普諾夫穩(wěn)定性課件

1、第11講 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論第11講 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論掌握內(nèi)容 李氏穩(wěn)定性的概念 穩(wěn)定性判別方法 掌握內(nèi)容 李氏穩(wěn)定性的概念StabilityStability自動(dòng)控制系統(tǒng)的出現(xiàn)伴隨著穩(wěn)定性問(wèn)題失穩(wěn)11.1 穩(wěn)定性研究的歷史自動(dòng)控制系統(tǒng)的出現(xiàn)伴隨著穩(wěn)定性問(wèn)題失穩(wěn)11.1 穩(wěn)定性研究利用微分方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析Maxwell特性方程的根決定穩(wěn)定性特征方程的系數(shù)判據(jù)RouthHurwitz利用微分方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析Maxwell特性方程的根決定穩(wěn)定穩(wěn)定性研究決定了頻率特性的發(fā)展Black發(fā)明反饋放大器NyquistBodeNyquist判據(jù)相角裕量增益裕量穩(wěn)定性研究決定了頻率特性的發(fā)展Blac

2、k發(fā)明反饋放大器Nyq 李亞普諾夫理論成為現(xiàn)代控制理論與非線性控制的重要基礎(chǔ)1892年，發(fā)表“論穩(wěn)定性的一般問(wèn)題”線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 李亞普諾夫理論成為現(xiàn)代控制理論與非線性控制的重要基礎(chǔ)189天遇：混沌與穩(wěn)定性的起源天遇：混沌與穩(wěn)定性的起源11.2 穩(wěn)定性的概念與定義平衡穩(wěn)定性穩(wěn)定？擾動(dòng)11.2 穩(wěn)定性的概念與定義平衡穩(wěn)定性穩(wěn)定？擾動(dòng)擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)阻尼下垂擺阻尼下垂擺倒立擺擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)阻尼下垂擺阻尼下垂擺倒立擺不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定定義XX0Xe狀態(tài)向量初始狀態(tài)孤立平衡狀態(tài)定義XX0Xe狀態(tài)向量初始狀態(tài)孤立平衡狀態(tài)平衡點(diǎn)：狀態(tài)xe稱為系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，如果一旦x(t)=

3、xe,則此后狀態(tài)永遠(yuǎn)停留在xe.平衡點(diǎn)滿足方程對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)平衡點(diǎn)：狀態(tài)xe稱為系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，如果一旦x(t)=xe對(duì)于孤立平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)平移變換，將它變換到狀態(tài)空間原點(diǎn)。因此，經(jīng)常以原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。說(shuō)明對(duì)于孤立平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)平移變換，將它變換到狀李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 如果對(duì)任一實(shí)數(shù)0,都對(duì)應(yīng)地存在一個(gè)實(shí)數(shù)(，t0)0,使得由滿足不等式|x0-xe|(,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式|(t;x0,t0)-xe|則稱xe在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 如果對(duì)任一實(shí)數(shù)0,都x0 xeS()S()(t)任

4、給存在x0 xeS()S()(t)任給存在一致穩(wěn)定若上述的選取只與有關(guān)，而和t0無(wú)關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定。任一初始時(shí)刻出現(xiàn)的擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定的一致穩(wěn)定若上述的選取只與有關(guān)，而和t0無(wú)關(guān)，則稱平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定 孤立平衡狀態(tài)xe=0在時(shí)刻t0漸近穩(wěn)定，Xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的（must)相對(duì)于平衡狀態(tài)xe=0滿足漸近性使系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域稱吸引域。漸近穩(wěn)定 孤立平衡狀態(tài)xe=0在時(shí)刻t0漸近穩(wěn)定，使系x0 xeS()S()(t)吸引域不穩(wěn)x0 xeS()S()(t)吸引域不穩(wěn)全局穩(wěn)定若以狀態(tài)空間的任一有限非零點(diǎn)為初始狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)都有界，且成立 則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍（全局）漸

5、近穩(wěn)定。吸引域充滿狀態(tài)空間全局穩(wěn)定若以狀態(tài)空間的任一有限非零點(diǎn)為初始狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)都有不穩(wěn)定設(shè)系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)為xe。若對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)0和任意實(shí)數(shù)0,不管多小，在S()內(nèi)總會(huì)存在一個(gè)狀態(tài)x0，使從x0出發(fā)的軌跡將離開(kāi)S(),則稱該孤立平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定設(shè)系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)為xe。若對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)0和任意實(shí)x0 xeS()S()(t)無(wú)論多大無(wú)論多小x0 xeS()S()(t)無(wú)論多大無(wú)論多小11.3 李雅普諾夫第一方法（線性化方法或間接法）基本思路 將非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程在平衡狀態(tài)附近進(jìn)行泰勒展開(kāi)，舍去高次項(xiàng)，導(dǎo)出一次近似的線性化系統(tǒng)。 根據(jù)線性化系統(tǒng)特征值在復(fù)平面上的分布來(lái)判斷系統(tǒng)在平衡狀態(tài)

6、附近的穩(wěn)定性。11.3 李雅普諾夫第一方法（線性化方法或間接法）基本思路忽略A非線性系統(tǒng)忽略A非線性系統(tǒng)雅可比矩陣雅可比矩陣非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的線性化方程非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的線性化方程線性化定理線性化系統(tǒng)非線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定未知線性化定理線性化系統(tǒng)非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)A的特征值具有負(fù)實(shí)部A的特征值具有正實(shí)部穩(wěn)定不穩(wěn)定A的特征值實(shí)部為零？線性化系統(tǒng)非線性系統(tǒng)A的特征值具有負(fù)實(shí)部A的特征值具有正實(shí)部穩(wěn)定不穩(wěn)定A的特征值例線性化例線性化例：判斷局部穩(wěn)定性原點(diǎn)漸近穩(wěn)定例：判斷局部穩(wěn)定性原點(diǎn)漸近穩(wěn)定Aleksandr Lyapunov(June 6 185

