2023版高三一輪總復習數(shù)學新教材老高考人教版課時分層作業(yè)63　離散型隨機變量的分布列和數(shù)字特征

1、 課時分層作業(yè)(六十三)離散型隨機變量的分布列和數(shù)字特征一、選擇題1袋中裝有10個紅球、5個黑球每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止若抽取的次數(shù)為，則表示“放回5個紅球”事件的是()A4B5C6 D5C“放回5個紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故6.2設(shè)隨機變量X的分布列為P(Xi) eq f(i,2a)(i1，2，3)，則P(X2)等于()A eq f(1,9) B eq f(1,6) C eq f(1,3) D eq f(1,4)C由分布列的性質(zhì)，得 eq f(123,2a)1，解得a3，所以P(X2) eq f(2,23) eq f(1,3)

2、，故選C.3拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得1分，則得分X的均值與方差分別為()AE(X)0，D(X)1 BE(X) eq f(1,2)，D(X) eq f(1,2)CE(X)0，D(X) eq f(1,2) DE(X) eq f(1,2)，D(X)1A得分X的分布列為X11P0.50.5所以E(X)10.5(1)0.50，D(X)(10)20.5(10)20.51.4(2020全國卷)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且 eq o(,sup6(4),sdo6(i1)pi1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是()Ap1p40.1，p

3、2p30.4Bp1p40.4，p2p30.1Cp1p40.2，p2p30.3Dp1p40.3，p2p30.2B對于A，當p1p40.1，p2p30.4時，隨機變量X1的分布列為X11234P0.10.40.40.1E(X1)10.120.430.440.12.5，D(X1)(12.5)20.1(22.5)20.4(32.5)20.4(42.5)20.11.520.10.520.40.520.41.520.10.65，所以 eq r(D（X1）) eq r(0.65).對于B，當p1p40.4，p2p30.1時，隨機變量X2的分布列為X21234P0.40.10.10.4E(X2)10.420.

4、130.140.42.5，D(X2)(12.5)20.4(22.5)20.1(32.5)20.1(42.5)20.41.520.40.520.10.520.11.520.41.85，所以 eq r(D（X2）) eq r(1.85).對于C，當p1p40.2，p2p30.3時，隨機變量X3的分布列為X31234P0.20.30.30.2E(X3)10.220.330.340.22.5，D(X3)(12.5)20.2(22.5)20.3(32.5)20.3(42.5)20.21.520.20.520.30.520.31.520.21.05，所以 eq r(D（X3）) eq r(1.05).對于

5、D，當p1p40.3，p2p30.2時，隨機變量X4的分布列為X41234P0.30.20.20.3E(X4)10.320.230.240.32.5，D(X4)(12.5)20.3(22.5)20.2(32.5)20.2(42.5)20.31.520.30.520.20.520.21.520.31.45，所以 eq r(D（X4）) eq r(1.45).所以B中的標準差最大5(2021杭州市質(zhì)檢)已知隨機變量滿足P(x)axb(x1，0，1)，其中a，bR.若E() eq f(1,3)，則D()()A eq f(2,9) B eq f(5,9) C eq f(8,9) D eq f(11,9

6、)B由題意可知，P(1)P(0)P(1)abbab3b1，解得b eq f(1,3)，E()1P(1)0P(0)1P(1)(ab)0bab2a eq f(1,3)，解得a eq f(1,6).所以D() eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)2 eq f(1,6) eq blc(rc)(avs4alco1(0f(1,3)2 eq f(1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)2 eq f(1,2) eq f(5,9)，故選B.6(2021溫州市高考適應(yīng)性考試)若隨機變量X的分布列是X0a1P eq f(a,2) eq f(1,2) eq f(1a,2)

