工力彎曲應力孫訊芳

1、第三節(jié) 梁橫截面上的正應力和梁的正應力強度條件2010.10工程實例工程實例工程實例工程實例工程實例工程實例工程實例 6-3 梁橫截面上的正應力和梁的正應力強度條件在推導純彎曲梁橫截面上正應力的計算公式時 ，要綜合考慮 幾何 ，物理 和 靜力學 三方面 。當梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩 M ， 又有剪力 FS 。只有與正應力有關(guān)的法向內(nèi)力元素 dFN = dA 才能合成彎矩只有與切應力有關(guān)的切向內(nèi)力元素 dFS = dA 才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有 正應力，又有 切應力 FSM一、純彎曲正應力公式推導過程演示I、試驗與假設1122cabd1122cabd

2、MMMM假設平截面假設單向受力假設中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長也不收縮的纖維層。中性軸：橫截面與中性層的交線。MM1.幾何條件m2n2sysLyO1O2ra2dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性層z中性軸y對稱軸oa2a1ydqdldqxe2e12.物理條件(虎克定律)3.靜力學條件dAyz(中性軸)xzyOsdAM中性軸通過截面形心梁的上下邊緣處，彎曲正應力取得最大值，分別為： 抗彎截面模量。 4.純彎曲梁橫截面上的應力(彎曲正應力)： 距中性層y處的應力5.橫截面上正應力的畫法： MsminsmaxMsminsmax 線彈性范圍正應力小于比例極限

3、sp； 精確適用于純彎曲梁； 對于橫力彎曲的細長梁(跨度與截面高度比L/h5)，上述公式的誤差不大，但公式中的M應為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)。6.公式適用范圍：1.矩形截面三種典型截面對中性軸的慣性矩2.實心圓截面 3.截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓: 彎曲正應力分布 彈性力學精確分析表明，當跨度 l 與橫截面高度 h 之比 l / h 5 （細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應力二、橫力彎曲正應力例6-18 圖示矩形截面懸臂梁，承受均布載荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm。b=20mm，h=30mm。試求B截面上c、d兩點的

4、正應力。 lqABbhcdh/2zy解：（1）求B截面上的彎矩（2）求B截面上c、d處的正應力例619求圖示鑄鐵懸臂梁內(nèi)最大拉應力及最大壓應力。F=20KN，Iz=10200cm4。ABCF2Fyz96.4505020015012KNm16KNmy2y1MAy2y1MB解：1、畫彎矩圖，確定危險面。 2、確定危險點，計算最大拉應力與最大壓應力。彎矩圖看出，A、B兩截面均可能為危險面。 梁內(nèi)最大拉應力發(fā)生在A截面下邊緣各點處，其值為：對A、B兩截面，需經(jīng)計算，才能得知哪個截面上的最大壓應力更大：習題 圖示簡支梁由56a號工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應力smax 和同一橫

5、截面上翼緣與腹板交界處a點處的正應力sa 。B5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.m M解：1、作彎矩圖如上，2、查型鋼表得56號工字鋼3、求正應力為 12.521166560za或根據(jù)正應力沿梁高的線性分布關(guān)系的 12.521166560za 習題 如圖所示懸臂梁，自由端承受集中載荷F=15kN作用。試計算截面B-B的最大彎曲拉應力與最大彎曲壓應力。 解： 1確定截面形心位置 選參考坐標系zoy如圖示，將截面分解為I和II兩部分，形心C的縱坐標為:2計算截面慣性矩2012020120單位：mmIII3 計算最大彎曲正應力 截面BB的彎矩為: 在截面B的

6、上、下邊緣，分別作用有最大拉應力和最大壓應力，其值分別為：習題 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。解：畫M圖求截面彎矩求應力求曲率半徑III、梁的正應力強度條件1.彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮 與Ozyyt，maxyc，maxOzyyt，maxyc，max為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設計為例620一矩形截面的簡支木梁，梁上作用有均布荷載，已知：l=4m，b=140mm，h=210

