菲克定律應(yīng)用

1、菲克定律1擴(kuò)散動力學(xué)方程菲克定律1.1菲克第一定律1.1.1宏觀表達(dá)式1858年，菲克（Fick）參照了傅里葉（Fourier）于1822年建立的導(dǎo)熱方程，建立定量公式。在也時間內(nèi)，沿X方向通過X處截面所遷移的物質(zhì)的量偵與X處的濃度梯度成正比:有：Am 氐 CAAtAXdCdm即有：Am 氐 CAAtAXdCdm即dxAdtdCdx（7-1）圖7-1擴(kuò)散過程中溶質(zhì)原子的根據(jù)上式引入擴(kuò)散通量概念分布式（7-1）即菲克第一定律。式中J稱為擴(kuò)散通量，常用單位是mol/（ cm2 s）;竺濃度梯度；dx.D擴(kuò)散系數(shù)，它表示單位濃度梯度下的 :：通量，單位為cm2/s或m2 /s ；氣負(fù)號表示擴(kuò)散方向與

2、濃度梯度方向相 工 反見圖7-2。圖7-2溶質(zhì)原子流動1.1.2微觀表達(dá)式的方向與濃度降低的方 微觀模型：向相一致設(shè)任選的參考平面1、平面2上擴(kuò) 散原子面密度分別為n1和n2,若n1=n2，則無凈擴(kuò)散流。假定原子在平衡位置的振動周期為t則一個原子單位時間內(nèi)離 開相對平衡位置躍遷次數(shù)的平均值，即躍遷頻率為r =1（7-2）T由于每個坐標(biāo)軸有正、負(fù)兩個方向，所以向給定坐標(biāo)軸正向躍遷的幾率是-r。6設(shè)由平面l向平面2的跳動原子通量為J量為J12，由平面2向平面1的跳動原圖7-3 一維擴(kuò)散的微觀模型子通量為J21 TOC o 1-5 h z J 12= 6 Y(7-3)J 21= 6 n2 r(7-4

3、)注意到正、反兩個方向，則通過平面1沿x方向的擴(kuò)散通量為(7-5)J = J J = r(n n )(7-5)11221612而濃度可表示為(7-6)式(7-6)中的1表示取代單位面積計算e表示沿擴(kuò)散方向的跳動距離(見圖7-3)，則由式(7-5)、式(7-6)得j = -r(c c )5 = -r(c c )5 = -rs2竺=d竺(7-7)1 6126216 dx dx式(7-7 )即菲克第一定律的微觀表達(dá)式，其中d =1 rs 2(7-8)6式(7-8)反映了擴(kuò)散系數(shù)與晶體結(jié)構(gòu)微觀參量之間的關(guān)系，是擴(kuò)散 系數(shù)的微觀表達(dá)式。三維情況下，對于各向同性材料(D相同)，則(7-9)J= J + J

4、 + J = D(i 竺 + j 竺 + k 竺)=DV- C x y zdx dx (7-9)式中：V = iJj 1 + k區(qū)為梯度算符。dx dx dx對于各向異性材料，擴(kuò)散系數(shù)D為二階張量，這時，f D D f D D 氣氣氣D23ID D D ) 3132 33 /辦竺辦竺dx ）(7-10)對于菲克第一定律，有以下三點值得注意：（1）式（7-1）是唯象的關(guān)系式，其中并不涉及擴(kuò)散系統(tǒng)內(nèi)部原 子運動的微觀過程。（2）擴(kuò)散系數(shù)反映了擴(kuò)散系統(tǒng)的特性，并不僅僅取決于某一種組元的特性。（3）式（7-1）不僅適用于擴(kuò)散系統(tǒng)的任何位置，而且適用于擴(kuò) 散過程的任一時刻。其中，j、d、竺可以是常量，也

5、可以是變量， dx即式（7-1）既可適用于穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，也可適用于非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散。1.2菲克第二定律當(dāng)擴(kuò)散處于非穩(wěn)態(tài)，即各點的濃度隨時間而改變時，利用（7-1）不容易求出C（x/）。但通常的擴(kuò)散過程大都是非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，為便于求 出C（x/），菲克從物質(zhì)的平衡關(guān)系著手，建立了第二個微分方程式。1.2.1 一維擴(kuò)散則有Am = (J A - J AxA)At圖7-4擴(kuò)散流通過微小體Am _ J - 則有Am = (J A - J AxA)At圖7-4擴(kuò)散流通過微小體Am _ J - J =xx I AxAxAAtAx積的情況當(dāng)Ax、At時，有告=-J將式（7-1）代入上式得竺工(D竺)dt dx dx(7-