7、則當實數(shù)a在(0，1)內(nèi)增大時，()AD(X)增大BD(X)減小CD(X)先增大后減小DD(X)先減小后增大D法一：由題意得E(X)0 eq f(a,2)a eq f(1,2)1 eq f(1a,2) eq f(1,2)，D(X) eq f(a,2) eq blc(rc)(avs4alco1(0f(1,2)2 eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2 eq f(1a,2) eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)2 eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2 eq f(1,8)，則當實數(shù)a在(0，1)內(nèi)增

8、大時，D(X)先減小后增大，故選D.法二：由題意得E(X)0 eq f(a,2)a eq f(1,2)1 eq f(1a,2) eq f(1,2)，隨機變量X2的分布列為X20a21P eq f(a,2) eq f(1,2) eq f(1a,2)所以E(X2)0 eq f(a,2)a2 eq f(1,2)1 eq f(1a,2) eq f(a2a1,2)，所以D(X)E(X2)E(X)2 eq f(2a22a1,4) eq f(blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2,2) eq f(1,8)，所以當實數(shù)a在(0，1)內(nèi)增大時，D(X)先減小后增大，故選D.二、填空題7已知隨機變量

9、的分布列為123P0.5xy若E() eq f(15,8)，則D()_ eq f(55,64)由分布列性質(zhì)，得xy0.5.又E() eq f(15,8)，得2x3y eq f(11,8)，可得 eq blc(avs4alco1(xf(1,8)，,yf(3,8)D() eq blc(rc)(avs4alco1(1f(15,8)2 eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(2f(15,8)2 eq f(1,8) eq blc(rc)(avs4alco1(3f(15,8)2 eq f(3,8) eq f(55,64).8.如圖所示，A，B兩點5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的

10、最大信息量依次為2，3，4，3，2.記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)通過的最大信息總量為X，則P(X8)_ eq f(4,5)法一：(直接法)由已知得，X的取值為7，8，9，10，P(X7) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(2),C eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(1,5)，P(X8) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(1)C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(2),sdo1(2),C eq oal

11、(sup1(3),sdo1(5) eq f(3,10)，P(X9) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(1),C eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(2,5)，P(X10) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(1),C eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(1,10)，X的概率分布列為X78910P eq f(1,5) eq f(3,10) eq f(2,5) eq f(1,10

12、)P(X8)P(X8)P(X9)P(X10) eq f(3,10) eq f(2,5) eq f(1,10) eq f(4,5).法二：(間接法)由已知得，X的取值為7，8，9，10，故P(X8)與P(X7)是對立事件，所以P(X8)1P(X7)1 eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(2),C eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(4,5).9編號為1，2，3的三位學生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位學生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學生的人數(shù)是，則E()_，D()_11的所有可能取值為0，1，3，0表

13、示三位同學全坐錯了，有2種情況，即編號為1，2，3的座位上分別坐了編號為2，3，1或3，1，2的學生，則P(0) eq f(2,A eq oal(sup1(3),sdo1(3) eq f(1,3)；1表示三位同學只有1位同學坐對了，則P(1) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(3),A eq oal(sup1(3),sdo1(3) eq f(1,2)；3表示三位同學全坐對了，即對號入座，則P(3) eq f(1,A eq oal(sup1(3),sdo1(3) eq f(1,6).所以的分布列為013P eq f(1,3) eq f(1,2) eq f(1,6)E()0 e

14、q f(1,3)1 eq f(1,2)3 eq f(1,6)1.D() eq f(1,3)(01)2 eq f(1,2)(11)2 eq f(1,6)(31)21.三、解答題10(2021北京高考)為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可確定所有樣本都是陰性的，若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒(1)若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù)；已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為 eq f(1,11)，定義隨機變量X為總檢測次數(shù)，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學期

15、望E(X)；(2)若采用“5合1檢測法”，檢測次數(shù)Y的期望為E(Y)，試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫出結(jié)果)解(1)若采用“10合1檢測法”，每組檢查一次，共10次；又兩名患者在同一組，需要再檢查10次，因此一共需要檢查20次由題意可得：X20，30.P(X20) eq f(1,11)，P(X30) eq f(10,11).可得分布列：X2030P eq f(1,11) eq f(10,11)E(X)20 eq f(1,11)30 eq f(10,11) eq f(320,11).(2)E(X)E(Y).11隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等