7、mm，q=2kN/m。彎曲時木材的許用正應力s10MPa，試校核該梁的強度。并求該梁能承受的最大荷載qmax。 BAlqbhM圖解：1、畫彎矩圖。2、校核梁的強度梁滿足強度要求。3、求最大荷載qmax代人數(shù)據(jù)得例621一原起重量為50KN的單梁吊車，其跨度l=10.5m（其計算簡圖如圖），由45a號工字鋼制成。而現(xiàn)擬將其重量提高到Q=70KN，試校核梁的強度。若強度不夠，再計算其可能承受的起重量。梁的材料為Q235鋼，許用應力=140MPa；電葫蘆自重G=15KN，暫不考慮梁的自重。 （Q+G）l/4lQ+G解：（1）做彎矩圖，確定危險面 （2）計算最大彎曲正應力 由型鋼表查得45a號工字鋼的

8、抗彎截面模量故梁內(nèi)最大工作正應力為（3）依據(jù)強度條件，進行強度計算梁的最大承載能力： 因此，梁的最大起重量為61.3KN。例622圖所示外伸梁，用鑄鐵制成，截面為T字形。已知梁的載荷F110kN，F(xiàn)24kN,鑄鐵的許用應力st=30MPa，sC=100MPa。截面的尺寸如圖所示試校核此梁。 CB1mF21m1mF1D34y2y1C201202090解：作彎矩圖 確定截面形心位置并計算形心軸慣性矩 B截面： C截面： 所以，鑄鐵梁的拉伸強度不滿足，即AB梁是不安全的。分別校核鑄鐵梁的拉伸和壓縮強度 例623 受均布載荷q作用的矩形截面梁AD，左端鉸支，B處由直徑為d的圓桿BC懸吊，測得圓桿BC的

9、軸向線應變?yōu)?01106，試求梁AD的最大彎曲正應力。已知：d10mm，E200GPa，q3.5kN/m，b=40mm，h=60mm。 xC3mbhdDBA1.75kNm0.9844 kNm解：求BC桿的內(nèi)力 利用平衡方程求出B點的位置繪制AD梁的彎矩圖。求AD梁上最大正應力為習題 兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應力強度條件確定兩者許可載荷之比 P1P2？解：分析：該題的關(guān)鍵：兩種梁的最大彎曲正應力相等且等于許用應力。由彎曲正應力計算公式解：由彎矩圖可見該梁滿足強度條件，安全習題 圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應力 =160MPa，校核該梁

10、的強度。 習題 簡支梁在跨中受集中載荷P=30kN，l=8m，120 MPa。試為梁選擇工字鋼型號。 解：由強度條件，得 選擇工字鋼28a ABP習題 梁AC的截面為10工字鋼，B點用圓鋼桿BD懸掛，已知圓桿的直徑d=20mm，梁及桿的=160MPa，試求許用均布載荷q。 解：由平衡條件10號工字鋼AdBCD2m1mq+-q 6-4 梁橫截面上的切應力和梁的切應力強度條件一、梁橫截面上的切應力公式 1、公式推導： n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxBAyyxdxxM+dMMFSFSss+dstmnmmdxtytAI、矩形梁橫截面上的切應力橫截面上距中性軸等遠的各點處切應力大小

11、相等。各點的切應力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?。FS橫截面上的剪力IS橫截面對中性軸的慣性矩b求應力點處的寬度S*Z橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩ty切應力，方向與Fs相同Zyy0y0bh/2h/2maxII、工字形梁橫截面上的切應力分母兩項查表。其他截面的切應力最大值，一般也在中性軸處。ozy工字鋼截面切應力公式推導III、薄壁環(huán)形截面梁zy橫截面上切應力的大小沿壁厚無變化。切應力的方向與圓周相切。圖 5-7 為一段薄壁環(huán)形截面梁。環(huán)壁厚度為 ,環(huán)的平均半徑為r0，由于 r0 故可假設式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的切應力發(fā)生中性軸上，其值為VI、圓截面梁式中為圓

