模糊集合與模糊信息熵課程設(shè)計(jì)

1、模糊集合與模糊信息煽1948年，信息論的創(chuàng)始人Shannon發(fā)表了通信的數(shù)學(xué)理論，討論了通信系統(tǒng)，用概率 方法開(kāi)拓了對(duì)信息的了解和討論。21世紀(jì)的社會(huì)是一個(gè)信息大爆炸的社會(huì)，我們的身邊有 著各種各樣的信息，人們對(duì)于如何有效處理這些信息的渴望促進(jìn)了信息論的進(jìn)展。在信息科 學(xué)進(jìn)展中，模糊信息理論是一個(gè)快速進(jìn)展的信息科學(xué)的分支，它與Shannon信息論有著很大 的差異，是一種基于模糊集理論的信息科學(xué)，在通信，計(jì)算機(jī)，聲吶，雷達(dá)，導(dǎo)航，制導(dǎo), 空間測(cè)控等各種電子系統(tǒng)中，模糊信息的提取，處理和采用占有極為重要的地位。本文具體 介紹了模糊信息與模糊信息端的概念，在了解焙的進(jìn)展歷程和深刻熟悉模糊信息概念的基

2、礎(chǔ) 上，討論模糊集合與模糊信息烯的基本性質(zhì)，并采用模糊烯的性質(zhì)解決了一些問(wèn)題。一.信息的概念信息是指反響客觀世界中各種事物的特征和變化的組合，是一種有用的組合。信息具有普遍性，傳遞性，識(shí)別性，轉(zhuǎn)換性，存儲(chǔ)，再生，共享性，價(jià)值性，時(shí)效性等 性質(zhì)。二.模糊性指客觀事物的差異在中介過(guò)渡時(shí)呈現(xiàn)的“異此異彼”性模糊性就是無(wú)法確定其界限的性質(zhì)，大事本身的含義就是不明確的，但大事發(fā)生與否是 明確的。例：“老張的病不輕”，老張有病是明確的，但老張病重到何種程度是不明確的。模糊概念：.無(wú)明確的外延的概念，可以用集合來(lái)描述（即集合可以表示概念，一個(gè)概念有其外延和 內(nèi)涵，內(nèi)涵指的是符合此概念的對(duì)象所具有的共同屬性，

3、外延指的是符合此概念的那些對(duì)象 的全體）模糊理論不對(duì)事物做簡(jiǎn)潔確實(shí)定與否認(rèn)，而是用隸屬度來(lái)反響某一事物屬于某范疇的程 度，用這種方法來(lái)表示客觀事物存在的模糊性。例：關(guān)于人，“年輕”的這個(gè)概念。畢竟多大年齡以下為“年輕”，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是以每個(gè)人的主 觀感覺(jué)為依據(jù)的，很難劃定。我們不妨把年輕到什么程度的問(wèn)題，用01之間的數(shù)來(lái)表示, 如 1540 歲分別表示成：15-1. 0, 20-0. 9, 25-0. 8, 30-0. 6, 35-0. 4, 40-0. 2.這就是一個(gè)模糊集 合，由于這些程度是構(gòu)成該集合的元素，因此使它們對(duì)應(yīng)起來(lái)的函數(shù)就稱之為隸屬度函數(shù)。 （可見(jiàn)模糊性的東西本身是沒(méi)有明確的界限）

4、三.模糊信息與事物的模糊性想聯(lián)系的信息稱之為模糊信息。也可以說(shuō)，模糊信息是以模糊狀態(tài)顯現(xiàn) 出的一種表現(xiàn)形式。模糊信息論與香農(nóng)信息論同屬于語(yǔ)法信息（將事物形式因素的信息局部稱為“語(yǔ)法信息”） 的討論領(lǐng)域，但有著不同的討論對(duì)象，不同的討論工具，不同的應(yīng)用環(huán)境和不同的討論目標(biāo)。 四.模糊信息與模糊集合 定義4. 1 （集合）:給定論域X和給定的某一性質(zhì)P, X中具有性質(zhì)尸的元素所組成的總體，叫做集合， 簡(jiǎn)稱為集?？捎窒率奖硎荆篈 = x p（x） （4. 1）式中的p（x）為“X具有性質(zhì)p”的縮寫(xiě)。設(shè)A是論域X上的集合，記1 x e A4A（X）= n d 卜（4.2）0 x A為集合A的特征函數(shù)。

