107-微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用課件

1、10.7 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一. 市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡價(jià)格模型二. 人口增長(zhǎng)模型三. 提高勞動(dòng)生產(chǎn)率模型四. 具有價(jià)格預(yù)期的市場(chǎng)模型10.7 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一. 市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡價(jià)格機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 教學(xué)目標(biāo)1. 了解微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 教學(xué)10.7 微分方程 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 微分方程是研究經(jīng)濟(jì)問題的一個(gè)重要工具. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的許多經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律都是以微分方程的形式來表現(xiàn)的. 本節(jié)我們將介紹微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用模型. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 10.7

2、微分方程 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 微分方程是研一. 市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡價(jià)格模型 一種商品的價(jià)格主要由市場(chǎng)的供需關(guān)系來確定, 若商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為（其中 均為正常數(shù)）.當(dāng)供給量與需求量相等時(shí), 即得則稱為該商品的均衡價(jià)格.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一. 市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡價(jià)格模型 一種商品的價(jià)格主要由市一般地說, 當(dāng)市場(chǎng)上該商品價(jià)格供大于求時(shí),價(jià)格將下跌; 供不應(yīng)求時(shí),價(jià)格將上漲. 因此,該商品在市場(chǎng)上的價(jià)格將隨著時(shí)間的變化而圍繞著均衡價(jià)格上下波動(dòng).價(jià)格 P 為時(shí)間 t 的函數(shù), 已知初始價(jià)格根據(jù)上述供應(yīng)關(guān)系變化影響價(jià)格變化的分析,可以假設(shè)在任一時(shí)刻 t, 價(jià)格P(t) 變化率總與這一時(shí)刻的

3、超額需求成正比(比例常數(shù)k0).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一般地說, 當(dāng)市場(chǎng)上該商品價(jià)格供大于求時(shí),價(jià)格將下跌; 其中 k 為比例系數(shù), 它反映價(jià)格的調(diào)整速度. 根據(jù)上述假設(shè), 可得微分方程 (10.6.1)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中, 人們通常把方程(10.6.1)稱為動(dòng)態(tài)價(jià)格調(diào)整模型. 將代入方程(10.6.1), 得 (10.6.2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中 k 為比例系數(shù), 它反映價(jià)格的調(diào)整速度. 根據(jù)上述假設(shè)這是一個(gè)一階非齊次線性微分方程, 其通解為 (10.6.3)由于為常數(shù), 故當(dāng)時(shí),從而價(jià)格均衡價(jià)格.由此可見, 隨著時(shí)間的推移, 價(jià)格趨向于均衡價(jià)格. 實(shí)際從經(jīng)濟(jì)學(xué)的意

4、義上來看. P(t) 的表達(dá)式的兩項(xiàng)各具鮮明的經(jīng)濟(jì)意義:為均衡價(jià)格, 而就是價(jià)格的均衡偏差.上, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這是一個(gè)一階非齊次線性微分方程, 其通解為 二. 人口增長(zhǎng)模型如何預(yù)測(cè)某個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口總數(shù), 是人們普遍關(guān)注的一個(gè)問題.下面介紹幾個(gè)人口預(yù)測(cè)模型.1. 指數(shù)增長(zhǎng)模型 (Malthus 模型)該模型由英國(guó)傳教士、人口學(xué)家馬爾薩斯(Malthus)于1789年發(fā)表在人口學(xué)原理一書上.馬爾薩斯提出人口模型的基本假設(shè):人口增長(zhǎng)率是常數(shù). 即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比.下面用“微元法”來建立馬爾薩斯描述的人口增長(zhǎng)的微分方程模型.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

5、回 結(jié)束 二. 人口增長(zhǎng)模型如何預(yù)測(cè)某個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口總數(shù), 是人假設(shè) t 時(shí)刻的人口為 x(t), 經(jīng)過一段短的時(shí)間后,在時(shí)刻,人口數(shù)量變化為由基本假設(shè), 在短時(shí)間內(nèi), 人口數(shù)量的增加量與當(dāng)時(shí)的人口 x(t) 成正比.不妨假設(shè)比例系數(shù)為即在內(nèi)人口的增量可寫為于是x(t)滿足的微分方程如下:(10.6.4)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 假設(shè) t 時(shí)刻的人口為 x(t), 經(jīng)過一段短的時(shí)間后,在稱為Malthus模型. 人口隨時(shí)間指數(shù)增長(zhǎng), 因此也稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型.馬爾薩斯人口論的核心內(nèi)容是: 人口按幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng), 而生活資料則按算術(shù)技術(shù)增長(zhǎng), 兩者的矛盾必然要給人類社會(huì)進(jìn)步造成障礙.人

