北京專用2022年版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語不等式第三節(jié)不等關(guān)系與一元二次不等式課件

1、第三節(jié)不等關(guān)系與一元二次不等式學(xué)習(xí)要求:1.能梳理等式的性質(zhì),理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).2.會結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實數(shù)根的存在性及實數(shù)根的個數(shù),了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.3.能借助二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.必備知識整合1.兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法(a,bR):(2)作商法(aR,bR+): 2.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性abbb,bcac可加性aba+cb+c可乘性acbcc的符號acb+d3.“三個二次”的關(guān)系判別式=b2-4ac0=00

2、)的圖象同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN*,n1)同正可開方性ab0(nN*,n2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有兩相異實根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2+bx+c0)的解集x|x1x0和(x-a)(x-b)0型不等式的解集不等式解集ab(x-a)(x-b)0 x|xbx|xax|xa(x-a)(x-b)0 x|axbx|bxb,ab0.(ii)a0bb0,0c.(iv)0axb或axb0b0,m0,則(i)(b-m0).(ii);0).2.分式不等式與整式不等式(1)0(0(0(0對任意實數(shù)x恒成立或(2)不等式ax2+bx+c

3、bac2bc2.()(2)不等式x2a的解集為-,.() (3)若1,則ab.()(4)若方程ax2+bx+c=0(a0(ab0,cdB.D. B3.(新教材人A必修第一冊P55T3改編)已知集合A=x|x2-5x+40,B=x|x2-x-6+(填“”“”或“=”).5.(易錯題) 已知函數(shù)f(x)=ax2+ax-1,若對任意實數(shù)x,恒有f(x)0,則實數(shù)a的取值范圍是-4,0.解析易錯原因:忽略a=0的情況而漏解.若a=0,則f(x)=-10恒成立;若a0,則由題意,得解得-4a0.綜上,a-4,0.考點一不等式性質(zhì)的應(yīng)用關(guān)鍵能力突破角度1作差法比較大小典例1已知a1,a2(0,1).記M=

4、a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是()A.MNC.M=ND.不確定B角度2用不等式性質(zhì)比較大小典例2已知a,b,c滿足cba,且acacB.c(b-a)0C.cb40A解析因為a,b,c滿足cba,且ac0,所以c0c,a0,所以abac,故A正確;對于B,因為ba,所以b-a0,又c0,故B不正確;對于C,因為ca,b40,所以cb4ab4,故C不正確;對于D,因為c0,又ac0,所以ac(a-c)0,b0,則p=(ab與q=abba的大小關(guān)系是()A.pqB.pqC.pqD.p0,q0,則=.若ab0,則1,a-b0,則1,則pq;若0ab,則01,a-b1,則pq;若a=

5、b,則=1,則p=q.綜上,pq,故選A.2.已知等比數(shù)列an中,a10,q0,前n項和為Sn,則與的大小關(guān)系為(用“”連接).解析當(dāng)q=1時,=3,=5,0且q1時,-=-=0,.綜上可知.考點二一元二次不等式的解法角度1解不含參的不等式典例3(1)已知全集U=R,集合A=x|x2-3x+20,則RA等于()A.(1,2) B.1,2C.(-,12,+)D.(-,1)(2,+)(2)不等式0 x2-x-24的解集為x|-2x-1或2x3.A角度2解含參不等式典例4ax2-(a+1)x+10.解析原不等式可變形為(ax-1)(x-1)1.當(dāng)a0時,原不等式可變形為a(x-1)0.若a0,原不等

6、式的解集為.若a0,則(x-1)1時,原不等式的解集為;當(dāng)a=1時,原不等式的解集為;當(dāng)0a1時,原不等式的解集為.綜上,當(dāng)a1;當(dāng)0a1時,原不等式的解集為.名師點評1.解一元二次不等式的方法和步驟(1)化:把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的形式.(2)判:計算對應(yīng)方程的判別式.(3)求:求出對應(yīng)的一元二次方程的根,或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根.(4)寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集.2.解含參數(shù)的一元二次不等式時,要把握好分類討論的層次,一般按下面次序進行討論:首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進行討論;其次根據(jù)相應(yīng)一元二次方程的根是否存在,即的符號進行討論;最后當(dāng)根存在時,根據(jù)根

7、的大小進行討論.1.(2020北京海淀期末)不等式x2+2x-30的解集為()A.x|x1B.x|x3C.x|-1x3 D.x|-3xa2(aR).解析原不等式可化為12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0.令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.當(dāng)a0時,不等式的解集為;當(dāng)a=0時,不等式的解集為(-,0)(0,+);當(dāng)a0時,不等式的解集為.考點三不等式恒成立問題角度1形如f(x)0(xR)恒成立,求參數(shù)范圍典例5已知不等式mx2-2x-m+10.是否存在實數(shù)m,使對所有的實數(shù)x不等式恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.解析不存在.理由:設(shè)f(