16、品20件，次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的數(shù)學期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？解(1)X的所有可能取值有6，2，1，2.P(X6) eq f(126,200)0.63，P(X2) eq f(50,200)0.25，P(X1) eq f(20,200)0.1，P(X2) eq f(4,200)0.02.故X的分布列為X

17、6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0 x0.29).依題意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.1已知隨機變量X的分布列如表：X101Pabc其中a，b，c0.若X的方差D(X) eq f(1,3)對所有a(0，1b)都成立，則()A0b eq f(1,3) B0b eq f(2,3)C eq f(1,b)b1 D eq f(2,3)b1D依題意，知a

18、bc1，故c1ab，當a(0，1b)時，E(X)ac1b2a，則D(X)E(X2)E(X)2ac(ca)2ac(ca)24ac4ac(ac)(ac)24a(1(1b)(1b)24a(1ba)令1bt，則t(0，1)，D(X)tt24a(ta) eq f(1,3)，a(0，t)，故4a24att2t eq f(1,3)0在a(0，t)上恒成立，當a eq f(t,2)時D(X)有最小值，故4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(t,2)24 eq f(t,2)tt2t eq f(1,3)0，故t eq f(1,3)，即1b eq f(1,3)，所以b eq f(2,3)，又a，b，c0

19、，所以b1，即 eq f(2,3)b1，故選D.2已知5臺機器中有2臺存在故障，現(xiàn)需要通過逐臺檢測直至區(qū)分出2臺故障機器為止若檢測一臺機器的費用為1 000元，則所需檢測費的均值為 ()A3 200元 B3 400元C3 500元 D3 600元C法一：設(shè)被檢測機器的臺數(shù)為X，則X的所有可能取值為2，3，4.因為P(X2) eq f(A eq oal(sup1(2),sdo1(2),A eq oal(sup1(2),sdo1(5) eq f(1,10)，P(X3) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(3)A eq oal(sup

20、1(2),sdo1(2)A eq oal(sup1(3),sdo1(3),A eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(3,10)，P(X4) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2)A eq oal(sup1(1),sdo1(3)A eq oal(sup1(2),sdo1(3)C eq oal(sup1(1),sdo1(2),A eq oal(sup1(4),sdo1(5) eq f(3,5)，所以E(X)2 eq f(1,10)3 eq f(3,10)4 eq f(3,5) eq f(7,2)，所以所需檢測費的均值為1 000 eq f(7,2)3 500(

21、元)，故選C.法二：設(shè)所需檢測費為Y元，則Y的所有可能取值為2 000，3 000，4 000.因為P(Y2 000) eq f(A eq oal(sup1(2),sdo1(2),A eq oal(sup1(2),sdo1(5) eq f(1,10)，P(Y3 000) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(3)A eq oal(sup1(2),sdo1(2)A eq oal(sup1(3),sdo1(3),A eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(3,10)，P(Y4 000) eq f(C eq oal(su

22、p1(1),sdo1(2)A eq oal(sup1(1),sdo1(3)A eq oal(sup1(2),sdo1(3)C eq oal(sup1(1),sdo1(2),A eq oal(sup1(4),sdo1(5) eq f(3,5)，所以所需檢測費的均值E(Y)2 000 eq f(1,10)3 000 eq f(3,10)4 000 eq f(3,5)3 500(元)，故選C.3某城市A公司外賣配送員底薪是每月1 800元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為X，若X1，300，配送員每單提成3元；若X(300，600，配送員每單提成4元；若X(600，)，配送員每單提成4.5元B公司外賣配送

