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1、第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞:契比雪夫不等式大數(shù)定律中心極限定理11 大數(shù)定律背景 本章的大數(shù)定律,對第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”,給出理論上的論證為了證明大數(shù)定理,先介紹一個(gè)重要不等式234 例1:在n重貝努里試驗(yàn)中,若已知每次試驗(yàn)事件A 出現(xiàn)的概率為0.75,試?yán)闷醣妊┓虿坏仁焦?計(jì)n,使A出現(xiàn)的頻率在0.74至0.76之間的概率不 小于0.90。57辛欽大數(shù)定理(弱大數(shù)定理) 設(shè)X1,X2,Xn為獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量,且有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xi)= (i=1,2,), 則對0,有以概率收斂于8大數(shù)定律的重要意義:貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性
2、,正因?yàn)檫@種穩(wěn)定性,概率的概念才有客觀意義,貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法,既然頻率nA/n與概率p有較大偏差的可能性很小,我們便可以通過做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計(jì),這種方法即是在第7章將要介紹的參數(shù)估計(jì)法,參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。102 中心極限定理背景: 有許多隨機(jī)變量,它們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的綜合影響所形成的,而其中每個(gè)個(gè)別的因素作用都很小,這種隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布,或者說它的極限分布是正態(tài)分布,中心極限定理正是從數(shù)學(xué)上論證了這一現(xiàn)象,它在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 1112二項(xiàng)分布和
3、正態(tài)分布的關(guān)系14示意例圖15 例3:某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,每人每年交200元,若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給受益人1萬元。設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)虧本的概率。17 例4:設(shè)某工廠有400臺同類機(jī)器,各臺機(jī)器發(fā)生故障的概 率都是0.02,各臺機(jī)器工作是相互獨(dú)立的,試求機(jī) 器出故障的臺數(shù)不小于2的概率。18作業(yè)題P126 :1;4;719第五章復(fù)習(xí)202122大數(shù)定律的重要意義:貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性,正因?yàn)檫@種穩(wěn)定性,概率的概念才有客觀意義,貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法,既然頻率nA/n與
4、概率p有較大偏差的可能性很小,我們便可以通過做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計(jì),這種方法即是在第7章將要介紹的參數(shù)估計(jì)法,參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。2425第六章 樣本及抽樣分布關(guān)鍵詞: 總 體 個(gè) 體 樣 本 統(tǒng) 計(jì) 量 27引言:數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理、分析 和推斷的科學(xué)。在概率論中已經(jīng)知道,由于大量的隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的規(guī)律性,因而從理論上講只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察,各種結(jié)果的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn),但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是有限的,甚至是少量的。例如:若規(guī)定燈泡壽命低于1000小時(shí)者為次品,如何確定次品率?由于燈泡壽命試
5、驗(yàn)是破壞性試驗(yàn),不可能把整批燈泡逐一檢測,只能抽取一部分燈泡作為樣本進(jìn)行檢驗(yàn),以樣本的信息來推斷總體的信息,這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的問題之一。281 總體和樣本總體:研究對象的全體。如一批燈泡。個(gè)體:組成總體的每個(gè)元素。如某個(gè)燈泡。抽樣:從總體X中抽取有限個(gè)個(gè)體對總體進(jìn)行觀察的取值過程。隨機(jī)樣本:隨機(jī)抽取的n個(gè)個(gè)體的集合(X1,X2,Xn), n為樣本容量簡單隨機(jī)樣本:滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本(X1,X2,Xn)稱 為簡單隨機(jī)樣本。1. 每個(gè)Xi與X同分布2. X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量說明:后面提到的樣本均指簡單隨機(jī)樣本,由概率論知,若總體X 具有概率密度f(x), 則樣本(X1,X
6、2,Xn)具有聯(lián)合密度函數(shù):29樣本:(1)從總體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體n維隨機(jī)變量 就是一個(gè)樣本,n為樣本容量 。(2) 對這n個(gè)個(gè)體 進(jìn)行測試,得到一組數(shù)據(jù) ,這組數(shù)據(jù)叫做樣本值,樣本值也簡稱為樣本。這就是樣本的二重性。樣本概念的二重性30數(shù)理統(tǒng)計(jì):利用樣本 對總體X 的 做出推斷(估計(jì))。31二. 統(tǒng)計(jì)量 如,考察物體a的長度,測量10次,得到數(shù)據(jù)總體樣本統(tǒng)計(jì)量:整理分析由樣本構(gòu)造出來的統(tǒng)計(jì)量,然后利用統(tǒng)計(jì)量對總體進(jìn)行推斷(關(guān)鍵的環(huán)節(jié))32統(tǒng)計(jì)量:樣本的函數(shù) ,且不含未知參數(shù)。 稱為統(tǒng)計(jì)量的值。為r.v.2. 常見的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)估計(jì)弱大數(shù)定理33估計(jì)估計(jì)估計(jì)估計(jì)特別的, (4)樣本的k階原點(diǎn)矩
7、:(5)樣本的k階中心矩:343536 隨機(jī)變量獨(dú)立性的定理返回372 常用的分布 n=4n=1n=1038 -39 40 t-41t分布的性質(zhì):(1) 即 分布的極限( 分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (2) ,則 42 43F-4445例2:設(shè)X1,X2,X3,X4是來自正態(tài)總體N(0,22)的簡單隨機(jī)樣本,則服從_分布 ; 46例3:設(shè)X1,X2,X3,X4是來自正態(tài)總體N(0,22)的簡單隨機(jī)樣本,則()()服從_分布。4748四. 正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布定理1 設(shè)總體線性組合正態(tài)分布49標(biāo)準(zhǔn)化,得到50受到1個(gè)約束,獨(dú)立的變量個(gè)數(shù)為n-1獨(dú)51且相互獨(dú)立5253545556575860其中 則 616263作業(yè)題P147 :1
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