上海高中數(shù)學(xué)-復(fù)數(shù)講義

1、 1 1 一、知識點梳理：1、i 的期性:i=1，所以，i i=-1, i i=1 i n n 4 n 2 、數(shù)代數(shù)形式： 叫部， b 叫部，實部和虛部都是實數(shù)。C a b 集。 Z R C。3、復(fù)數(shù)相等： a di a ； a a 且b (b=0)4、復(fù)數(shù)的分類： 復(fù)數(shù)Z bi 虛數(shù)b a 0)純虛數(shù)(b 0)虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等。即使是3 ,6 i也沒有大小。5的量 OZ 表復(fù)數(shù) z 的模 r 為數(shù) z 的，z 2 ；積或商的?？衫媚５男再|(zhì)（1 z z1 z2 26、復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù) bi復(fù)數(shù)Z bi R一一對應(yīng) 平面量OZ ，7復(fù)面這建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的坐標(biāo)平面叫

2、做復(fù)平面中 x 軸做實軸，y 軸叫虛軸 ,實上的點都表實;除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)8、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算復(fù)數(shù) z 與 z 的： + =a+）+(+dia+d。 復(fù)數(shù) z 與 z 的： abi(+）=(-）+(bi 復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律和結(jié)合律 d R d R數(shù)加法的幾何意:復(fù)數(shù) z =+ + R; OZ =OZ + OZ =(ab（， 1 2d)=（+，+）（+）+(bd)i復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù) z -z 的（）+(） 對 由 Z OZ OZ ，兩個復(fù)數(shù)的差 z 與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對.9. 特地，zABz z z 為兩點間的距離 z z |1 2z 對的點

3、的軌跡是線段Z 12的垂直平分線 r0， z 對的點的 2 21 2 ) 2i (1 ) 2 21 2 ) 2i (1 ) 軌跡是一個圓；| z | a 1 2 1 , z 對的點的軌跡是一個橢圓；| z z a1 2 1 對的點的軌跡是雙曲線10、然有公式:z z zz z z 2 1 211、數(shù)的乘除法運算復(fù)數(shù)的乘法z z （a+bi)（+）=(ac）+(bc+）i R復(fù)數(shù)的乘法運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。實數(shù)集 中整數(shù)指數(shù)的運算律，在復(fù)數(shù)集 C 中仍然成立。即對 z ,z 及 N1 2 3m n m+n m n mn n n 有 z z =z ， (z ） =z ， (z ) =z

4、z .1 2 1 2復(fù)數(shù)的除法：1 2(a+bi）a bi bc ad （c+di = ic di c2 d R，分母實數(shù)化是常規(guī)方法12軛復(fù):若兩個復(fù)數(shù)的實部,而虛部是互為相反數(shù)時個數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)； 特別地，虛部不為 0 的兩共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)； , z R z z 2， 兩 共 軛 復(fù) 數(shù) 所 對 應(yīng) 的 點 或 向 量 關(guān) 于 實 軸 對 稱 。z R z ， z ,1 1 213、記常用算式1i，(1 ) 2 i ， ) ，1 ，1 14、數(shù)的代數(shù)式運算技:（1） 1 1 i1 1 （2”的立方根 2i的性質(zhì)：31 01115、系數(shù)一元二次方程的根問：（1） 2 ，方程有兩個實根

5、 , x 。1 2（2) 2 ,方程有兩個共軛虛根,其中 x 。1 2 i 2 i此時有x12 22x 1 ca且 x 2。注意兩種題型(1) x 12(2) x 12虛系數(shù)一元二次方程有實根問:不能用判別式一般用兩個復(fù)數(shù)相等求解然用韋 達定理。已知x 2 1是實系數(shù)一元二次方程a2 0的兩個根，求x 2 1的方法：（1當(dāng) 2 時，x ( x ) 2 x 1 2 b ac a當(dāng)x 12 ac 時，( x x ) 2 x 2 24ac a已知x 12是實系數(shù)一元二次方程a2 0的兩個根，求x 2 1的方法：（1） 2 ， 即 1 2ca ，則 x x 2 ba 即 1 2ca ,則x x ( x

6、 ) 2 x 1 1 1 2 1 b ac a(2）當(dāng) ac 時x 2 2 2 1 2二典分：例 復(fù)錯誤!等于（ ）cA。1 B.1+i 。1+ i 。i解析： 復(fù)數(shù)錯 !=2i1 (1 ) ，選 （2）若復(fù)數(shù) z同時滿足 2i, （ i為虛數(shù)單位 z 解：已知 Z i 1 ;（3)設(shè) 、b、cR則復(fù)(+i)(+）為實數(shù)的充要條件是A。=0 acbd=0 C. ac=0 +=0解析（1)a, b c R,復(fù)數(shù) (a )=( i為實數(shù)，ad bc ，選D； （4）已知 ，其中m，n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則 （ )(A)1+2i ） 2i （C)2+i (D）2i解析：1 m, m 2 ，故選擇