6、11)(7-12(7-12)(7-13)如果擴(kuò)散系數(shù)D與濃度無關(guān)，則式（7-11）可寫成dC d 2 Cdtdx 2般稱式（7-11）、式（7-12）為菲克第二定律。1.2.2三維擴(kuò)散（1）直角坐標(biāo)系中竺工(D竺)+ 1 (D竺)+ 1 (D竺)dt dx dx dy dy dz dz當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)與濃度無關(guān)，即與空間位置無關(guān)時，dC = D( d 2 C + d 2 C + d 2 C) dtdx 2dy 2dz 2(7-14)或簡記為：竺=訪2C dt(7-15)式中： v2 =F + f 為 Laplace 算符。柱坐標(biāo)系中通過坐標(biāo)變換 x = cos，體積元各邊為dr，湖，dz，則有:y

7、= r sin 0 TOC o 1-5 h z dC1f aded n ded8C、=(rD )() +(rD )dtr drdrd0 r d0dzdz7-16)對柱對稱擴(kuò)散，且D與濃度無關(guān)時有dCD ddC=(r)dtr drdr(7-17)球坐標(biāo)系中x = r sin 0 cos 甲通過坐標(biāo)變換y = r sin0 sin平，體積元各邊為dr，rd0，z = rcos0r sin0 d中，則有: TOC o 1-5 h z dC1ddC 1 ddC 0d 2 CdC =上任(r2D 竺)+- 與(D sin0 生)+ .dtr 2drdrsin 0 d0d0sin 2 0d甲 2（7-18

8、）對球?qū)ΨQ擴(kuò)散，且D與濃度無關(guān)時有：dC D a6C、=(r 2)6t r 2 drdr(7-19)從形式上看，菲克第二定律表 示，在擴(kuò)散過程中某點濃度隨時間 的變化率與濃度分布曲線在該點的 二階導(dǎo)數(shù)成正比。如圖7-5從形式上看，菲克第二定律表 示，在擴(kuò)散過程中某點濃度隨時間 的變化率與濃度分布曲線在該點的 二階導(dǎo)數(shù)成正比。如圖7-5所示， 若曲線在該點的二階導(dǎo)數(shù)竺大于 dx 20，即曲線為凹形，則該點的濃度會圖7-5菲克第一、第二定律的關(guān)系隨時間的增加而增加，即竺0;若曲線在該點的二階導(dǎo)數(shù)竺小于 dtdx 20，即曲線為凸形，則該點的濃度會隨時間的增加而降低，即竺0。 dt而菲克第一定律表示

9、擴(kuò)散方向與濃度降低的方向相一致。從上述意 義講菲克第一、第二定律本質(zhì)上是一個定律，均表明擴(kuò)散的結(jié)果總 是使不均勻體系均勻化，由非平衡逐漸達(dá)到平衡。2菲克定律的應(yīng)用涉及擴(kuò)散的實際問題有兩類：其一是求解通過某一曲面(如平面、柱面、球面等)的通量J, 以解決單位時間通過該面的物質(zhì)流量如=AJ ；dt其二是求解濃度分布C(x,t)，以解決材料的組分及顯微結(jié)構(gòu)控 制，為此需要分別求解菲克第一定律及菲克第二定律。2.1穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散及其應(yīng)用2.1.1 一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散考慮氫通過金屬膜的擴(kuò)散。如圖7-6所示，金屬膜的厚度為8,取 x軸垂直于膜面?？紤]金屬膜兩邊供氣與抽氣同時進(jìn)行，一面保持高而恒定的壓力p2,另一面保持