5、對(duì)任一 X都有唯一確定的特征函數(shù)A（X） 0,1與之對(duì)應(yīng)，這種對(duì) 應(yīng)的關(guān)系成為映射。即a（x）：X f 0,1 （4.3）集合A可由A（X）來(lái)確定：A = x （x） = 1 （4. 4）定義4.2 （特征空間）:設(shè)論域?yàn)閄, xeX,稱X為對(duì)象空間，x的個(gè)特性用特征矢量（P,2,，P）表示。（卜2,，）全部可能的取值的集合，稱為特征空間。定義4. 3 （隸屬度函數(shù)）4A （x）：X中的一個(gè)模糊集合Al由隸屬度函數(shù)A（ x =（P-P2，P）， X具有性質(zhì)（|，2，”）來(lái)描述。它是一個(gè)定義在對(duì)象空間X上的特性空間到區(qū)間0,1的函數(shù)變換 （映射）。a（ X =，）在X點(diǎn)的數(shù)值表示X在A中的隸屬度

6、=0稱為X對(duì)A無(wú)隸屬度；） = 1稱為X|對(duì)A有滿隸屬度；（4.5）T 1稱為X1對(duì)A有較高隸屬度。定義4.4 （模糊集合）：令X是一個(gè)點(diǎn)（對(duì)象）集合，X是A中的一個(gè)元素，令 ,2,P 是X的個(gè)感愛(ài) 好的特性，那么一個(gè)X中的模糊集合A為也即論域X上的模糊集合4由隸屬度函數(shù)從八（x）來(lái)表征。其中，a（x）在實(shí)軸的閉區(qū)間0,1 取值，4八（x）的值反響了 X中的元素x對(duì)于A的隸屬程度。性質(zhì)4. 1：A3如對(duì)X/xgX,均有 (x) = %(x) 4.6)那么稱A和3相等，記為A = 3。性質(zhì)4. 2：A,B如對(duì)X/xX,均有/ （x） 0為A的支集A與5的交集記做ADB，對(duì)X/xeX,均有柏3 （

7、x） = 4A （x） A 劭（X）= rnin（ 4A（%），b（幻）（4 8）A與8的并集記做AUB,對(duì)VxwX,均有AU8（%）= 4A（%）U 劭（不）=值雙 4A（%），b （x）（ 4. 9）A的補(bǔ)集記做A對(duì)Vx$X,均有（x） = 1 -（x） （4. 10）性質(zhì)4. 5：模糊集運(yùn)算的基本定律，設(shè)為論域，為中的任意模糊子集，以下等式成立: 幕等律：ADA = A, AJA = A結(jié)合律：An（Bnc）=（AAB）nc交換律：AnB=5nAAUB=BUA排泄 AD（8UC） = （An8）U（AnC）女節(jié)E7（聿Au（Bnc）=（AUB）n（Auc）同一律：4口。= 4,40中=4

8、零一律：4rl= 0）,AUO = O汲取律：An（AU3） = AAU（Ap|5） = A得摩根律：（AnB）c=ACUBC 雙重否認(rèn)律：（A0）C=A性質(zhì)4. 6：設(shè) A 3 F（x）A與B的代數(shù)積，記做,、（4. 11）加8（x）= a（x）4（x）（4+8）（X）= a（X）+ 8（X）-a（X）x）（4. 12）A與5的有界積，記做4N 8,、（4. 13）（的m（x） = max （0, 4A（x） + 4（x）-l）A與3的有界和，記做43（4. 14）4（/b）（x）= min （1, 4A（x） + /x）性質(zhì)4. 7：模糊集與一般集合，即清楚集不同，由于不能以取值0或1來(lái)打

9、算所考慮的元素是否屬 于該集合而表達(dá)出了不確定性，這種不確定性在模糊數(shù)學(xué)中就是模糊性。五.燧的概念以及進(jìn)展歷程德國(guó)物理學(xué)家克勞修斯（R. Clausius）在19世紀(jì)60年月把焙作為熱力學(xué)的一個(gè)概念而 提出。之所以要提出熠概念，是由于熱力學(xué)第肯定律（能量守恒與轉(zhuǎn)化定律）缺乏以描述自 然界的能流變化規(guī)律，因而需要一個(gè)描述轉(zhuǎn)化的量和轉(zhuǎn)化的概念，這就是嫡。帽可以表示一 個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)中能量衰竭程度，是用以判別自發(fā)過(guò)程的一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。克勞修斯炳，增焙原理（熱力學(xué)其次定律）：系統(tǒng)的燧只能從低到高，而且絕不會(huì)向相 反的方向進(jìn)行。玻爾茲曼端：燧是系統(tǒng)在某一熱力學(xué)狀態(tài)下分子運(yùn)動(dòng)混亂程度大小的一種度量。申農(nóng)嫡（信息

