高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 14 平面的基本性質(zhì)

1、14 平面的基本性質(zhì)教材分析這篇案例是在初中平面幾何知識的基礎(chǔ)上進一步研究平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)，這節(jié)課既是立體幾何的開頭課，又是基礎(chǔ)課，學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容理解和掌握得如何，是能否學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵之一這節(jié)課的教學(xué)重點是平面的基本性質(zhì)，難點是平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用及建立空間概念、正確應(yīng)用符號語言教學(xué)目標(biāo)1. 在引引導(dǎo)學(xué)生生觀察思思考生活活中的實實例、實實物模型型等的基基礎(chǔ)上，總總結(jié)和歸歸納出平平面的基基本性質(zhì)質(zhì)，初步步學(xué)會用用數(shù)學(xué)的的眼光去去認(rèn)識和和感受現(xiàn)現(xiàn)實的三三維空間間2. 會用用圖形語語言、文文字語言言、符號號語言準(zhǔn)準(zhǔn)確描述述三個公公理，能能用公理理及推論論解

2、決有有關(guān)問題題，提高高學(xué)生的的邏輯推推理能力力3. 通過過畫圖和和識圖，逐逐步培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生的的空間想想象能力力，使學(xué)學(xué)生在已已有的平平面圖形形知識的的基礎(chǔ)上上，建立立空間觀觀念任務(wù)分析這節(jié)課是立立體幾何何學(xué)習(xí)的的基礎(chǔ)，但但學(xué)生空空間立體體感還不不強為為此，教教學(xué)時要要充分聯(lián)聯(lián)系生活活中的實實例，如如自行車車有一個個腳撐等等，通過過實例，使使學(xué)生盡盡快形成成對空間間的正確確認(rèn)識，建建立初步步的空間間觀念；在聯(lián)系系實際提提出問題題和引入入概念時時，要合合理運用用教具，如如講解公公理1時時，可讓讓學(xué)生利利用手中中的直尺尺去測桌桌面是不不是平的的；講解解公理22時可讓讓學(xué)生觀觀察教室室的墻面面的關(guān)系系等

3、通通過這些些方式加加強由模模型到圖圖形，再再由圖形形返回模模型的基基本訓(xùn)練練，逐步步培養(yǎng)學(xué)學(xué)生由圖圖形想象象出空間間位置關(guān)關(guān)系的能能力當(dāng)當(dāng)用文字字和符號號描述對對象時，必必須緊密密聯(lián)系圖圖形，使使抽象與與直觀結(jié)結(jié)合起來來，即在在圖形的的基礎(chǔ)上上發(fā)展其其他數(shù)學(xué)學(xué)語言在闡述述定義、定定理、公公式等重重要內(nèi)容容時，宜宜先結(jié)合合圖形，再再用文字字和符號號進行描描述，綜綜合運用用幾種數(shù)數(shù)學(xué)語言言，使其其優(yōu)勢互互補，這這樣，就就有可能能收到較較好的效效果，給給學(xué)生留留下較為為深刻的的印象教學(xué)設(shè)計一、問題情情景1. 利用用你手中中的直尺尺，如何何判定你你課桌的的桌面是是不是平平的2. 你騎騎的自行行車有一一

4、個腳撐撐就可站站穩(wěn)，為為什么？3. 矩形形硬紙板板的一頂頂點放在在講臺面面上，硬硬紙板與與講臺面面不重合合，能否否說這兩兩個平面面只有一一個公共共點？（利用多媒媒體屏幕幕呈現(xiàn)問問題情景景，即在在屏幕上上出現(xiàn)桌桌子與直直尺、有有一個腳腳撐的自自行車、矩矩形硬紙紙與講臺臺面及相相應(yīng)的問問題與與現(xiàn)實生生活聯(lián)系系緊密的的實物通通過多媒媒體給出出，能夠夠活躍課課堂氣氛氛，激發(fā)發(fā)學(xué)生學(xué)學(xué)習(xí)興趣趣，從而而引導(dǎo)學(xué)學(xué)生積極極主動的的去探究究問題）二、建立模模型1. 探究究公理（1）問題題1的探探究教師提出問問題，引引發(fā)學(xué)生生思考：如何用直尺尺這個工工具來判判定你的的桌面是是不是平平的呢？（把直尺放放在物體體表面

5、的的各個方方向上，如如果直尺尺的邊緣緣與物體體的表面面不出現(xiàn)現(xiàn)縫隙，就就可判斷斷物體表表面是平平的）教師點拔：這是判判斷物體體表面是是不是平平的的一一個常用用方法如果物物體表面面是平的的，把直直尺邊緣緣無論如如何放在在平面上上，則邊邊緣與平平面都沒沒有縫隙隙，也就就是說，如如果一條條直線上上的兩點點在一個個平面內(nèi)內(nèi)，那么么這條直直線上的的所有點點都在這這個平面面內(nèi)由由此，可可以歸納納出公理理1公理1如如果一條條直線上上的兩點點在一個個平面內(nèi)內(nèi)，那么么這條直直線上的的所有點點都在這這個平面面內(nèi)（如如圖144-1）這時我們說說，直線線在平面面內(nèi)或平平面經(jīng)過過直線這一性性質(zhì)是平平面的主主要特征征彎曲