10、低而恒定的壓力P/擴(kuò)散一定時間以 后，金屬膜中建立起穩(wěn)定的濃度分布。圖7-6氫對金屬膜的一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散圖7-6氫對金屬膜的一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散達(dá)到穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散時的邊界條件：c | x=0=c2C| x=8 WCC2可由熱解反應(yīng) H2tH+H的平衡常數(shù)K確定，根據(jù)K的定 義K=產(chǎn)物活度積反應(yīng)物活度積設(shè)氫原子的濃度為C,則艮 口C = JKp = S.Jp（7-20）式（7-20）中S為西佛特（Sievert）定律常數(shù)，其物理意義是，當(dāng)空 間壓力p=1MPa時金屬表面的溶解濃度。式（7-20）表明，金屬表面 氣體的溶解濃度與空間壓力的平方根成正比。因此，邊界條件為：C C 點=S死（7-21）根據(jù)穩(wěn)定擴(kuò)散條件，

11、有dedt= dedt= （D 竺）=0dxdx所以積分得de _=const = a dxC = ax + b（7-22）式（7-22）表明金屬膜中氫原子的濃度為直線分布，其中積分常數(shù)a、b由邊界條件式（7-21）確定C - C SJa = = 5 偵P1-、p2）Lb = C 2 = S 互將常數(shù)a、b值代入式（7-22）得C （x） = S（v P1- 互）x + S.p 2（7-23）單位時間透過面積為A的金屬膜的氫氣量虹=JA = -DA竺=-DAa = -DAS（、- ,p ）（7-24）dtdx5 i 2由式（7-24）可知，在本例所示一維擴(kuò)散的情況下，只要保持p1、 p2恒定，

12、膜中任意點的濃度就會保持不變，而且通過任何截面的流 量四、通量J均為相等的常數(shù)。dt引入金屬的透氣率P表示單位厚度金屬在單位壓差（以MPa為單位）下、單位面積透過的氣體流量P = DS（7-25）式中：D為擴(kuò)散系數(shù)，S為氣體在金屬中的溶解度，則有J = P （漢-互）（7-26）在實際應(yīng)用中，為了減少氫氣的滲漏現(xiàn)象，多采用球形容器、選 用氫的擴(kuò)散系數(shù)及溶解度較小的金屬、以及盡量增加容器壁厚等。2.1.2柱對稱穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散史密斯（Smith）利用柱對稱穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散測定了碳在y鐵中的擴(kuò)散系 數(shù)。將長度為L、半徑為尸的薄壁鐵管在1000C退火，管內(nèi)及管外 分別通以壓力保持恒定的滲碳及脫碳?xì)夥?，?dāng)時間足夠長，

13、管壁內(nèi)10 / 25L4E 9 8 6 4 2 LLO.O.0-0,氽ttL4E 9 8 6 4 2 LLO.O.0-0,氽tt悒SU圖7-7在1000C碳通過溥壁鐵從圖7-7還可以引出一個重要管的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散中，碳的濃度各點的碳濃度不再隨時間而變，即竺=0時，單位時間內(nèi)通過管壁的dt碳量m/t為常數(shù)，其中m是t時間內(nèi)流入或流出管壁的碳量，按照通量的定義mJ =2 兀 rLt（7-27） 由菲克第一定律式（7-1）有mdC=D 2r兀 Ltdr或m = D（2兀 Lt ）-Cd In r（7-28）式中m、L、t以及碳沿管壁的徑向分布都可以測量，D可以由C對lnr圖的斜率確定（見圖7-7）。分布的

14、概念：由于m/t為常數(shù)，如果D分布不隨濃度而變，則dC也應(yīng)是常d ln r數(shù)，C對lnr作圖應(yīng)當(dāng)是一直線。但實驗指出，在濃度高的區(qū)域，q d ln r小，D大；而濃度低的區(qū)域，E大，D小。由圖7-7算出，在1000C， d ln r碳在y鐵中的擴(kuò)散系數(shù)為：當(dāng)碳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.15 %時，D=2.5x10-7cm2/s；當(dāng)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 1.4%時，D=7.7x10-7cm2/s?？梢?D是濃度的函數(shù)，只有當(dāng)濃度很小時、或濃度差很小時，D才近似為 常數(shù)。2.1.3球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散如圖7-8所示，有內(nèi)徑為r外徑為r2的球殼，若分別維持內(nèi)表面、外表面的濃度C面、外表面的濃度CC2保持不變則可實現(xiàn)球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)

