函數(shù)極值和最值

1、關(guān)于函數(shù)極值與最值1第1頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四定義極大值(或極小值), 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值點(diǎn).極小值(minimal value)極大值(maximal value)一、函數(shù)的極值及其求法1. 函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0(自變量)稱為2第2頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四 函數(shù)的極大值、極小值 是局部性的. 在一個(gè)區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個(gè)極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個(gè)極大值.只是一點(diǎn)附近的3第3頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四定理1(必要條件)注如,(1)駐點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)

2、的極值點(diǎn)駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).但函數(shù)的2. 極值的必要條件必是駐點(diǎn),費(fèi)馬引理如果函數(shù)可導(dǎo),處取得極值,那么回憶極值,4第4頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四極值點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如,但 怎樣從駐點(diǎn)中與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)判斷一點(diǎn)單減的分界點(diǎn),(2)不可導(dǎo).是極小值點(diǎn).是不是極值點(diǎn)若 x0 是連續(xù)函數(shù) f(x) 單增、則 x0必為極值點(diǎn).幾何上,5第5頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四定理2(第一充分條件)則為極大值則不是極值.(極小值);極值的一階充分條件3. 極值的充分條件6第6頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四一般求極值的

3、步驟求導(dǎo)數(shù); 求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn);求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性;求極值.(1)(2)(3)(4)不是極值點(diǎn)7第7頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四例解(1)(2)駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):(3)列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性,確定極值點(diǎn)和極值.8第8頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四非極值極小值不存在極大值駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):單調(diào)增加區(qū)間:單調(diào)減少區(qū)間:9第9頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四定理3(第二充分條件)極大值(極小值).極值的二階充分條件 對于駐點(diǎn),有時(shí)還可以利用函數(shù)在該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號來判斷極值點(diǎn).1

4、0第10頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四例解因?yàn)?11第11頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四注仍用第一充分條件定理3(第二充分條件)不能應(yīng)用.事實(shí)上,可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒有極值.如,分別屬于上述三種情況.12第12頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四例解所以,第一充分條件13第13頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四充分條件來判定有無極值;對于只有駐點(diǎn)而沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),可用第二充分條件判斷有無極值. 運(yùn)用第一、第二充分條件需要注意:若函數(shù)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)時(shí),則可用第一(1)(2)則14

5、第14頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四二、最大值最小值問題1.最值的求法15第15頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四(1)其中最大(小)者 求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值的方法:將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的區(qū)間端點(diǎn)的就是 f (x)最值必在端(2)點(diǎn)處達(dá)到.點(diǎn)(即為極值嫌疑點(diǎn))處的函數(shù)值和函數(shù)值 f (a), f (b)比較,在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值. 當(dāng) f (x)在閉區(qū)間a, b上單調(diào)時(shí),16第16頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四例解因駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):17第17頁，共27

6、頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四僅需計(jì)算:比較得:因是偶函數(shù),最大值為最小值為駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):18第18頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四練習(xí)解駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):最大值最小值最大值與最小值.19第19頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四(3) 對實(shí)際問題常?？墒孪葦喽ㄗ畲?小)值必在區(qū)間內(nèi)部取得,如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有一個(gè)極值嫌疑點(diǎn),那末這點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大(小)值.實(shí)際問題求最值應(yīng)注意(1) 建立目標(biāo)函數(shù);(2) 求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大(小)值.20第20頁，共27頁，2022年，5

7、月20日，11點(diǎn)2分，星期四例解 目標(biāo)函數(shù)得2. 應(yīng)用舉例(1)(2)求最大值點(diǎn)半徑為R.求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的設(shè)圓柱體的高為2h,底半徑為r,體積為V,21第21頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四 圓柱體的最大體積一定存在,故唯一駐點(diǎn) 就是最大值點(diǎn), 最大體積為令得(舍去負(fù)值)唯一駐點(diǎn)22第22頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四例敵人乘汽車從河的北岸A處以1公里/分的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2公里/分問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？北南西東解建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)(1)23第23頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四得唯一駐點(diǎn)北南西東24第24頁，共27頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)2分，星期四例某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月720元時(shí),公寓會全部租出去.當(dāng)租金每月增加40元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)80元的整修維護(hù)費(fèi).試問房租定為多少可獲得最大收入?解設(shè)房租為每月 元，租出去的房子有 每月總收入為套25第25頁，共27頁，