10、端）：表達(dá)了關(guān)于事物不確定性的數(shù)學(xué)度量。信息端雖是源于熱力學(xué)及統(tǒng) 計(jì)力學(xué)端，而又有所異化了的燧。燧既是狀態(tài)量又是遷移量，而從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)卻是透過(guò)狀態(tài)（不確定性，混亂等）代表的 一種非永恒，非平衡，非實(shí)體的思想觀念。六.模糊信息端De Luca與Trmini以模糊集理論的形式定義了一種非概率嫡，這種端是所考慮狀態(tài)不 確定的整體度量，可看成為與隨機(jī)試驗(yàn)無(wú)關(guān)的信息的度量，這種病在不確定性主要來(lái)自內(nèi)部 而不是統(tǒng)計(jì)上的情形是有用處的。因此它給出了狀態(tài)模糊程度的一種度量，它也可被看成在 作出決策時(shí)受到的一種平均內(nèi)在信息。對(duì)模糊集的模糊程度的數(shù)量化是模糊集理論的一個(gè)重 要方面。一般模糊性的度量稱為模糊烯，它是

11、一個(gè)映射E（X） :FSs（x）r R+ （6. 1 ）式中：bS,（x）為有限離散論域X上的全部模糊子集的集合。模糊增都應(yīng)滿意以下的四條公理。其中 A（x）為模糊集A的隸屬函數(shù)，VxeX說(shuō)明任何清楚集不存在模糊性，所以它的模糊嫡為零；尸2說(shuō)明在/Ss（x）中僅有一個(gè)模糊集具有最大程度的模糊性：尸3說(shuō)明假設(shè)A峰化那么意味著它的模糊性削減了；鳥(niǎo)說(shuō)明模糊 集A與它的補(bǔ)集具有相同的模糊性。Zadeh最先提出了度量模糊不確定性的設(shè)想，這種方法是與概率聯(lián)系在一起的，設(shè)Xi(i = l,2,)消失的概率是2,那么E(A) = -ZA(x,)plogP,(6.2)Z=1不滿意P4，從形式上看，它僅是加權(quán)Sh

12、annon熠。在不參照概率的條件下，De Luca與Trmini給出了模糊性的度量( A) = Z (x) log a (x) + 1 - % (x)logl- a (x) (6.3)x式中：K為歸一化因子。滿意Pip4Hgashi與Kiir提出一種觀點(diǎn)。以模糊集A與它的補(bǔ)集之間4、的差異的缺少程度來(lái)度量 其模糊性。明顯，模糊集A和它的補(bǔ)集A之間的差異程度越小，那么該集合越模糊。設(shè)。為 一般的距離度量，那么A的燧被定義為區(qū)(A) = d(B, Bc) - d( A A，)式中：3為論域X內(nèi)的任意一個(gè)清楚子集，選擇它的原那么是使得d(優(yōu)區(qū)0)可能是RSs(X) 中與補(bǔ)集C運(yùn)算有關(guān)的最大的距離。N

13、. R. Pal與S. K. Pal.以指數(shù)形式導(dǎo)出了另一類模糊燧定義：5(A) = KZ5)exp/ (巧)+ 1 - (七)expl - %(巧)Z=1式中K為常數(shù)。(6.4)滿足P4設(shè)A, 3 尸Ss(X),那么根據(jù)Kosko的模糊子集度，記S(B,A)/S(A,B) = count (Api count (B)/(count (AD B)/count (A)(6.5) 或Zcount (AZcount (8) = S(氏A)/S(A,8)(6.6)這里S(A,3)表示集合A屬于集合5的程度，或4處于B中子集的程度，亦稱涉對(duì)A的模糊 信息支配。S(A,B) = Degree (A c B

14、) = count (Api B)/count(A)(6.7)其中ycount (A) = gxA(x)(6.8)兩邊取對(duì)數(shù)得：In (count(A)/count(B) = In (S(民A)/S(A,8)(6.9)S(B, A)/S(A, B)可看成模糊似然比。麓兩個(gè)模糊信息4和3之間的子集度的減少， 式中的比率將趨近于。所以式中的右邊可遮翠釋為鑒別所需的信，曜，這種鑒別有利取 而不有利于瓦讓4)和8()分別是A和8的隸屬度函數(shù)，那么，從式中可以推出：In(Z4(Xi)/Z48(Xi)= ln (5(B,A)/5(AB)(6.10) ii對(duì)某個(gè)“i = l,2n,為鑒別所需要的信,醒為:

15、Xj) = In (A(xp/8(Xi)(6.11)因此，有利于4而不有利于為了鑒別所需要的橫胡期望信息是：/1AB) = Ea(xP In (A(Xi)/8(xp )(6.12)類似的，在中鑒定段所需要的模糊信息期望是：c 0(6. 13)乙(A ,8，) = Z1 4a(毛力M(l 4A(七)/(I-Nb(七)力 i模糊偏礴與模糊關(guān)聯(lián)焙模糊互牖與混合模糊燧定義在同一論域上的模糊子集往往不止一個(gè)，這些集合之間必定存在著各種各樣的聯(lián)系，張繼國(guó)和朱永忠提出并討論了模糊互信息，討論顯示它是刻畫(huà)這種聯(lián)系的工具之一。以上式給定的模糊燧定義為例，來(lái)討論兩個(gè)模糊焙之間的崎關(guān)系。雖然在下面借用了Shanno

16、n 熠的提法，但從概念上是完全不同的。定義64設(shè)A, BgFSs(X),那么它們之間的聯(lián)合臧定義為：E(A U 3) = KZ(七)v b (七)logA(七)v b(七月 xeX+ 1 4a (七)V(七)log 1 A (x J V()(6.21)=-K (Z)log a()+ -%(Xz)logl-/A()+*/ 皿 ri ( J (6.22)xeX+xeX “1 一區(qū))10gl - 4( )定義6.5：給定3下4的條件嫡以及給定4下3的條件炳分別定義為E(A/ B) = -K J (%) log % (%)(%) log 4(%)(6.23)xgX+ 1 (x)logl 4a (x)

17、1 一 4b (x)logl- b (x)E(B/A) = -KEb(%)logb(%)-4A(%)log4A(%)(6- 24) xeX+ 1 _ 4 (x)logl- b (%) - (x)logl- juA(x)性質(zhì)6. 6：E(A/B) E(A),E(B/A) E(B) (6. 25)性質(zhì)6. 7：E(AU B) = E(A) + E(B) - E(A A B) (6. 26)定義6.6：稱石(AC 8) = E(A)-E(A/B) = E(B) E(B/ A) = E(8 C A)為模糊集A與B的模糊交互炒模糊交互燧或AD 3)或E(AU 3)度量了模糊集與所共有的模糊信息，在某種程

18、度上描述了它們之間的相像性。在3下的A模糊不確定性，小于4本身的模糊不確定性，也就是說(shuō)，A所包含的模糊信息量在8確知的條件下削減了。這種削減量是確定削減量，下面將定義模糊信息的相對(duì)削減量。定義6. 7設(shè)模糊集4和3定義在論域上，那么分另稱T(A,B) = E(A)-E(A/B)/E(A) = -E(A/B)/ E(A)( gT(B, A) = E(B) - E(B/ A)/ E(B) = 1-E(B/A)/ E(B) ,為3對(duì)A和A對(duì)8的模糊信息傳遞指數(shù)。一般而言，因?yàn)镋(A) w (3),所以w T(3, A)7(A,B)表示在模糊信息方面模糊集 5對(duì)模糊集A的影響程度。例:設(shè)乂 = Lio

19、。表示年齡的某個(gè)論域，。和y分別表示“老年和輕”。它們的隸屬 函數(shù)分別為%(x)%(x)二%(x)二y(X)=%(x)二y(X)=0l + (x-50)/5)-21l + (U-25)/5)2r10 x5050 x1000 x 2525x100解：為便于計(jì)算，將論域 X 離散化，。離散后的論域仍記為 X,X= 1,2,3,100.經(jīng)計(jì)算得E (。)= 11.9401 E(y)= 12.9157E(O U 丫)= 21.5647 E(O D 丫)= 3.2929E(O / y) = 8.6427 E(Y / O) = 9.62467(0, y) 0.2785 7(K O) = 0.2549混合信息燧定義6.8：假定有一個(gè)離散概率空可(x, P),模糊集A定義在論域Y上，X = Xi的概率等于 那么Deluc a和Termin i定義了 一種整體端，也爾為混合信息熠。P) = - P, (為)+ 1 - 4(Xj )logl - (七)X6.28) /=1如果記單個(gè)模糊事件x = A的Shannon烯與4的積為Si。貝1JE