15、擴(kuò)散。邊界條件E 1邊界條件E 1 r=廣 C 2由穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，并利用式（7-19D 8 , 8C、D 8 , 8C、八(r2 一)= 08tr 2 8r8r徂8C得r 2 =const = a8rdC圖7-8球殼中可實現(xiàn)球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散解得（解得（7-29）C=-+b r代入邊界條件，確定待定常數(shù)a, b_ ri r2(C2 C1)r 一 r b = C 2C11 r r求得濃度分布rr (C - C ) C r - CrC (r) = 2+ I1r(r r )r r（7-30）在實際中，往往需要求出單位時間內(nèi)通過球殼的擴(kuò)散量業(yè)，并利用 dtr2竺=a的關(guān)系dr TOC o 1-5 h z dm

16、dC /=JA = 一 D -4兀 r2 = 4 兀Da dtdr/ C C=4 兀Dr r 21(7-31)而不同球面上的擴(kuò)散通量21(7-31)而不同球面上的擴(kuò)散通量j = dm = 1 dm = jrrC- CAdt 4兀 r2 dtr 2 r - r（7-32）圖7-9過飽和固溶體的析出可見，對球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散來說， 在不同的球面上，剪相同，但j并不相同。dt上述球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的分析方法對處理固態(tài)相變過程中球形晶核的生長速率是很重要的。匚f了_封嚴(yán)如圖7-9中的二元相圖所示，局以成分為C0的單相a固溶體從高溫學(xué)爹爹在V-T冷卻，進(jìn)入雙相區(qū)并在保溫。此時會在過飽和固溶體a 中析出成菲克定律

17、應(yīng)用分為a的P相，與之平衡的a相成分為Cap。在晶核生長初期，設(shè)相晶核半徑為r，母相在半徑為r的球體中成分由C逐漸降為C120a隨著時間由七,匕,七變化，濃度分布曲線逐漸變化，相變過程中各相成 分分布如圖7-10所示。般說來，這種相變速度較慢，而且涉及的范圍較廣，因此可將晶核生長過程當(dāng)作準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散處理，即在晶核生長初期任何時刻， 濃度分布曲線保持不變。由球?qū)ΨQ穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的分析結(jié)果式（7-31）， 并利用r1r2，即新相晶核很小、擴(kuò)散范圍很大的條件。應(yīng)特別注意 分析的對象是內(nèi)徑為、外徑為r2的球殼，由擴(kuò)散通過球殼的流量 dm，其負(fù)值即為新相晶核的生長速率。dt也=-D 4兀rr 二D 4兀r 2

18、MS dt1 2 r - r1 r（7-33）=-D 4兀 r 2 C （7-33）1r1應(yīng)注意式（7-33）與菲克第一定律的區(qū)別，因為式中的C0 -命應(yīng)注意式（7-33）是濃度梯度。2.2非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程的解，只能根據(jù)所討論的初始條件和邊界條件而定，過程的條件不同方程的解也不同，下面分幾種情況加以討論。7.2.2.1 一維無窮長物體的擴(kuò)散菲克定律應(yīng)用無窮長的意義是相對于擴(kuò)散區(qū)長度而言，若一維擴(kuò)散物體的長度 大于頃，則可按一維無窮長處理。由于固體的擴(kuò)散系數(shù) D在 10-210-12cm2.s-1很大的范圍內(nèi)變化，因此這里所說的無窮并不等同于 表觀無窮長。設(shè)A，B是兩根成分均勻的等截面金

19、屬棒，長度符合上述無窮長 的要求。A的成分是C2, B的成分是C】。將兩根金屬棒加壓焊上， 形成擴(kuò)散偶。取焊接面為坐標(biāo)原點，擴(kuò)散方向沿X方向，擴(kuò)散偶成 分隨時間的變化如圖7-11所示。求解的擴(kuò)散方程為式(7-12)dC 8 2 C 8t 8x 2初始條件 t=0 時，C=C1，(x0)C=C2，(x V 0)(7-35)邊界條件 t N 時，C=C1，(x= 8 )C=C2，(x= 8 )(7-36)求解擴(kuò)散方程的目的在于求出任 何時刻的濃度分布C （x,t）可采用分 離變量法，拉氏變換法，但在式 （7-12），式（7-35），式（7-36）的特 定條件下，采用波耳茲曼變換更為方圖7-11擴(kuò)散