8、x)=mx2-2x-m+1.不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+1的圖象全部在x軸下方.當(dāng)m=0時, f(x)=1-2x,令1-2x,不滿足題意;當(dāng)m0時,函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+1為二次函數(shù),需滿足圖象開口向下且方程mx2-2x-m+1=0無解,即此不等式組無解.綜上,不存在滿足題意的實數(shù)m.角度2形如f(x)0(xa,b)恒成立,求參數(shù)范圍典例6設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1(m0),若對于x1,3, f(x)-m+5恒成立,求m的取值范圍.解析f(x)-m+5,即mx2-mx+m-60,則問題轉(zhuǎn)化為mx2-mx+m-60時,g(x)在1,3上是

9、增函數(shù),所以g(x)max=g(3)=7m-60,所以m ,所以0m .當(dāng)m0時,g(x)在1,3上是減函數(shù),所以g(x)max=g(1)=m-60,所以m6,所以m0,m(x2-x+1)-60,所以m .因為y=在1,3上的最小值為,所以只需m即可.又因為m0,所以m的取值范圍是.角度3形如f(x)0(參數(shù)ma,b)恒成立,求x的范圍典例7對任意m-1,1,函數(shù)f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范圍.解析f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由題意知在-1,1上,g(m)的值恒大于零,解得x

10、3.故當(dāng)x3時,對任意m-1,1,函數(shù)f(x)的值恒大于零.名師點評恒成立問題及二次不等式恒成立的條件(1)解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元,誰是參數(shù),一般地,知道誰的范圍,就選誰當(dāng)主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).(2)對于二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方;恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.1.若不等式4x2+ax+40的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-16,0)B.(-16,0C.(-,0)D.(-8,8)D2.已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,則實數(shù)m的取值范

11、圍是.3.若mx2-mx-10對于m1,2恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.解析設(shè)g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其圖象是直線,當(dāng)m1,2時,圖象為一條線段,則即解得 x ,故實數(shù)x的取值范圍為.微專題“三個二次”之間的相互轉(zhuǎn)化“三個二次”是指一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù).這“三個二次”都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,它們之間相互聯(lián)系,相互滲透,其中二次函數(shù)最重要,其圖象是“三個二次”之間的紐帶,它將等與不等,數(shù)與形緊密結(jié)合在一起,它既包含了一元二次方程的根,又包括了一元二次不等式的解集.利用數(shù)形結(jié)合可以使一些數(shù)學(xué)問題得到很好的解決.學(xué)科素養(yǎng)提升1.二次函數(shù)與一元二次不等式的轉(zhuǎn)化在

12、解不等式、證明不等式或研究不等式恒(能)成立問題時,往往需要構(gòu)造二次函數(shù),運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決不等式問題.1.(2020北京海淀質(zhì)檢)設(shè)a0的解集為x|-1x2ax的解集為()A.x|-2x1B.x|x1C.x|0 x3D.x|x3C解析將a(x2+1)+b(x-1)+c2ax整理得ax2+(b-2a)x+(a+c-b)0.因為不等式ax2+bx+c0的解集為x|-1x2,所以a0,且-1,2是方程ax2+bx+c=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系可知即將兩邊同除以a得x2+x+0,將代入得x2-3x0,解得0 x0在區(qū)間1,5上有解,則a的取值范圍是()A.B.C.(1,+)D. A解析由=a2

13、+80知,方程x2+ax-2=0恒有兩個不等實根,又知兩根之積為負,所以方程必有一正根、一負根.令f(x)=x2+ax-2,則不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5)0,即25+5a-20,解得a-,故a的取值范圍是.故選A.3.二次函數(shù)與一元二次方程的轉(zhuǎn)化二次函數(shù)的零點就是相應(yīng)方程的根,一元二次方程的實根也是相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo).遇到涉及二次函數(shù)的問題,應(yīng)時刻將函數(shù)與方程結(jié)合在一起來思考.3.若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的兩個零點分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的取值范圍.解析依題意,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象(圖略)分析可知,需滿足即解得m0)的解的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4B解析a0,a2+11.y=|x2-2x|的圖象如圖,y=|x2-2x|的圖象與y=a2+1的圖象總有2個交點,即方程有2個解.故選B.2.已知a,b,c,d都是常數(shù),ab,cd.若f(x)=2 019-(x-a)(x-b)的零點為c,d,則下列不等式正確的是()A.acbdB.abcd C.cda