北京專用2022年版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語不等式第四節(jié)基本不等式及其應(yīng)用課件

1、第四節(jié)基本不等式及其應(yīng)用學(xué)習(xí)要求:1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.必備知識整合1.基本不等式(1)基本不等式成立的條件:a0,b0.(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.(3)其中稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).2.幾個重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.(2)ab(a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.(3)(a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.(4)+2(a,b同號),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.3.利用基本不等式求最值已知x0,y0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時

2、,x+y有最小值,是2.(簡記:積定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,xy有最大值,是.(簡記:和定積最大)知識拓展利用基本不等式求最值的兩個常用結(jié)論(1)已知實(shí)數(shù)a,b,x,y0,若ax+by=1,則有+=(ax+by)=a+b+a+b+2=(+)2.(2)已知實(shí)數(shù)a,b,x,y0,若+=1,則有x+y=(x+y)=a+b+a+b+2 =(+)2.【微點(diǎn)提醒】1.應(yīng)用基本不等式求最值要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某個條件,就會出錯.2.在利用基本不等式求最值時,一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用,則一定要保證它們等號成立的條件一致.1.判斷正誤(正

3、確的打“”,錯誤的打“”).(1)兩個不等式a2+b22ab與成立的條件是相同的.()(2)函數(shù)f(x)=sin x+的最小值為4.()(3)x0且y0是+2的充要條件.()2.(新教材人A必修第一冊P48T1改編)已知x2,則x+的最小值是()A.2B.4C.2D.6D3.(新教材人A必修第一冊P45例1改編)若xx0,且+m恒成立,求m的最小值.解析易錯原因: 忽略使用基本不等式的前提條件.由題意知,當(dāng)4yx0時,m恒成立.=+=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立),m2,故m的最小值為2.關(guān)鍵能力突破考點(diǎn)一利用基本不等式證明典例1(2019課標(biāo)全國,23,10分)已知a,b,c為正數(shù),且滿足

4、abc=1.證明:(1)+a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.證明(1)因?yàn)閍2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,abc=1,所以有a2+b2+c2ab+bc+ca=+,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.所以+a2+b2+c2.(2)因?yàn)閍,b,c為正數(shù)且abc=1,所以有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33=3(a+b)(b+c)(a+c)3222=24,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.名師點(diǎn)評利用基本不等式證明不等式時,首先要觀察題中要證明的不等式的形式.若符合基本不等式的條件,則直接利

5、用基本不等式或最值定理證明.若不符合基本不等式的條件,則對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等,使之達(dá)到使用基本不等式的條件.已知a0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.證明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立,所以(a+b)38,因此a+b2.考點(diǎn)二利用基本不等式求最值角度1利用配湊法求最值典例2已知0 x0,b0,+=1,所以a+b

6、=(a+b)=10+10+2=16(當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=12時取等號).由題意,得16-x2+4x+18-m對任意實(shí)數(shù)x恒成立,即x2-4x-2-m對任意實(shí)數(shù)x恒成立,因?yàn)閤2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值為-6,所以-6-m,即m6.故選D.角度3利用消元法求最值典例4已知x0,y0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為6.解析解法一(換元消元法):由已知得x+3y=9-xy.因?yàn)閤0,y0,所以x+3y2,所以3xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=1時取等號.3xy可化為(x+3y)2+12(x+3y)-1080.令x+3y=t,則t0且t2+12t-108

7、0,解得t6,即x+3y6.解法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=,所以x+3y=+3y=3(1+y)+-62-6=12-6=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1時取等號.所以x+3y的最小值為6.名師點(diǎn)評1.利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值,主要思路有兩種:對條件使用基本不等式,建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.條件變形,進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)的最值.(2)有些題目雖然不具備直接應(yīng)用基本不等式求最值的條件,但可以通過添項(xiàng)、分離常數(shù)、平方等方法使之能運(yùn)用基本不等式.常用的方法還有拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、分離常數(shù)法、換元法、整體代換法.另外