20、偶成分隨時間便，即令的變化X E（7-37） 代入式（7-12）左邊dCdC凱dC xdC人=, = , = , dt8人dt8人2t3/2d人2t8 2 8 2 CD=D8x 22 +竺在=d竺.1故式（7-12）變成了一個常微 8K 8x 2dK t分方程（7-38）dC令dC令*- = U血代入式（7-38）得（7-39（7-39）（7-40）人 n dU一一u = D-2 肽解得u=亦碩-務(wù)） 式（7-40）代入到咎U中，有將上式積分，(7-41)dC d=a、exp(-C 將上式積分，(7-41)dC d=a、exp(-C = a j * exp( -)dk + bo4 D再令p=X

21、 /（2偵萬），則式（7-41）可改寫為C = a - 2：D jp exp（一。2）d。+ b = ajp exp（一。2）d。+ b（7-42）oo注意式（7-42）是用定積分，即圖7-12中斜線所示的面積來表 示的，被積函數(shù)為高斯函數(shù) exp（一。2），積分上限為。根據(jù)高斯誤差積分j%xp（-。2）d。= -2（7-43）圖7-12用定積分表示濃度因為p=X /（2,切）=x /（2板瓦），利用邊界條件式（7-36）在tNO時，分別有C = C = a j+8 e 邛 2 dp + b C = C2 = a J- e 邛2 dp + b故 C = a + b， C =一。 + b（7-4

22、4）求出積分常數(shù)a, （7-44）a三，b =工2 麝2將式（7-44）代入式（7-428-32）有（7-45）C =堂工 -.史 j6 exp（-P 2（7-45）22 部0式（7-45）中的積分函數(shù)稱為高斯誤差函數(shù)，用erf （p ）表示（見圖7-12），定義為erf (erf (P )= pexp(-P2)dP 疽冗0（7-46）p值對應(yīng)的erf （P）值列于表7-1。這樣式（7-45）可改寫成C = Ci ； C2 - C2 一 Ci erf （p ）（ 7-47）式（7-47）即為擴(kuò)散偶在擴(kuò)散過程中，溶質(zhì)濃度隨p，即隨erf （P）的 變化關(guān)系式。（1）式（7-47）的用法給定擴(kuò)散系

23、統(tǒng)，已知擴(kuò)散時間t，可求出濃度分布曲線C（x,t）。具體的方法是，查表求出擴(kuò)散系數(shù)D，由D、t以及確定的，求出0=x /(2D)，查表 7-1 求出 erf (P)，代入式(7-47 )求出 C(x,t)。已知某一時刻C(x,t)的曲線，可求出不同濃度下的擴(kuò)散系數(shù)。 具體的方法是，由C(x,t)計算出erf (P )，查表7-1求出P，t、X已知， 利用P f /(2.、而)可求出擴(kuò)散系數(shù)D。任一時刻C(x,t)曲線的特點對于x=0的平面，即原始接觸面，有P=0，即erf(P)，因此該 平面的濃度c =。1 ； C2恒定不變；在X = 3，即邊界處濃度，有 C = CC =C2，即邊界處濃度也

24、恒定不變。曲線斜率竺=竺.亞= _ = e* . ._!(7-48)辦鄧辦 22、：Dt 郁由式(7-47)，式(7-48)可以看出，濃度曲線關(guān)于中心(x=0,C = C藐)是對稱的。隨著時間增加，曲線斜率變小，當(dāng)t T8時， 2各點濃度都達(dá)到C1 + C2，實現(xiàn)了均勻化。2拋物線擴(kuò)散規(guī)律由圖7-12及式(7-47)可知，濃度C(x,t)與p有 對應(yīng)的關(guān)系， 由于p= x/(2板瓦),因此C(x,t)與x/5之間也存在一一對應(yīng)的關(guān)系，設(shè) K(C)是決定于濃度C的常數(shù)，必有(7-49)x2=K（C）t(7-49)式（7-49 ）稱為拋物線擴(kuò)散規(guī)律，其應(yīng)用范圍為不發(fā)生相變的擴(kuò)散。散時間之比為1：

