知： 于是

16、，可編制如下試題： 已知 求證： 示例4：（2014綿陽(yáng)三診理科）已知函數(shù) 有且只有一個(gè)零點(diǎn)。（1）求 的值；（2）（略）（3）設(shè)函數(shù) 對(duì)任意的證明：不等式 恒成立。六、不等式鏈的探究探究10：取 六、不等式鏈的探究示例4：（2014綿陽(yáng)三診理科）已知函數(shù) 有且只有一個(gè)零點(diǎn)。（1）求 的值；（2）（略）（3）設(shè)函數(shù) 對(duì)任意的證明：不等式 恒成立。分析：（1） （2）（略）（3）設(shè)函數(shù) 不妨設(shè)只需證明易證不等式恒成立。六、不等式鏈的探究示例4：（2014綿陽(yáng)三診理科）已知函數(shù) 六、不等式鏈的探究探究11：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 六、不等式鏈的探究探究11：取 六、不等

17、式鏈的探究探究12：取 則由 知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 探究13：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 六、不等式鏈的探究探究12：取 六、不等式鏈的探究示例5：（2014南通二模）已知函數(shù) 其圖象與 軸交于 兩點(diǎn)，且（1）求 的范圍；（2）證明：分析：（1） （2）由已知得則兩邊取對(duì)數(shù)，則：所以 而六、不等式鏈的探究示例5：（2014南通二模）已知函數(shù) 六、不等式鏈的探究示例5：（2014南通二模）已知函數(shù) 其圖象與 軸交于 兩點(diǎn)，且（1）求 的范圍；（2）證明：分析： 要證 只需證明即因?yàn)樗詥?wèn)題得證。六、不等式鏈的探究示例5：（2014南通二模）已知函數(shù)

18、六、不等式鏈的探究探究14：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 六、不等式鏈的探究探究14：取 六、不等式鏈的探究探究15：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 示例6：（2013陜西理科）已知函數(shù) （1）（2）（略）（3）設(shè) 比較 與 的大小，并說(shuō)明理由.六、不等式鏈的探究探究15：取 示例6：（2013陜西理科）已知函數(shù) （1）（2）（略）（3）設(shè) 比較 與 的大小，并說(shuō)明理由.六、不等式鏈的探究分析： 顯然，評(píng)注：本題中的官方答案是用比較法，轉(zhuǎn)化為以 為元構(gòu)造函數(shù) 解決問(wèn)題，顯然比較繁瑣。示例6：（2013陜西理科）已知函數(shù) 六、不等式鏈的探究探究16：取

19、則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 示例7：（2014綿陽(yáng)一診理科）已知函數(shù)（1）（2）（略）（3）如果函數(shù) 恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)證明：六、不等式鏈的探究探究16：取 六、不等式鏈的探究示例7：（2014綿陽(yáng)一診理科）已知函數(shù)（1）（2）（略）（3）如果函數(shù) 恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)證明：分析：因?yàn)楹瘮?shù) 恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)所以兩式相減，得： 要證明 只需證明： 得證。六、不等式鏈的探究示例7：（2014綿陽(yáng)一診理科）已知函數(shù)分六、不等式鏈的探究探究17：取 則由知： 于是，可編制如下試題： 已知 求證： 六、不等式鏈的探究探究17：取 六、不等式鏈的探究探究18：探究19：六、不等式鏈的探究探究18：七、二輪復(fù)習(xí)的思考 1.凸顯重點(diǎn)，明確二輪復(fù)習(xí)的主體知識(shí) 經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)后，專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)間有限，教學(xué)務(wù)必