23、員底薪是每月2 100元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為Y，若Y1，400，配送員每單提成3元；若Y(400，)，配送員每單提成4元小王計劃在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在9月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2：B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計日送餐量y/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資為f(X)(單位：元/人)，B公司外賣配送員月工資為g(Y)(單位：元/人)，當XY且X，Y(300，600時，比較f(

24、X)與g(Y)的大??；(2)若將甲、乙9月份的日送餐量的頻率視為對應(yīng)公司日送餐量的概率()分別計算外賣配送員甲和乙每日送餐量的數(shù)學期望；()請利用你所學的知識為小王作出選擇，并說明理由解(1)因為XY且X，Y(300，600，所以g(X)g(Y)，當X(300，400時，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1003X)X3000.當X(400，600時，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1004X)3000.故當X(300，400時，f(X)g(Y)，當X(400，600時，f(X)g(Y).(2)()甲的日送餐量x的分布列為：x131416171820P eq f(1,15) eq

25、 f(1,5) eq f(2,5) eq f(1,5) eq f(1,15) eq f(1,15)則E(x)13 eq f(1,15)14 eq f(1,5)16 eq f(2,5)17 eq f(1,5)18 eq f(1,15)20 eq f(1,15)16.乙的日送餐量y的分布列為：y111314151618P eq f(2,15) eq f(1,6) eq f(2,5) eq f(1,10) eq f(1,6) eq f(1,30)則E(y)11 eq f(2,15)13 eq f(1,6)14 eq f(2,5)15 eq f(1,10)16 eq f(1,6)18 eq f(1,3

26、0)14.()E(X)30E(x)480(300，600，E(Y)30E(y)420(400，).估計A公司外賣配送員月薪平均為1 8004E(X)3 720(元).估計B公司外賣配送員月薪平均為2 1004E(Y)3 780(元).因為3 7803 720，所以小王應(yīng)選擇做B公司外賣配送員1開學后，某學校食堂為了減少師生就餐排隊時間，特推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞蛢煞N已知小明同學每天中午都會在食堂提供的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞椭羞x擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r格是每份15元，面食套餐的價格是每份10元，如果小明當天選擇了某種套餐，他第二天會有80%的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?/p>

27、，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閜n，給出以下論述：小明同學第二天一定選擇面食套餐；p30.68；pn0.2pn10.8(1pn1)(n2，nN)；前n天小明同學午餐花費的總費用的數(shù)學期望為 eq f(25,2)n eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)n.其中正確的是()A. B C DD在中，第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，則小明第二天有80%的可能選擇面食套餐，故錯誤；在中，第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，p30.80.80.20.20.68，故正確；在中，小明當天選擇了某種套餐，他第二天會有80%的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天小明

28、選擇了米飯?zhí)撞停趎天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閜n，pn0.2pn10.8(1pn1)(n2，nN)，故正確；在中，當n1時，前n天小明午餐花費的總費用的數(shù)學期望為15 eq f(25,2)1 eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)1.當n2時，前n天小明午餐花費的總費用的數(shù)學期望為15150.2100.8 eq f(25,2)2 eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)2.當n3時，前n天小明午餐花費的總費用的數(shù)學期望為15150.2100.8150.68100.32 e

29、q f(25,2)3 eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)3.由此猜想前n天小明午餐花費的總費用的數(shù)學期望為 eq f(25,2)n eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)n，故正確故選D.2水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān)，某工廠深入貫徹科學發(fā)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水(A級水)達到環(huán)保標準(簡稱達標)的概率為p(0p1).經(jīng)化驗檢測，若確認達標便可直接排放；若不達標則必須經(jīng)過B系統(tǒng)處理后直接排放該工廠現(xiàn)有4個標準水量的A級水池，分別取樣、檢測多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗混合樣本中只要有樣本不達標，則混合樣本的化驗結(jié)果必不達標若混合樣本不達標，則該組中各個樣本必須再逐個化驗；若混合樣本達標，則原水池的污水直接排放現(xiàn)有以下