25、4：圖散時間之比為1： 4：圖7-13拋物線擴(kuò)散規(guī)律如圖7-13所示，若等濃度q的擴(kuò)散等距離之比為1： 2： 3： 4,則所用的擴(kuò)9： 16。（4）式（7-47）的恒等變形式5可以寫成:耘切:匿mtC = C2 + C1 -C2 + C1 -C rf(P) = C 1 -：rf(P)+ Cerf(p)221J0 J1 7圖7-14 一維無窮長物體擴(kuò)散的兩種(7-50)特殊情況式中:（a）式中:（a）鍍層的擴(kuò)散、異種金屬的擴(kuò)散當(dāng)g=0時（鍍層的焊擴(kuò)散，異種金屬的擴(kuò)散焊），（b）擴(kuò)散，異種金屬的擴(kuò)散焊），（b）真空除氣、表面脫碳如圖7-14（a），有C = C01 - erf （p ）（7-51）

26、當(dāng)C0=0時（除氣初期，真空除氣以及板材的表面脫碳等）， 如圖7-14（b），有菲克定律應(yīng)用C = Cerf (p )(7-52)近似估算由查表 7-1 可知，當(dāng) p =0.5 時，erf (p)=0.52040.5,亦即當(dāng) x2=Dt 時，根據(jù)式(7-51)有60.5CO。由于擴(kuò)散，如果某處的濃度達(dá)到初 始濃度的一半，一般稱該處發(fā)生了顯著擴(kuò)散。關(guān)于顯著擴(kuò)散，利用 X2=Dt，給出x可求t，給出t可求X。2.2.2半無窮長物體的擴(kuò)散半無窮長物體擴(kuò)散的特點是，表面濃度保持恒定，而物體的長 度大于頃。對于金屬表面的滲碳、滲氮處理來說，金屬外表面的 氣體濃度就是該溫度下相應(yīng)氣體在金屬中的飽和溶解度C

27、。，它是恒 定不變的；而對于真空除氣來說，表面濃度為0，也是恒定不變的。鋼鐵滲碳是半無窮長物體擴(kuò)散的典型實例。例如將工業(yè)純鐵在 927 C進(jìn)行滲碳處理，假定在滲碳爐內(nèi)工件表面很快就達(dá)到碳的飽和 濃度(1.3%C)，而后保持不變，同時碳原子不斷地向里擴(kuò)散。這樣， 滲碳層的厚度、滲碳層中的碳濃度和滲碳時間的關(guān)系，便可由式 (7-51)求得。初始條件，t=0，xo，C=0；邊界條件，tN0，x=8，C=0； x=0，C0=1.3927 C時的碳在鐵中擴(kuò)散系數(shù)D=1.5 X 10-7cm2s-1，所以C = 1.31 - erf,x 1.31 - erf1.29 x 103 .=I 2J1.5 x 1

28、0 -7 t )1&)滲碳10（3.6X 104s）后滲碳層中的碳分布C = 1.31 - erf （6.8 尤）在實際生產(chǎn)中，滲碳處理常用于低碳鋼，如含碳量為0.25%的鋼。這時為了計算的方便，可將碳的濃度坐標(biāo)移到0.25為原點，這樣就 可以采用與工業(yè)純鐵同樣的計算方法。2.2.3瞬時平面源在單位面積的純金屬表面涂上擴(kuò)散元素組成平面源，然后對接成擴(kuò)散偶進(jìn)行擴(kuò)散。若擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，其擴(kuò)散方程為式（7-12）：注意到涂層的厚度為0，因此方程式（7-12）的初始、邊界條件為（7-53）當(dāng) t 0時，C| = 8，c| （7-53）當(dāng)t 0時，C 0X=3由微分知識可知，滿足方程式（7-12）及上述初始、邊界條件的解具有下述形式C-M1C-M11/2exp 4Dt)（7-54）式中a是待定常數(shù)?？梢岳脭U(kuò)散物質(zhì)的總量M來求積分常數(shù)s(7-55)(7-55)(7-56)(7-57)M =M Cdx3如果濃度分布由式（7-54 ）表示，并令X 2=B 24 Dt則有dx = 2（