熱能系統(tǒng)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

1、第六節(jié) 熱能系統(tǒng)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 熱能系統(tǒng)最優(yōu)化設(shè)計(jì)，是指將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)模型描述，然后再通過(guò)某種最優(yōu)化方法進(jìn)行求解的過(guò)程。具體工作步驟如下：1 .確定所要研究系統(tǒng)的范圍和環(huán)境。2 .選定一個(gè)適當(dāng)?shù)膬?yōu)化目標(biāo)。3 .仔細(xì)分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成，熟悉系統(tǒng)的整個(gè)工藝流程及各單元間的相互關(guān)系。4.確定出所研究系統(tǒng)的各種約束條件，也就是系統(tǒng)因?yàn)榧夹g(shù)上和經(jīng)濟(jì)上的原因所決定的容許工作范圍或條件。5.建立所研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。6.簡(jiǎn)化所建立的數(shù)學(xué)模型。7.選定適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)規(guī)劃方法進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)。8.對(duì)計(jì)算出的最優(yōu)結(jié)果進(jìn)行定性分析，以辨明結(jié)果與實(shí)際情況的吻合程度。一、最優(yōu)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型 熱能系統(tǒng)最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)

2、學(xué)模型既有設(shè)計(jì)規(guī)定方程，又有優(yōu)化目標(biāo)和約束條件，因此它既是一種設(shè)計(jì)模型，又是一種最優(yōu)化模型。一般地說(shuō)，建立熱能系統(tǒng)最有設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)包括以下3部分內(nèi)容：（1）通過(guò)對(duì)變量的分析，確定所考慮的系統(tǒng)中的獨(dú)立變量和相關(guān)變量。 （2）確定一個(gè)最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)，找出這一目標(biāo)和獨(dú)立變量之間的關(guān)系，即建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。 （3）確定所有變量之間由于物理過(guò)程或技術(shù)條件所構(gòu)成的約束條件的限制而通過(guò)獨(dú)立變量表述的約束函數(shù)。二、相關(guān)變量和獨(dú)立變量的確定 系統(tǒng)變量是指那些反應(yīng)系統(tǒng)內(nèi)部物理過(guò)程及確定系統(tǒng)物理狀態(tài)的參變量，統(tǒng)稱為系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)。熱能系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)應(yīng)該包括熱工狀態(tài)參數(shù)和設(shè)備設(shè)計(jì)參數(shù)兩部分。 在建立熱能系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)

3、計(jì)的數(shù)學(xué)模型中，首先要確定系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)中的獨(dú)立變量。一旦獨(dú)立變量確定后，相關(guān)變量就隨之確定了。通常確立獨(dú)立變量和相關(guān)變量的方法有兩種，即分配問(wèn)題法和分解圖解法。 1.分配問(wèn)題法 用分配問(wèn)題法確定獨(dú)立變量，是把確定獨(dú)立變量看成一個(gè)線性規(guī)劃的分配問(wèn)題（這實(shí)際上是個(gè)整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題），然后用分枝限界法求解的過(guò)程。當(dāng)有m個(gè)方程， n個(gè)狀態(tài)參量時(shí)，則相關(guān)變量為m個(gè)，獨(dú)立變量（nm）個(gè)。如在第j個(gè)方程中出現(xiàn)第i個(gè)狀態(tài)參數(shù)時(shí)，取有效性系數(shù) =1，否則取 =0，令 表示有第j個(gè)方程來(lái)確定第i個(gè)狀態(tài)參數(shù)的分配。 如果分配有第j個(gè)方程來(lái)確定第i個(gè)狀態(tài)參數(shù)，則 =1,否則 =0（j=1,2, ,m，i=1,2, ,

4、n.）對(duì)于第j個(gè)方程，只有當(dāng)分配滿足max =1時(shí)，才能確定由這個(gè)方程來(lái)確定一個(gè)相關(guān)變量。由n個(gè)方程來(lái)確定m個(gè)相關(guān)變量，或者說(shuō)確定（m - n）個(gè)獨(dú)立變量，必須滿足 max z = （5-63） 由于每個(gè)方程只能確定一個(gè)相關(guān)變量，因此由第j個(gè)方程來(lái)確定第i個(gè)狀態(tài)參數(shù)為相關(guān)變量，這又必須滿足 =1，j=1，2，n （5-64） 當(dāng)?shù)趥€(gè)i狀態(tài)參數(shù)在第j個(gè)方程中已被確定為相關(guān)變量后，它在其它方程中不再作為需要重新確定的相關(guān)變量。必有 =1，i=1，2， ，n （5-65）求解由式（5-63）、（5-64）和（5-65）組成整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題（0-1規(guī)劃問(wèn)題） max z =s.t. =1, j=1，2

