概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、第 五 章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)、試驗(yàn)， 以取得有代表性的觀測(cè)值. 對(duì)已取得的觀測(cè)值進(jìn)行整理、 分析,作出推斷、決策,從而 找出所研究的對(duì)象的規(guī)律性.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分類描述統(tǒng)計(jì)學(xué)推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)點(diǎn)估計(jì) (第六章) 假設(shè)檢驗(yàn) (第七章) 回歸分析 (第八章) 方差分析 (第八章) 推斷 統(tǒng)計(jì)學(xué)美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅伯特 恩格爾 (Robert F. Engle 1942 ) 英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)克萊夫 格蘭杰 (Clive Granger 1934 ) 共同獲得2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)5.1 母體與子樣、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)一、母體與個(gè)體二、簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣三、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)主要內(nèi)容樣本（子樣）：從母體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)

2、體進(jìn)行觀測(cè)，且這n個(gè)個(gè)體的某一指標(biāo)為稱這n個(gè)個(gè)體的指標(biāo)為一個(gè)樣本（子樣）。個(gè)體：而組成母體的每一單元成員稱為個(gè)體。隨機(jī)抽樣：在母體中按機(jī)會(huì)均等的原則隨機(jī)的抽取一些個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)或測(cè)試的過(guò)程稱為隨機(jī)抽樣。 一、母體與個(gè)體母體（總體）：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中我們把研究對(duì)象的全體所構(gòu)成的一個(gè)集合稱為母體（總體）。樣本容量（容量）：樣本中的個(gè)體的數(shù)目稱作為這樣本的樣本容量（容量）。樣本值（觀測(cè)值、數(shù)據(jù)）：在一次抽樣以后，觀測(cè)到的一組確定的值稱為容的樣本的樣本值（觀測(cè)值、數(shù)據(jù)）。樣本空間（子樣空間）：我們把樣本切可能結(jié)果的全體稱為樣本空間（子樣空間）。量為的一二、簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣定義：若為來(lái)自母體的一組子樣，且滿足與

3、母體具有相同的分布；是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。為一組簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣，簡(jiǎn)稱為子樣。注：以下討論的都是簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣。 一般,對(duì)有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是總體中個(gè)體總數(shù)樣本容量設(shè)母體具有分布函數(shù)F(x)，為取自這一母體的容量為的子樣。則的聯(lián)合分布函數(shù)為 設(shè)母體具有密度函數(shù)p(x), 為取自這一母體的容量為的子樣。則的聯(lián)合密度函數(shù)為概率函數(shù)的概念若為離散型隨機(jī)變量，其分布列為令若為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為令稱為的概率函數(shù)，設(shè)母體的概率函數(shù)為為取自母體的一組子樣,則的聯(lián)合概率函數(shù)為例1.設(shè)母體服從參數(shù)為的泊松分布，為取自母體的一組子樣，求

4、的聯(lián)合概率函數(shù)。所以從而解：因?yàn)榈穆?lián)合概率函數(shù)為：例2.設(shè)母體為取自母體的一組子樣，求的聯(lián)合概率函數(shù)。所以從而的聯(lián)合概率函數(shù)為：。解：因?yàn)槿?、?jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)是取自分布為F (x)的母體中一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣的觀測(cè)值，若把子樣觀測(cè)值由小到大進(jìn)行排列得 這里是子樣觀測(cè)值中最小一個(gè)， 是子樣觀測(cè)值中第i個(gè)小的數(shù)等，則 是一個(gè)分布函數(shù)，稱作經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是母體分布函數(shù)F(x)的一個(gè)良好的近似.主要內(nèi)容5.2 統(tǒng)計(jì)量及其分布一、統(tǒng)計(jì)量的概念二、統(tǒng)計(jì)量的分布 我們知道子樣是母體的反映,但是子樣所含的信息不能直接用于解決我們所要研究的問(wèn)題,而需要把子樣所含的信息進(jìn)行數(shù)學(xué)上的加工,使其濃

5、縮起來(lái),從而解決我們的問(wèn)題,這在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中往往通過(guò)構(gòu)造一個(gè)合適的依賴于子樣的函數(shù)-統(tǒng)計(jì)量來(lái)達(dá)到。一、統(tǒng)計(jì)量的概念1.定義定義5.1 一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是子樣的一個(gè)函數(shù)，如果子樣容量為n，它也就是n個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)，并且要求這個(gè)函數(shù)是不依賴于任何未知參數(shù)的隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。是不是實(shí)例12.常用統(tǒng)計(jì)量是由母體取出的容量為n的子樣， 稱為子樣均值；稱為子樣方差；稱為子樣的k階原點(diǎn)矩；稱為子樣的k階中心矩.定義2、統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量 統(tǒng)計(jì)量 若是子樣的一組觀測(cè)值分別為子樣均值和子樣方差的觀測(cè)值.二、統(tǒng)計(jì)量的分布定理5.1 設(shè)母體的分布函數(shù)F(x)具有二階矩，即若是取自母體的一個(gè)子樣，則子樣均值的數(shù)學(xué)期望和方差分別為若假設(shè)母體的原點(diǎn)矩和中心矩都存在，則子樣方差的數(shù)學(xué)并且子樣均值與子樣方差的協(xié)方差為期望和方差依次為定理5.3 設(shè)母體服從，是取服從正態(tài)分布自這個(gè)母體的一個(gè)子樣，則定理5.4 設(shè)是正態(tài)母體其子樣均值與子樣方差分別為的一個(gè)子樣，則1）相互獨(dú)立；服從自由度為n-1的分布。2）推論1 設(shè)為取自正態(tài)母體子樣，分別為子樣均值與子樣方差，則是自由度為n-1的t變量，它服從t(n-1)分布.的一個(gè)推論2 設(shè)與分別是從正態(tài)母體抽取的兩個(gè)子樣且相互獨(dú)立，并設(shè)分別為這