7、C.（5) , y為實數(shù)，且x i ,則 。解析: y x y (1i x y 2 ) )i1 1 i 2 5 2 5，而5 5(1i ) 3 x 1 x y 3 i 所 且 1 i 10 2 2 5 2，解得 x，y5所以 xy4點評：本題考查復(fù)數(shù)的運算及性基礎(chǔ)題例 ：(1）計算: 答案: 3 i 2 (2）復(fù)數(shù) z 足關(guān)系z ，求 解設(shè) z=a+bi（a,b 為實)，由知可得a a 2 由復(fù)數(shù)相等可得： a ，解得3 a , b ，以 z 4 設(shè) （a,b 為實數(shù)）復(fù)數(shù)問題實數(shù)化。若x ，解方程 x i 解設(shè) x=a+bi （a,bR)代入條件得：22 (3 )i,由復(fù)數(shù)相等的定義可得：

8、2 0 ,a=4,b=3，x=4+3i。例 3:（1復(fù)數(shù) z 滿 z | ,則 z 對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)表示圖形為）A直線 B圓 C橢 拋物線解：令 ，yR x+(y+1)x+(y1)=1故選 A。（2）復(fù)數(shù) 滿足| i ，求最大值與最小值;解：|z|的最大值為 3 3 ，最小值為 ;（3）已知 zC，|z2=1 且數(shù) z2 應(yīng)的點落在直線 上求 z。解：設(shè) 2=a+ai,=1 a ， i 2 2 或 z i2 2?！揪S撥從整體出發(fā)利用條件，可化運算，本題也可設(shè) z=a+bi 再用條件，但運算 復(fù)雜.（4）設(shè)z C ,1 z ，復(fù)數(shù) u (1 ),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的圖形面積_。解|u|=|1+i=

9、2z|2|u故積 S= 2 2 ) ?！舅季S點撥】復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是處理復(fù)數(shù)問題的常用方法。 例 4:已知 z=1+i，a,b 為數(shù)(1)若+3 z 4,求 2 (2)若，求 ，b 的值。 2 解（1=(1+i）+3i)4=1i，| |。（2）由條件( a ii ， ( ) a 2)i ， ?！舅季S點撥】利用復(fù)數(shù)的充要條件解.例 ： 且 是純虛數(shù)，求 |的最大值。解令 （x,yRz x y z ( x y y ( y， 是純虛數(shù)，y 2 2 ，即1 1( ) y 2 ( y 2 ，由數(shù)形結(jié)O1/2x合可知本題是求圓1( x )2 y 214( y 0)上的點到 1）的最大距離。 z |=|PA=

10、5 2。練習(xí)：（ ） i1 2 （ ） i1 2 1已知復(fù)數(shù) ( i均是純虛數(shù)則 _Z 2若( i ) i bRi a22（ D ）A0 B2 C 5 D 5設(shè)復(fù)數(shù)122 3 i，則 （ ) 2C（A（B（）1 2。復(fù)數(shù) 1 的軛復(fù)數(shù)是B )z A 1 B 1 1 i i2 2 2 。若復(fù)數(shù) 滿足方程 則 z 3 B. 2 C. 2iC （ ） D D。 2iD 設(shè) b 、 、 R ，若 為數(shù)，則 （ C ) i(A） （ (C ad 0(D） bc ad 如果復(fù) m )(1 是實數(shù)，則實數(shù) ）BA1 (。1 )B C（ ）2AD A iB iCD。滿足條件 z | i的復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面上應(yīng)

11、點的軌跡( 一條直線 兩直 。 圓 D. 橢。 a i , i 且 數(shù) 為 a 211。已 ni，中n實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m ni 83C（A)1+2i (B) （） (D)2- i12、數(shù)(1 )3的虛部為(A)3 （B）3 （C)2 （D）2解:數(shù)= i，所以它的虛部為2，選 D.13、復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) i對應(yīng)的點位于（A）第一象限 (B)第二象 (C第三象限（D）第四象限解：1 i） ii 故選 D；點評：復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)是高考對復(fù)數(shù)部分的一個考屬于比較基本的題目，主要考 察復(fù)數(shù)的的分類和幾何性.14求滿足條件： )i （i 為數(shù)單位)的復(fù)數(shù) 解原方程化簡為 z )i ，設(shè) z=x+yi（x、y入述方程得 +y+2xi=1-ix+y=1 且 ，解得 且 y= ， 2原方程的解