5、，n =1, i=1，2，n , i，j=1，2，n 的最優(yōu)解。2.分枝圖解法 分解圖解法是在分析信息分枝圖基礎(chǔ)上得出的一種算法。它包括兩組組結(jié)點(diǎn)，其中方程式的形式均為 =0。分枝則表示方程與變量之間的相互關(guān)系。 例 設(shè)方程為 =0 =0 (5-66) =0 圖5-15表示與這一方程組相對(duì)應(yīng)的非定向分枝圖。如果把變量 看作方程 的出口變量，即 的求解是為了得出 ，則聯(lián)結(jié) 與 的之間的分枝是由結(jié)點(diǎn) 指向 ，而所有與結(jié)點(diǎn) 相關(guān)的其它分枝則都指向結(jié)點(diǎn) 。 三、目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的建立 在建立熱能系統(tǒng)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)中，特性值發(fā)揮著重要的作用。通過(guò)特性值可以建立起所規(guī)定的目標(biāo)以及所確

6、定的約束條件和系統(tǒng)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)。一般采取技術(shù)經(jīng)濟(jì)型優(yōu)化目標(biāo)。而技術(shù)經(jīng)濟(jì)型優(yōu)化目標(biāo)有兩種基本提法：1.在滿足實(shí)際系統(tǒng)的所有技術(shù)規(guī)定的條件下，從系統(tǒng)中得到規(guī)定數(shù)量的產(chǎn)品的總費(fèi)用最少。2.同樣在滿足所有技術(shù)規(guī)定的條件下，并在對(duì)原料產(chǎn)品的價(jià)格及設(shè)備的投資預(yù)先做出規(guī)定時(shí)，系統(tǒng)的總收益最大或年度費(fèi)用最小。通常目標(biāo)函數(shù)中的費(fèi)用都是用折算費(fèi)用來(lái)表示，折算費(fèi) 用的方法有償還基金法和現(xiàn)值法償還基金法，是把從開(kāi)始建設(shè)到滿負(fù)荷投運(yùn)行的整個(gè)時(shí)間T年內(nèi)的每年投資折算成為T年后相當(dāng)?shù)哪昕傎M(fèi)用，即 系統(tǒng)的投資補(bǔ)償系數(shù)或稱投資效果系數(shù)， ； 第年的運(yùn)行費(fèi)用，元年； 第年的投資費(fèi)用，元； 第T年以后的年運(yùn)行費(fèi)用，元年； 對(duì)

7、不同時(shí)期投資的一個(gè)折算系數(shù)，相當(dāng)于利率。 現(xiàn)值法，是把從資金投入某系統(tǒng)的基本建設(shè)起，一直到基本建設(shè)完成后的整個(gè)時(shí)間T年內(nèi)的一切支出，包括設(shè)備投資及運(yùn)行用都折算成為當(dāng)前的現(xiàn)金值，即式中的符號(hào)意義同前。四、熱能系統(tǒng)的最優(yōu)化策略 目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)構(gòu)成了一個(gè)完整的型，熱能系最優(yōu)設(shè)計(jì)的最終目的是對(duì)該數(shù)學(xué)模型解。要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù)值必須對(duì)整個(gè)系統(tǒng)驚醒繁雜的計(jì)算，因此采用經(jīng)濟(jì)而有效的方法將是十分重要的。 由于復(fù)雜系統(tǒng)中含有許多循環(huán)回路，許多參數(shù)相互影響和制約，因而導(dǎo)致了大象的“循環(huán)計(jì)算”。為了減少計(jì)量，就必須確立最優(yōu)計(jì)算順序。在對(duì)一個(gè)復(fù)雜的熱能系統(tǒng)（通常是含有一個(gè)或幾個(gè)高級(jí)回路）進(jìn)行計(jì)算時(shí)，為了減