7、7 November 3, 1918) 1876, 圣彼得堡大學(xué)學(xué)習(xí)，師從切比雪夫1892，獲博士學(xué)位并成為教授1901，俄羅斯科學(xué)院院士1908，參加第4屆數(shù)學(xué)大會(huì)，并參與歐拉選集的編輯出版工作1918，夫人去世，隨之自殺，不治身亡Lyapunovs central limit theorem 、Lyapunov equation 、Lyapunov exponent Lyapunov function 、Lyapunov stability Aleksandr Lyapunov(June 6 1811.4 李雅普諾夫第二方法（直接法）阻尼系統(tǒng)11.4 李雅普諾夫第二方法（直接法）阻尼系統(tǒng)能

8、量替換能量的導(dǎo)數(shù)能量替換能量的導(dǎo)數(shù)是否對(duì)所有系統(tǒng)都成立？穩(wěn)定是否對(duì)所有系統(tǒng)都成立？穩(wěn)定V(x)是向量x的標(biāo)量函數(shù)，S是x空間包含原點(diǎn)的封閉有限區(qū)域，若對(duì)于S中的所有x，都有V(x)對(duì)于向量x中各分量有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)V(0)=0當(dāng)x0，V(x)0 V(x)是正定的正定函數(shù)V(x)是向量x的標(biāo)量函數(shù)，S是x空間包含原點(diǎn)的封閉有限區(qū)域正定半正定半負(fù)定不定正定半正定半負(fù)定不定二次型函數(shù)Sylvester定理當(dāng)P是對(duì)稱矩陣時(shí)，V(x)為正定的充分必要條件是P的順序主子行列式都為正二次型函數(shù)Sylvester定理當(dāng)P是對(duì)稱矩陣時(shí)，V(x)為二次型函數(shù)的正定性等價(jià)于其加權(quán)矩陣P 的正定性。實(shí)對(duì)稱陣P為負(fù)定的充

9、分必要條件是其各階主子式滿足(i 為偶數(shù))(i 為奇數(shù))二次型函數(shù)的正定性等價(jià)于其加權(quán)矩陣P 的正定性。實(shí)對(duì)稱陣P為正定正定李雅普諾夫穩(wěn)定性定理 給定一個(gè)定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程和平衡狀態(tài)，若對(duì)該系統(tǒng)可以找到單值標(biāo)量函數(shù)V(x)，且V(x)對(duì)各狀態(tài)分量均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若成立V(x)正定V(x)的導(dǎo)數(shù)負(fù)定 則xe=0是局部漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，稱V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。若V(x)半負(fù)定，則Lyapuno意義下穩(wěn)定李雅普諾夫穩(wěn)定性定理 給定一個(gè)定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程和平衡若成立系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定若成立系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定放寬后的條件半負(fù)定不恒等于零Krasovs

10、ki-Lasalle不變性原理放寬后的條件半負(fù)定不恒等于零Krasovski-Lasall直觀理解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)伴隨能量的變化,若能使系統(tǒng)能量變化的速率始終為負(fù)(能量為單調(diào)減少),系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)最終會(huì)回到平衡狀態(tài).李亞普諾夫函數(shù)能量函數(shù)直觀理解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)伴隨能量的變化,若能使系統(tǒng)能量變化的速率始V等值面x1x2V等值面x1x2說(shuō)明普適性(線性非線性時(shí)變)直觀性(廣義能量)函數(shù)的選取缺少有效方法充分條件(若找不到李氏函數(shù),不意味不穩(wěn)定)說(shuō)明普適性(線性非線性時(shí)變)不穩(wěn)定的判別定理 對(duì)LTI 自治系統(tǒng),若可構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0,以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域,使對(duì)所有非零狀態(tài)x滿足V(x

11、)為正定V(x)為正定 則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為不穩(wěn)定不穩(wěn)定的判別定理 對(duì)LTI 自治系統(tǒng),若可構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)V例原點(diǎn)(x1=0,x2=0)是唯一的平衡狀態(tài)正定函數(shù)例原點(diǎn)(x1=0,x2=0)是唯一的平衡狀態(tài)正定函數(shù)負(fù)定平衡點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定負(fù)定平衡點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定11.5 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定Q正定11.5 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定Q正定對(duì)n維LTI系統(tǒng),原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為,對(duì)任給一個(gè)n*n正定對(duì)稱矩陣Q,李亞普諾夫方程有唯一正定對(duì)稱解陣P對(duì)n維LTI系統(tǒng),原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條說(shuō)明Q常取為對(duì)角陣或單位陣其實(shí)質(zhì)是給出了矩陣A的特征值具有負(fù)實(shí)部的充要條件其意義主要用于理論推導(dǎo)和分析說(shuō)明Q常取為對(duì)角陣或單位陣?yán)?判斷穩(wěn)定性例 判斷穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定11.6 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性（了解）LTI系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定傳遞函數(shù)矩陣G(s)所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部外部穩(wěn)定性BIBO穩(wěn)定性11.6 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性（了解）LTI系統(tǒng)BIBO穩(wěn)內(nèi)部穩(wěn)定性由任意時(shí)刻t0的非零初始狀態(tài)x0引起的狀態(tài)零輸入響應(yīng)為有界,且成立LTI系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定內(nèi)部穩(wěn)定性由任意時(shí)刻t0的非零初始狀態(tài)x0引起的狀態(tài)零輸入響LTI系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件狀態(tài)矩陣A