§3方向?qū)?shù)和梯度

1、PtPt0+PPtO+P3方向?qū)?shù)和梯度附錄：數(shù)量場(chǎng)，向量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)：設(shè)D是Rn中的一個(gè)區(qū)域，f是定義在D內(nèi)的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，即f:DTR。則稱在D內(nèi)有一個(gè)數(shù)量場(chǎng)f，或稱f是D內(nèi)的數(shù)量場(chǎng)。例如：教室中每一點(diǎn)的溫度、位置等；點(diǎn)電荷形成的電位切；磁鐵周?chē)帕Φ拇笮?等值面：設(shè)f是D內(nèi)的一個(gè)數(shù)量場(chǎng)，稱s=xeDf(x)=C(C是常數(shù))是數(shù)量場(chǎng)f的等值面，即在S內(nèi)每一點(diǎn)x處，f所對(duì)應(yīng)的數(shù)值是相同的，都等于C.特別當(dāng)D是R2中的區(qū)域時(shí)，稱S等值線.例如：天氣預(yù)報(bào)中的等溫面，等壓面；地勢(shì)圖上的等高線(海拔相同).向量場(chǎng)一、方向?qū)?shù)1.方向?qū)?shù)的定義三元函數(shù)f在點(diǎn)P(x,y,z)的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，分別是函數(shù)f在點(diǎn)P

2、(x,y,z)沿著平行于坐標(biāo)軸00000000的直線方向(雙向)上的變化率函數(shù)f在點(diǎn)p0沿射線1(單向)方向的變化率，即f在點(diǎn)p0沿方向1的方向?qū)?shù).定義1(P124)設(shè)三元函數(shù)f在點(diǎn)P(x,y,z)的某鄰域U(P)uR3內(nèi)有定義，1為從點(diǎn)P出000000發(fā)的射線P(x,y,z)為1上且含于U(P)內(nèi)的任一點(diǎn)，以P表示P與P兩點(diǎn)間的距離.若極限00如果limf如果limf（P0+”）-f（P0）tT0+t存在，則稱此極限為函數(shù)f在點(diǎn)P0沿方向1的方向?qū)?shù)，記為普|殆或fi(P0)、fi(x0,y0,z0).定義1設(shè)D是R3中的一個(gè)區(qū)域，f是D內(nèi)的一個(gè)數(shù)量場(chǎng)，PQeD，1是R3中的一個(gè)單位向量，

3、即111=1,f（Pf（Po）=lim竺Q/tt0+t的變化率。QfQfQf易見(jiàn)，亍、和是三元函數(shù)f在點(diǎn)P分別沿X軸正向、Y軸正向和Z軸正向的方向?qū)?shù).QxQyQz0對(duì)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y),可仿此定義方向?qū)?shù).000根據(jù)定義計(jì)算方向?qū)?shù)例1(P125,有補(bǔ)充)f(x,y,z)=x+y2+z3.求f在點(diǎn)P(1,1,1)處沿1方向的方向?qū)?shù)，其中(1)1為方向(2,-2,1)；(2)1為從點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(2,-2,1)的方向.X1y1z1令解(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，以1為方向的射線為=令=t(0).即0221x=2t+1,y=2t+1,z=t+1,(t0),f(P)=f(1,1,

4、1)=3,f(P)二f(2t+1,2t+1,t+1)二(2t+1)+(2t+1)2+(t+1)3二13+7t2+1+3P=*(x1)2+(y1)2+(z1)2=、：(2t)2+(2t)2+12=3t.因此,=lim因此,=limpTO+f(p)一f(P。)t3+7t2+t=lim3tttO+b(2)從點(diǎn)P(1,1,1)到點(diǎn)(2,2,1)的方向1的方向數(shù)為(1,3,0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，以1方向的00射線為x=t+1,y=3t+1,z=1,(t0).M)二m+1,-3t+u)二9t2-5t+3,代)二m1)二3；P=f(x1)2+(y1)2+(z1)2=t2+(3t)2=x.10t.因此,Pt0+f二

5、limf(P)一f(Po)二lim3二況P0ptO+pt因此,Pt0+2.方向?qū)?shù)存在的一個(gè)充分條件及它的計(jì)算定理17.6若函數(shù)f在點(diǎn)P(x,y,z)可微，則f在點(diǎn)P處沿任一方向1的方向?qū)?shù)都存在，且00000f(P)二f(P)COS+f(P)cos0+f(P)cosY,(f(P)=cosa+cos卩+4cosy)10 x0y0z0dl0QxdyQz其中cosa、cos卩和cosY為1的方向余弦.證明P125對(duì)二元函數(shù)f(x,y),f(P)二f(P)cosa+f(P)cos卩，其中a和0是1的方向角.10 x0y0設(shè)D是R2中的一個(gè)區(qū)域，f(x,y)是D內(nèi)的一個(gè)二元可微函數(shù)，那么在D內(nèi)每一點(diǎn)(