8、,對于函數(shù)f(x)=ax+(a0,b0)的定義域內(nèi)不含實(shí)數(shù)的類型的最值問題,要學(xué)會使用函數(shù)的單調(diào)性求解.2.求形如函數(shù)y=在某個區(qū)間內(nèi)的值域是解析幾何解答題中的常見題型,其一般的解題思路為:首先在分子中分離出a1x2+b1x+c,簡化分子將函數(shù)化為y=+,再換元,令t=mx+n,將x=-代入化簡得y=+,進(jìn)一步得到y(tǒng)=+,然后借助基本不等式或函數(shù)y=ax+的圖象與性質(zhì)求解.1.已知函數(shù)y=x-4+(x-1),當(dāng)x=a時,y取得最小值b,則a+b等于()A.-3B.2C.3 D.8C解析y=x-4+=x+1+-5,因?yàn)閤-1,所以x+10,0,所以由基本不等式,得y=x+1+-52-5=1,當(dāng)且

9、僅當(dāng)x+1=,即x=2時取等號,所以a=2,b=1,則a+b=3.故選C.2.若兩個正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,并且x+2ym2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+)C.(-2,4) D.(-4,2)D解析x+2y=(x+2y)=2+28,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=4,y=2時等號成立.因?yàn)閤+2ym2+2m恒成立,所以m2+2m8,即m2+2m-80,解得-4m0,b0,c0,若點(diǎn)P(a,b)在直線x+y+c=2上,則+的最小值為2+2.解析P(a,b)在直線x+y+c=2上,a+b+c=2,a+b=2-c0,+=+=+-1,設(shè)則m+n=2,m0,n0,+=

10、+=3+ + 3+2 =3+2,當(dāng)且僅當(dāng)m2=2n2,即c=2-2時,等號成立,+-13+2-1=2+2,即+的最小值為2+2.考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用典例5(1) 某人準(zhǔn)備在一塊占地面積為1 800 m2的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚,大棚周圍均是寬為1 m的小路(如圖所示),大棚總占地面積為S m2,其中ab=12,則S的最大值為1 568.(2)某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1(單位:萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(單位:萬元)與倉庫到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,

11、倉庫應(yīng)建在離車站5千米處.解析(1)由題意可得xy=1 800,b=2a,x3,y3,則y=a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)=1 808-3x-y=1 808-3x-=1 808-1 808-2=1 808-240=1 568,當(dāng)且僅當(dāng)3x=,即x=40,y=45時等號成立,所以當(dāng)x=40,y=45時,S取得最大值1 568.(2)由已知可得y1=,y2=0.8x,其中x(單位:千米)為倉庫與車站的距離,則費(fèi)用之和y=y1+y2=+0.8x2=8,當(dāng)且僅當(dāng) 0.8x=,即x=5時取等號.所以倉庫應(yīng)建在離車站5千米處.名師點(diǎn)評對實(shí)際問題,在審

12、題和建模時一定不可忽略變量的范圍,一般地,每個表示實(shí)際意義的代數(shù)式必須為正,由此可得變量的范圍,然后利用基本不等式求最值.某工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑,經(jīng)市場調(diào)查得知,生產(chǎn)這批試劑的成本分為以下三個部分:生產(chǎn) 1單位試劑需要原料費(fèi)50元;支付所有職工的工資總額由 7 500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補(bǔ)貼20元組成;后續(xù)保養(yǎng)的費(fèi)用是每單位元(試劑的總產(chǎn)量為x單位,50 x200).設(shè) P(x)是生產(chǎn)每單位試劑的成本,求 P(x)的最小值.解析由題意知原料總費(fèi)用為50 x元,職工的工資總額為(7 500+20 x)元,后續(xù)保養(yǎng)總費(fèi)用為x元,則P(x)=x+40(50 x200).x+2=180

13、,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=90時取等號,P(x)220,即生產(chǎn)每單位試劑的成本最低為220元.學(xué)科素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)化與化歸在基本不等式中的應(yīng)用1.若實(shí)數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為()A.B.2C.2D.4C解析+=,a0,b0,=+2=2,ab2(當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時取等號),ab的最小值為2,故選C.2.設(shè)a0,b0,a+b=5,則+的最大值為3.解析由2aba2+b2兩邊同時加上a2+b2,得(a+b)22(a2+b2),兩邊同時開方得a+b(a0,b0且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”),從而有+=3,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+3,即a=,b=時,“=”成立.+的最大值為3.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,因此可以用于一些不等式的證明,還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍.如果條件等式中同時含有兩個變量的和與積的形式,就可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后通過解不等式進(jìn)行求解.1.已