第2講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（2022年高考真題）（解析版）

1、第2講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 一、單選題1（2022全國(guó)高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）ABC0D1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出【詳解】因?yàn)?，令可得，所以，令可得，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，即有，從而可知，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為因?yàn)?，所以一個(gè)周期內(nèi)的由于22除以6余4，所以故選：A2（2022全國(guó)高考真題（理）已知函數(shù)的定義域均為R，且若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，從而得到，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，

2、所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)椋?，又因?yàn)?，?lián)立得，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)椋?所以.故選：D【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.3（2022全國(guó)高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】 球的體積為，所

3、以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.4（2022全國(guó)高考真題）設(shè)，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.5（2022全國(guó)高考真題（文）如圖是下列

4、四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.6（2022全國(guó)高考真題（文）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D7（2022全國(guó)高考真題（理）已知，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

5、可得，即可得解.【詳解】因?yàn)?因?yàn)楫?dāng)所以,即,所以；設(shè)，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A8（2022全國(guó)高考真題（理）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，所以，排除C.故選：A.9（2022全國(guó)高考真題（理）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）ABCD1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有故選：B.10（2022全國(guó)高

6、考真題（文）已知，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出【詳解】由可得，而，所以，即，所以又，所以，即，所以綜上，故選：A.二、多選題11（2022全國(guó)高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A在區(qū)間單調(diào)遞減B在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C直線是曲線的對(duì)稱軸D直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出【詳解】由題意得：，所以，即，又，所以時(shí)，故對(duì)A，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯

7、一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即故選：AD12（2022全國(guó)高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，所以，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決

8、本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)（必要時(shí)結(jié)合圖象）即可得解.13（2022全國(guó)高考真題）已知函數(shù)，則（）A有兩個(gè)極值點(diǎn)B有三個(gè)零點(diǎn)C點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一

9、個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、雙空題14（2022全國(guó)高考真題）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為_(kāi)，_【答案】 【解析】【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】解： 因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；1

10、5（2022全國(guó)高考真題（文）若是奇函數(shù)，則_，_【答案】 ； 【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱由可得，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意故答案為：；四、填空題16（2022全國(guó)高考真題（理）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)若，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得時(shí)，時(shí)，再分和兩種情況討論，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得

11、出答案.【詳解】解：，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，,函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又,的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對(duì)稱變換，然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短為原來(lái)的倍得到，如圖所示：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，

12、考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.17（2022全國(guó)高考真題）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,切線過(guò)原點(diǎn)，,整理得：,切線有兩條，,解得或,的取值范圍是,故答案為：五、解答題18（2022全國(guó)高考真題（文）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（

13、2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.(1)當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以；(2)，則，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性

14、，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題.19（2022全國(guó)高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.(1)當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，

15、故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.(3)取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.20（2022全國(guó)高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有

16、三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)， 的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.(1)的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其?/p>

17、，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.(2)由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)零點(diǎn)，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線

18、與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.21（2022全國(guó)高考真題（理）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為(