6、x,y)，f沿單位向量1的方向?qū)?shù)是f=QLcosa+Qfsina，其中a是x軸的正向(即x軸上單位向量i)和向量1之間的夾角。Q1QxQy例1(P125，用定理176計(jì)算)TOC o 1-5 h z2221解(1)1的方向余弦為cosa=,cos0=,cosY=.&22+(2)2+12333f(P)=1,f(P)=2y|=2,f(P)=3z2|=3.x0y0y=1z0z=1因此，卑=f(P)cosa+f(P)cos卩+f(P)cosy=；+2-(-2)+3-=alx0y0z03333(2)l的方向余弦為2-113coa=,cosp=一,cosy=0.;(2-1)2+(-2-1)2+(1-1)

7、21010因此,a因此,af=1丄-2丄aico10補(bǔ)例1設(shè)u=xy-y2z+zex，求u在點(diǎn)(1，0,2)沿方向(2,1,-1)的方向?qū)?shù)。注1:f在點(diǎn)P可微是方向?qū)?shù)存在的充分非必要條件0注2：f在點(diǎn)P連續(xù)既不是方向?qū)?shù)存在的必要條件，也不是充分條件.0P126.例2說(shuō)明注1和注2的前半部分，P117，3題說(shuō)明注2的后半部分.二、梯度在一個(gè)數(shù)量場(chǎng)中，在給定點(diǎn)沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不相同的，現(xiàn)在我們所關(guān)心的是：沿哪一個(gè)方向其方向?qū)?shù)最大？其最大值是多少？為此引進(jìn)一個(gè)很重要的概念梯度.1梯度的定義定義2(P127)設(shè)三元函數(shù)f在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則稱向量辿S

8、i*辿gj+沁上!k是f在點(diǎn)(x,y,z)的梯度，記為gradf(x,y,z)，即axayazgradf(x,y,z)=i+j+k=(f(P),f)，f(P)axayazx0y0z0TOC o 1-5 h zIgradf1=(f(P)A+f(P)+(f(P)A*x0y0z0注3：由fi(P0)=fx(P0)cosa+fy(P0)cosp+f(P)泊=(f(P),f(P),f(P)(cosa,cosp,cosy)x0y0z0可見(jiàn)對(duì)可微函數(shù)/,方向?qū)?shù)f(P)為梯度向量(f(P),f(p),f(P)在方向1上的投影.l0 x0y0z0注4:設(shè)數(shù)量場(chǎng)f(x,y,z)定義于某個(gè)三維區(qū)域D內(nèi)，則梯度場(chǎng)是

9、由數(shù)量場(chǎng)f產(chǎn)生的向量場(chǎng).2梯度的幾何意義對(duì)可微函數(shù),梯度方向是函數(shù)的值增長(zhǎng)最快的方向.這是因?yàn)閒i(P0)=gradf1=1gradf(P0)Icos0其中0是單位向量1與g吋(P0)夾角.可見(jiàn)。=0時(shí)fi(P0)取最大值,在1的反方向取最小值.gradf的意義總結(jié)：gradf的方向表示數(shù)量場(chǎng)f在點(diǎn)P的所有方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的那一個(gè)方向,gradf的模（長(zhǎng)）就是這個(gè)最大的方向?qū)?shù).例3P126補(bǔ)例2設(shè)在空間原點(diǎn)處有一個(gè)點(diǎn)電荷q，在真空中產(chǎn)生一個(gè)靜電場(chǎng)，在空間任一點(diǎn)（x,y,z）處的電位是:V=q，r=八x2+y2+z2r則(l)V是r3)內(nèi)的一個(gè)數(shù)量場(chǎng)；(2)gradV=-丄gradr=亠牡=-f+yj+zk)r2r2rr33、gradf的運(yùn)算性質(zhì)(P127)設(shè)u,v可微，則(1)grad(au+Pv)=agradu+Pgradv；grad(u+c)=gradu.(c是常數(shù))grad(uv)=ugradv+vgradu；grad(cf)=cgradf,vugradv-vgradu小grad=.u豐0uu2(4)gradf(u)=f(u)gradu.(0(u)在u=f(x,y,z)可微)(0(u)在u=f(x,y,z)可微)rvuv-uvrviIu丿xxu2Iu丿grad(申(