6、口會(huì)不會(huì)無限增長(zhǎng)? 因?yàn)槿丝诘脑黾右艿阶匀粭l件等因素的約束, 在一定的生產(chǎn)條件下, 存在 一個(gè)最大的人口容量.美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明, 1860年以前它是一階線性微分方程, 容易求得解為事實(shí)上是不會(huì)的. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 稱為Malthus模型. 人口隨時(shí)間指數(shù)增長(zhǎng), 因此也稱人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與指數(shù)增長(zhǎng)模型吻合較好, 之后, 兩者有較大的差異. 人口學(xué)家的解釋是, 人口較少時(shí), 土地等自然條件可以盡可利用, 這時(shí)人口增長(zhǎng)率近似于常數(shù); 當(dāng)人口達(dá)到一定 數(shù)量以后, 受到自然條件限制, 增長(zhǎng)率隨人口的增長(zhǎng)而減少. 這時(shí), 人口增長(zhǎng)率為常數(shù)的假設(shè)不再適用了, 需要構(gòu)造增長(zhǎng) 率隨人口數(shù)量

7、變化的關(guān)系式. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與指數(shù)增長(zhǎng)模型吻合較好, 之后, 兩者有較大的2. 阻滯增長(zhǎng)模型(logistic模型)Malthus模型在1840年由比利時(shí)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)爾胡斯特 (Verhulst) 所修正. 他提出的假設(shè)包括: (1) 由于自然資源的約束, 人口存在一個(gè)最大容量 (2) 增長(zhǎng)率隨人口的增加而減少, 當(dāng)人口數(shù)量 x(t) 遠(yuǎn)小于時(shí), 人口以固定增長(zhǎng)率增加;當(dāng)x(t) 接近時(shí), 增長(zhǎng)率為零.滿足上述性質(zhì)的增長(zhǎng)率可以寫成(10.6.5)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 阻滯增長(zhǎng)模型(logistic模型)Malthus模型這樣, Malt

8、hus模型(10.6.4)變?yōu)?10.6.6)它是一個(gè)可分離變量的一階微分方程, 分離變量得,上式兩端積分, 得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這樣, Malthus模型(10.6.4)變?yōu)?10.6.即由初始條件得代入上式, 得(10.6.6)微分方程(10.6.6)稱為阻滯增長(zhǎng)模型或邏輯斯諦(Logistic)模型. 其解曲線(10.6.7)稱為邏輯斯諦曲線.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即由初始條件得代入上式, 得(10.6.6)微分方程(10.更復(fù)雜的人口模型需要考慮隨時(shí)間和人口變化的人口增長(zhǎng)率、同樣隨時(shí)間改變的人口容量以及與育齡婦女和人口齡分布有關(guān)的人口基數(shù), 此外還要考慮

9、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等隨機(jī)因素對(duì)人口的影響.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中, 凡是增長(zhǎng)率與現(xiàn)實(shí)值 x(t) 及接近飽和水平的程度之積成正比的變量(為飽和值), 其變化均遵循邏輯斯諦曲線的變化規(guī)律. 由于在經(jīng)濟(jì)學(xué)中增長(zhǎng)率、變化率, 通常都用“邊際”來表示, 所以這類模型在經(jīng)學(xué)、人口學(xué)與生物學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 更復(fù)雜的人口模型需要考慮隨時(shí)間和人口變化的人口增長(zhǎng)率、同樣隨三. 提高勞動(dòng)生產(chǎn)率模型發(fā)展經(jīng)濟(jì)、增加生產(chǎn)有兩個(gè)重要因素, 一是增加投資, 二是投入更多的勞動(dòng)力. 恰當(dāng)調(diào)節(jié)投資增長(zhǎng)和勞動(dòng)力增長(zhǎng)的關(guān) 使增加的產(chǎn)量不致被勞動(dòng)力的增長(zhǎng)抵消, 這樣勞動(dòng)力生 產(chǎn)率才能不斷提高. 下面建立描述生產(chǎn)

