西工大-控制88367.2相平面法

1、自動(dòng)控制原理西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自 動(dòng) 控 制 原 理 教 學(xué) 組自動(dòng)控制原理（第 36 講）7非線性控制系統(tǒng)分析7.1非線性控制系統(tǒng)概述7.2相平面法7.3描述函數(shù)法7.4改善非線性系統(tǒng)性能的措施自動(dòng)控制原理（第 36 講）7非線性控制系統(tǒng)分析7.2相平面法課程回顧（1）7.1概述非線性現(xiàn)象的普遍性典型非線性特性非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特殊性非線性控制系統(tǒng)的分析方法7.2相平面法相平面的基本概念相軌跡的性質(zhì)相軌跡的繪制由相軌跡求時(shí)間解二階系統(tǒng)的相軌跡（相平面、相軌跡和相平面圖）（斜率，奇點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方向，垂直過橫軸）（解析法，圖解法）（增量法）（極點(diǎn)分布，奇點(diǎn)性質(zhì)，相軌跡）7.2.6非線性系統(tǒng)相平面分

2、析（非本質(zhì)/本質(zhì)非線性，控制系統(tǒng)）課程回顧（2）(3) 二階系統(tǒng)的相軌跡極點(diǎn)分布奇點(diǎn)相跡圖極點(diǎn)分布奇點(diǎn)相跡圖中心點(diǎn)鞍點(diǎn)穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)課程回顧（3）解 xe 2 1 xe1 02s 0.5s 1 0 0.5s 1 0s2s = 0.25 j0.97s = 0.78, - 1.287.2.6非線性系統(tǒng)的相平面分析(1)非本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析例4系統(tǒng)方程: x (3x 0.5)x x x2 0 ,確定xe及鄰近相軌跡的性質(zhì)。例5系統(tǒng)方程： x sinx 0,求xe 及其附近相軌跡的性質(zhì)。解x x 0 x x 0s 1s j1xe2k (2k 1)7.2相平面法（1

3、0）例1系統(tǒng)方程為 x sinx 0，繪制相軌跡圖；分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。dtdxdtdxx d x d x dx x d x sin x解dxd x 令x 1 sin x值 1 1001226.6 214590 10 1 124角 45 26.6 141241414 47.2相平面法（11）值角 1 100 2 112126.64590024 1 11414 4 45 26.6 14124x sin x 0系統(tǒng)方程等傾斜線x 1 sin x7.2相平面法（12）解 s 1 0 s 1 0 1.62 0.621,2s特征 I方程 IIs1,2 0.5 j0.866 穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)x 0Ix 0

4、II x x x 0 x x x 0e 2s2s2x 0 Ixe1 0奇點(diǎn) II極點(diǎn) 開關(guān)線(2)本質(zhì)非線性系統(tǒng)的相平面分析例2系統(tǒng)方程為x x x 0 ，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。7.2相平面法（13）例3系統(tǒng)方程為x x signx 0，分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)。解1,2 j1s特征 I方程 IIx x 1 0 x 0Ix 0IIx x 1 0e 2s2s2x 1 Ixe1 1奇點(diǎn) IIs1,2 j1極點(diǎn)開關(guān)線 1 0 1 0中心點(diǎn)中心點(diǎn)劃分不同線性區(qū)域的邊界線平衡線（奇線）不同區(qū)域的相軌跡相互影響而產(chǎn)生7.2相平面法（14）C(s) 1U (s)s2e 2開關(guān)線方程 e 2c(t ) u(t )解線

5、性部分非線性部分 u c ec ec 4 ee 20e 2( I )e 2e 2(II )e 2(III)綜合點(diǎn)e r c 4 ce c u e 20e 2( I )2 ee 2(II ) 2 e(III)r(t ) 4 1(t )例4系統(tǒng)如右，已知c(0) 0,確定開關(guān)線方程,奇點(diǎn)位置和類型,繪制相軌跡 (e, e)圖。(3)非線性控制系統(tǒng)的相平面分析7.2相平面法（15）中心點(diǎn)中心點(diǎn)e1區(qū)域運(yùn)動(dòng)方程奇點(diǎn)性質(zhì) 1 0e 2s2奇點(diǎn)特征方程極點(diǎn)s2 0s 0 s j s js 1 02Ie 0IIe e - 2 02IIIe e 2 0e3 -2奇點(diǎn)類型相軌跡以 e2 2 為中心的圓 2 為中

6、心的圓以e3( I )e 0e C水平線c(t ) 響應(yīng)e r cc r e 4 e7.2相平面法（16）T開關(guān)線方程 e 1 e線性部分c(t ) u(t )de dtde1e Te 0( I ) 1e Te 0(II)非線性部分u 例5系統(tǒng)如右，r(t ) 1(t )，T 0,0.5，分別討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。整理比較點(diǎn)e r c 1 c 1e Te 0( I )1e Te 0(II)e c u 在 I 區(qū)：e de de e de 1 e2 2e CI拋物線方程同理在 II 區(qū)：e2 2e CII 0ee 0當(dāng)T 0.5 時(shí)，開關(guān)線為： 2e解7.2相平面法（17）開關(guān)線相軌跡圖( II )e

7、Te 0系統(tǒng)方程T 0.5e 2e e 0T 0( I )e Te 0e 1e2 2e CIe2 2e CIIe 1e Te 0(II)1e Te 0(I)e 17.2相平面法（18）非線性部分1e h,e 0 1e he h,e 0u 比較點(diǎn)e r c例6系統(tǒng)如右，在( c c ) 平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。整理s2U(s) sC(s) 1線性部分解c c ue h1c c u 1c hc h,c 0c hc h,c 07.2相平面法（19）I1 (1 )II-1 (1 ) 3 3 2 1 2 1 30123 211 20 1 2 2 2 3 2 1 1 201 22dc( I )c c

8、 dc c 1 c11 等傾斜線c dc(II) c c dc c 1 c 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3 0 1 3 2 2 3 1 0 1 3 1 2 等傾斜線c 7.2相平面法（20）各類極限環(huán)極限環(huán) 對(duì)應(yīng)二階非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)7.2相平面法（21）非線性部分e h(III)u 比較點(diǎn)例7系統(tǒng)如右，在 ( c c ) 平面上分析系統(tǒng)的自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。整理c c u s2U(s) sC(s) 1解線性部分c c u1e h( I )ee h( II ) 1e r c c1c hcc h1c h( I )( II )(III)7.2相平面法（22）課程小結(jié)7.2相平面法（適合于二階非線性系統(tǒng)）相平面的基本概念相軌跡的性質(zhì)相軌跡的繪制由相軌跡求時(shí)間解二階系統(tǒng)的相軌跡（相平面、相軌跡和相平面圖）（斜率，