8、少計(jì)算量，可采取下述步驟進(jìn)行：1.仔細(xì)分析系統(tǒng)單元之間構(gòu)成，區(qū)分出開(kāi)式連接和回路。對(duì)于回路要識(shí)別出不同級(jí)別的獨(dú)立回路及全部的基本回路。這樣，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的計(jì)算可以歸結(jié)為對(duì)個(gè)別回路方程組的計(jì)算及對(duì)開(kāi)式連接方程的組的計(jì)算。2. 確定回路斷裂的最佳位置。斷裂位置的選擇，應(yīng)該在保證所有基本回路全部被斷開(kāi)而變成開(kāi)式系統(tǒng)，并使得所需求解的方程組的數(shù)目及數(shù)量的維數(shù)為最少。 對(duì)系統(tǒng)實(shí)行多級(jí)優(yōu)化過(guò)程是求解多變量系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要的方法。多級(jí)優(yōu)化是把一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)分解成許多許多獨(dú)立的子系統(tǒng)，分別對(duì)各子系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)化，然后在各子系統(tǒng)的可變參數(shù)間進(jìn)行二級(jí)協(xié)調(diào)，通過(guò)協(xié)調(diào)由各個(gè)子系統(tǒng)的解得到整個(gè)系統(tǒng)的最優(yōu)解。多級(jí)最優(yōu)化實(shí)

9、際上就是一個(gè)分解與協(xié)調(diào)的過(guò)程，故稱為分解協(xié)調(diào)。第七節(jié) 熱能系統(tǒng)最優(yōu)化應(yīng)用實(shí)例一、熱工狀態(tài)參數(shù)最優(yōu)設(shè)計(jì) 熱工狀態(tài)參數(shù)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，是指在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及其組成單元確定的情況下，選擇出一組最合適的熱工狀態(tài)參數(shù)，使得整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行成本費(fèi)用最低或所規(guī)定的目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。例4 某蒸汽動(dòng)力系統(tǒng)的流程圖見(jiàn)5-16。其中高壓、中壓、低壓蒸汽及鍋爐給水管網(wǎng)的熱力學(xué)性質(zhì)見(jiàn)表5-1，透平1和透平2的操作特性見(jiàn)表5-2，工藝過(guò)程的需求見(jiàn)表5-3，燃料及電力價(jià)格見(jiàn)表5-4.是選出一種操作費(fèi)用最少的操作方案。解 系統(tǒng)最優(yōu)化步驟1.確定最優(yōu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)的初步形式。 系統(tǒng)的操作費(fèi)用主要包括燃料費(fèi)用和電力費(fèi)用。由此可得

10、最優(yōu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通式其中cFi和Qi分別為第i單元燃料的價(jià)格和燃料的消耗量，cWj和Dj分別為第j單元電力的價(jià)格及其耗電量。2.繪出系統(tǒng)信息流圖，確定各參數(shù)變量的名稱及符號(hào)。由圖5-16所示的蒸汽動(dòng)力系統(tǒng)得到如圖5-17所示的信息流圖。設(shè)x1x31分別表示物流的流量（t/h），x32，x33，x34和x38分別表示單元C5+C8+C10高壓段的功率（kw），中壓段的功率（kw）、低壓段的功率（kw）和透平發(fā)電量（kw），x37、x41分別表示平價(jià)電和高價(jià)電的購(gòu)買量（kw）， x40表示鍋爐燃料購(gòu)買量（MJ）。按給出的數(shù)據(jù)，將目標(biāo)函數(shù)的通式改寫為3.根據(jù)動(dòng)力學(xué)基本規(guī)律，結(jié)合具體的實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)造

11、出約束條件。4.對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。5.對(duì)優(yōu)化結(jié)果作定性分析二、設(shè)備設(shè)計(jì)參數(shù)最優(yōu)設(shè)計(jì)設(shè)備設(shè)計(jì)參數(shù)最優(yōu)設(shè)計(jì)，是指在確定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)型式下和確定的運(yùn)行參數(shù)范圍內(nèi)，選擇出設(shè)備的一組最合適的結(jié)構(gòu)尺寸和特性，使得設(shè)備的制造費(fèi)用和運(yùn)行費(fèi)用為最少，或使設(shè)備運(yùn)行達(dá)到最理想的參數(shù)要求。設(shè)備設(shè)計(jì)參數(shù)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立的關(guān)鍵在于尋找熱工狀態(tài)參數(shù)與結(jié)構(gòu)尺寸和結(jié)構(gòu)特性之間的關(guān)系。 L/DRe1251015203040501.651.51.341.231.171.131.071.0311.511.41.271.181.131.11.051.0211.341.271.181.131.11.081.041.0211.281.2