10、量、勞動(dòng)力和投資之 間變化規(guī)律的模型.用Q(t), L(t) 和 K(t) 分別表示時(shí)刻 t 的產(chǎn)量、勞動(dòng)力和資金. 假設(shè)勞動(dòng)力每年的相對(duì)增長(zhǎng)率是常數(shù) 即系, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三. 提高勞動(dòng)生產(chǎn)率模型發(fā)展經(jīng)濟(jì)、增加生產(chǎn)有兩個(gè)重要因素,(10.6.8)投資的年增長(zhǎng)率與產(chǎn)量成正比, 比例系數(shù)為即(10.6.9)產(chǎn)量函數(shù)取為(10.6.10)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (10.6.8)投資的年增長(zhǎng)率與產(chǎn)量成正比, 比例系數(shù)為即方程(10.6.8)的解為(10.6.11)將式(10.6.10)和式(10.6.11)代入式(10.6.9), 得到(10.6.12)方程(10.

11、6.12)的解為(10.6.13)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方程(10.6.8)的解為(10.6.11)將式(10.6.用Z(t) 表示 t 時(shí)刻的勞動(dòng)生產(chǎn)率, 有(10.6.14)由式(10.6.14)不難看出, 只要就有就是說, 只要初始投資的相對(duì)增長(zhǎng)率大于于勞動(dòng)力的相對(duì)增長(zhǎng)率(常數(shù) ),就能保證勞動(dòng)生產(chǎn)率Z(t)的不斷增長(zhǎng).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 用Z(t) 表示 t 時(shí)刻的勞動(dòng)生產(chǎn)率, 有(10.6.1六. 具有價(jià)格預(yù)期的市場(chǎng)模型在動(dòng)態(tài)市場(chǎng)中, 和 均取為當(dāng)前的價(jià)格函數(shù), 但是數(shù)為線性的條件下, 由于價(jià)格趨勢(shì)可能使買者和賣者對(duì)未來價(jià)格作出某些預(yù)期，而這些價(jià)格預(yù)期又

12、會(huì)影響其供求決策，所以在供求函(價(jià)格是否上升)與 (價(jià)格是否以遞增速率上升)得到. 時(shí)間的情況下, 價(jià)格趨勢(shì)的信息, 基本上可用導(dǎo)數(shù) 礎(chǔ)上，而且還要建立在價(jià)格趨勢(shì) 的基礎(chǔ)上. 在連續(xù)有時(shí)賣者和買者的市場(chǎng)行為, 不僅要建立在現(xiàn)期價(jià)格的基還應(yīng)滿足關(guān)系式和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 六. 具有價(jià)格預(yù)期的市場(chǎng)模型在動(dòng)態(tài)市場(chǎng)中, 和 且 、 、 、 是原來市場(chǎng)模型帶來的舊參數(shù)，而 m、n 、 、w 是未來市場(chǎng)模型所預(yù)期的新參數(shù). (10.6.15)方程(10.6.15)中的參數(shù) m、n 與 、w 分別體現(xiàn)了買者與賣者對(duì)價(jià)格的預(yù)期. 特別地, m 0時(shí), 則買者預(yù)期價(jià)格將持續(xù)上升, 愿意增加購(gòu)買數(shù)量.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 且 、 、 、 是原來市場(chǎng)模型帶來的舊參數(shù)，而 m、這個(gè)方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱之為價(jià)格預(yù)期的市場(chǎng)模型. 當(dāng) m 0 時(shí), 則且于是, 由情況 (1)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 當(dāng)時(shí),特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)于是, 方程(10.6 此時(shí), 有 因此, 瞬時(shí)均衡是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的; 時(shí),當(dāng)瞬時(shí)均衡是動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定的; 時(shí),當(dāng)當(dāng) n0 時(shí), 則且可正、可負(fù)、可為零.于是, 情況(1)情況(3