12、截面的面積dzoy最大切應力發(fā)生在中性軸上假設沿寬度上各點處的切應力均匯交于點。各點處切應力沿 y 方向的分量沿寬度相等。在截面邊緣上各點的切應力的方向與圓周相切。V、等直梁橫截面上最大剪應力的一般公式對于 等直梁 ，其最大剪應力tmax一定在最大剪力FSmax所在的橫截面上，而且一般說是位于該截面的中性軸上 。全梁各橫截面中最大剪應力可統(tǒng)一表達為b 橫截面在中性軸處的寬度 全梁的最大剪力 整個橫截面對中性軸的慣性矩 中性軸一側(cè)的橫截面面積對中性軸的靜矩二、梁的切應力強度條件梁的切應力強度條件為在選擇梁的截面時，通常先按正應力選出截面，再按切應力進行強度校核。式中 ，為材料在橫力彎曲時的許用切

13、應力。在選擇梁的截面時，必須同時滿足正應力和切應力強度條件。通常先按正應力選出截面，再按切應力進行強度校核。梁的強度大多由正應力控制，按正應力強度條件選好截面后，一般并不需要再按切應力進行強度校核。但在以下幾種特殊條件下，需校核梁的切應力：1、梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大；2、在焊接或鉚接的組合截面（如工字鋼）鋼梁中，當其橫截面腹板部分的厚度與梁高之比小于型鋼截面的相應比值；3、由于木材在其順紋方向的剪切強度較差，木梁在橫力彎曲時可能因中性層上的切應力過大而使梁沿中性層發(fā)生剪切破壞。例624 圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應力=160MPa，=100MPa，試求最小直徑dmin。

14、 40kN40kN40kNm解：1、畫出剪力圖和彎矩2、按正應力強度條件設計 ， ， 3、按切應力強度條件設計所以例625 如圖所示木梁受一可移動的荷載F40kN作用。已知s=10MPa，t=3MPa。木梁的橫截面為矩形，其高寬比為h:b=3:2。試選擇梁的截面尺寸。hbzy1mABFxABF解：解除支座約束，求支座反力 任一橫截面上的彎矩為求M(x)極大值 根據(jù)彎曲正應力的強度條件校核彎曲切應力例6-26 懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應力為0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求許可載荷。1.畫梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應力強度條件計算許可載荷 3.按切

15、應力強度條件計算許可載荷 解：4.按膠合面強度條件計算許可載荷 5.梁的許可載荷為 例6-27 T形梁尺寸及所受荷載如圖所示, 已知sy=100MPa，sL=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點的正應力、切應力；2)校核梁的正應力、切應力強度條件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_該梁滿足強度要求習題 簡支梁受均布荷載作用，其荷載集度q3.6kN/m梁的跨長 l=3m ,橫截面為bh=120180mm2, 許用彎曲正應力s=7MPa，許用切應力t=0.9MPa, 校核梁的強度

16、。ABq解：梁的正應力強度校核最大彎矩發(fā)生在跨中截面上，其值為梁橫截面的的抗彎截面系數(shù)為橫截面上的最大正應力梁的切應力強度校核矩形截面的面積為梁橫截面上的最大剪應力梁最大的剪力為 所以此木梁是安全的。梁的合理設計按強度要求設計梁時，主要是依據(jù)梁的正應力強度條件一、合理配置梁的荷載和支座1、將荷載分散2、合理設置支座位置Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M圖+Pl/8M圖Pl/8qlABql2/8M圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+-ql2/40ql2/50ql2/50二、合理選取截面形狀從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。在一般截面中，抗彎截面系數(shù)與截面高度的平方成正比。因此，當截面面積一定時，宜將較多材料放置在遠離中性軸的部位。面積相同時：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。同時應盡量使拉、壓應力同時達到最大值。smaxsmin一根鋼梁最大彎矩Mmax3.5kNm，許用應力s140MPa，它所要求的抗彎截面系數(shù)為：Wz250000mm3。如果采用圓形、矩形和工字形截面，它們所需的尺寸及其相應的比值Wz/A列于下表：截面形狀要求的Wzmm3所需尺寸mm截面面積mm2比值Wz/A圓形250000d=1371480