12、21.151.11.081.061.031.0211.141.111.081.051.041.031.021.011表5-7 值Re的定義式為式中 流體的流速，m/s； 流體運(yùn)動(dòng)粘度，/s.Pr的定義式式中 為導(dǎo)溫系數(shù)，/s.對(duì)流換熱兩與流體升溫吸熱量相等式中 流體平均溫度， 對(duì)流換熱系數(shù)，W/； 流體的比熱，kJ/kg； 流體的密度，kg/m3. 對(duì)流換熱系數(shù) 與努塞爾數(shù)Nu之間的關(guān)系為式中 為流體的導(dǎo)熱系數(shù)， W/. 由于流體的流速在流量F一定的條件下，與流道的橫截面積 成反比，則有 按題意，上述各式中的 都可視為常量。這要就有 等7個(gè)變量和5個(gè)等式約束方程，以及一個(gè)相當(dāng)于等式約束的表5-

13、7.因此，所涉變量只有一個(gè)獨(dú)立變量D或L，其余為相關(guān)量。上述所有關(guān)系式i簡(jiǎn)寫成 h（L,D）=0，可得約束條件 s.t.例5 某管道內(nèi)溫度為 （）的冷流體與管外熱流體進(jìn)行對(duì)流換熱后，管道出口處冷流體溫度升高到 （）。假定管道內(nèi)壁溫度為 ，管內(nèi)流體流量為F（ /s），且整個(gè)傳熱過(guò)程中無(wú)能量損耗。管道內(nèi)徑為D（m），管長(zhǎng)為L(zhǎng)（m），要求D ，L , 和 為已知常數(shù)。在保證管內(nèi)冷流體溫度由 升到 能夠正常實(shí)現(xiàn)的情況下，試確定使對(duì)流換熱面積A（）為最小時(shí)的D與L值。 解 1、確定優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù) 按題意即可得技術(shù)性的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)式 其中管內(nèi)徑D和管長(zhǎng)L為決策變量。 2、建立約束函數(shù) 對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)

14、單的對(duì)流換熱問(wèn)題，應(yīng)按管內(nèi)受迫流動(dòng)傳熱的準(zhǔn)則方程式進(jìn)行計(jì)算 其中Re為雷諾數(shù)，Pr是以管道進(jìn)、出口流體的平均溫度為定性溫度下的普朗特?cái)?shù)， 是以壁面溫度為定性溫度下的普朗特?cái)?shù)， 是表示比值L/D和與雷諾數(shù)Re有關(guān)的修正系數(shù)，見(jiàn)下表5-7。3、建立數(shù)學(xué)模型 依據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)可得最優(yōu)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 min s.t.4、針對(duì)數(shù)學(xué)模型，選擇出適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法或計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行求解 本問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)簡(jiǎn)單的二維非線性規(guī)劃問(wèn)題。由于 值求解是建立在表5-7的基礎(chǔ)上的，無(wú)法用具體的函數(shù)解析式來(lái)表示，因此該數(shù)學(xué)模型的求解最好利用計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行。如果L/D值一定，并且Re值變化范圍狠心，則可視 也是常量，此

15、時(shí)通過(guò)代數(shù)方法可解得其中三、混合型參數(shù)最優(yōu)設(shè)計(jì)混合型參數(shù)最優(yōu)設(shè)計(jì)，是指在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)基本確定，而其它條件未定的情況下，同時(shí)尋找出最適當(dāng)?shù)臒峁顟B(tài)參數(shù)和設(shè)備設(shè)計(jì)參數(shù)，并使得系統(tǒng)在滿足一定要求的前提下所追求的目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。這類最優(yōu)化的目標(biāo)多采用技術(shù)經(jīng)濟(jì)性的，但也有一部分是選用技術(shù)性或經(jīng)濟(jì)性的。例如，熱電廠要求在滿足冬夏生產(chǎn)和生活熱負(fù)荷的條件下，選擇的所有設(shè)備型式和運(yùn)行狀態(tài)參數(shù)使其建設(shè)費(fèi)用最少或系統(tǒng)投入運(yùn)行后效益最好。例6 某化工廠采用三級(jí)換熱器系統(tǒng)利用余熱將物料溫度由100加熱到500，流程和有關(guān)數(shù)據(jù)如圖5-18所示。已知(1)所有物流的 。其中F是流體流量， 為流體比熱，i為流體序號(hào)，i=1,2,;(2)3個(gè)換熱器的總傳熱系數(shù)分別為 =120， =80， =40.(3)換熱器采用逆流換熱時(shí)，溫差 采用算術(shù)平均值。試問(wèn)， 如何選取各溫度值時(shí)才能使換熱器系統(tǒng)總傳熱面積A為最小。 解 首先對(duì)這3臺(tái)換熱器分別獨(dú)立地進(jìn)行分析。根據(jù)能量平衡（不考慮熱傳遞之間的能量