6、曲的面就就不是處處處具有有這種性性質(zhì)教師進一步步分析：為了書書寫的簡簡便，我我們把代代數(shù)中剛剛學(xué)習(xí)過過的有關(guān)關(guān)集合的的符號，引引入立體體幾何中中把點點作為基基本元素素，直線線、平面面即為“點點的集合合”，這這樣：點A在直線線a上，記記作Aa；點A在直線線a外，記記作Aaa；點A在平面面內(nèi)，記記作A；點A在平面面外，記記作A；直線a在平平面內(nèi)內(nèi)，記作作a；直線a在平平面外外，記作作a公理1用集集合符號號表示為為：Aa，Ba，A，B，則有有例：證明如如果一個個三角形形的兩邊邊在一個個平面內(nèi)內(nèi)，那么么第三邊邊也在這這個平面面內(nèi)注意：在分分析過程程中，一一定要強強調(diào)“要要證明直直線在平平面內(nèi)，則則應(yīng)該

7、證證明什么么？條件件中有沒沒有，沒沒有如何何去創(chuàng)造造”通通過這種種逆推思思路的分分析，培培養(yǎng)學(xué)生生良好的的思考習(xí)習(xí)慣練習(xí)：判斷斷下列命命題的真真假 如果一一條直線線不在平平面內(nèi)，則則這條直直線與平平面沒有有公共點點 過一條條直線的的平面有有無數(shù)多多個 與一個個平面沒沒有公共共點的直直線不存存在 如果線線段ABB在平面面內(nèi)，則則直線AAB也在在平面內(nèi)內(nèi)a（2）問題題2的探探究教師提出問問題，引引發(fā)學(xué)生生思考：自行車有一一個腳撐撐就可站站穩(wěn)，為為什么？（因為前輪輪著地點點、后輪輪著地點點、腳撐撐著地點點三點在在一個平平面上，而而且為了了站穩(wěn)，前前輪著地地點、后后輪著地地點、腳腳撐著地地點三點點不共

8、線線，因此此我們可可以推測測：過不不共線的的三點有有且只有有一個平平面）教師演示：用相交交于一點點的三根根小棍的的三個端端點作為為空間不不在一直直線上的的三個點點（如圖圖14-2），當(dāng)當(dāng)把作為為平面的的硬紙板板放在上上面時，這這張作為為平面的的硬紙板板不能再再“動”了了，因為為一動就就要離開開其中的的一個點點，硬紙紙板所在在平面就就不能確確定了，正正如同剛剛才的發(fā)發(fā)現(xiàn)：過過不共線線的三點點有且只只有一個個平面公理2經(jīng)經(jīng)過不在在同一條條直線上上的三點點，有且且只有一一個平面面（如如圖144-3）公理2也可可以簡單單地說成成：不共共線的三三點確定定一個平平面教師演示課課件：在在空間給給定不共共線的

9、三三點A，BB，C（如如圖144-4），作作直線AAB，BBC，CCA，再再在直線線BC，CCA，AAB上分分別取動動點P，QQ，R，作作直線AAP，BBQ，CCR，讓讓P，QQ，R分分別在直直線BCC，CAA，ABB上運動動，我們們可以看看到這些些直線“編編織”成成一個平平面教師出示問問題：試試舉出一一個應(yīng)用用公理22的實例例（例如，一一扇門用用兩個合合頁和一一把鎖就就可以固固定了）（3）問題題3的探探究教師將矩形形硬紙板板的一頂頂點放在在講臺面面上，讓讓學(xué)生觀觀察，并并同時提提出問題題：能否否說這兩兩個平面面只有一一個公共共點？（不能，因因為平面面是無限限延展的的，所以以這兩個個平面應(yīng)應(yīng)該

10、有一一條經(jīng)過過這公共共點的直直線）教師點拔：我們只只能用有有限的模模型或圖圖形來表表示無限限延展的的平面，所所以我們們有時要要看模型型或圖形形，但又又不能受受模型或或圖形的的限制來來影響我我們對平平面的無無限延展展的了解解這個個實例說說明了平平面具有有如下性性質(zhì)公理3如如果兩個個不重合合的兩個個平面有有一個公公共點，那那么它們們有且只只有一條條過這個個點的公公共直線線（如如圖144-5）公理3的數(shù)數(shù)學(xué)符號號語言：P，PPa，PPa教師進一步步概括：為了簡簡便，以以后說到到兩個平平面，如如不特別別說明，都都是指兩兩個不重重合的平平面如如果兩個個平面有有一條公公共直線線，則稱稱這兩個個平面相相交這

11、這條公共共直線叫叫作這兩兩個平面面的交線線由公公理可可見，兩兩個平面面如果有有一個公公共點，那那么就有有無窮多多個公共共點，所所有公共共點在公公共直線線上，即即它們的的交線上上；交線線上的每每一個點點都是兩兩平面的的公共點點練習(xí)：判斷斷下列命命題的真真假如果兩個個平面有有兩個公公共點AA，B，那那么它們們就有無無數(shù)個公公共點，并并且這些些公共點點都在直直線ABB上兩個平面面的公共共點的集集合可能能是一條條線段2. 推出出結(jié)論教師明晰：由于兩兩點確定定一條直直線，根根據(jù)公理理2容易易得出如如下推論論：推論1經(jīng)經(jīng)過一條條直線和和直線外外的一點點，有且且只有一一個平面面已知：點AA，直線線a，AAa

12、（如如圖144-6）求證：過點點A和直直線a可可以確定定一個平平面分析：“確確定一個個平面”包包含兩層層意思：一是存存在，二二是唯一一這兩兩層都應(yīng)應(yīng)證明（說明：這這個證明明可以由由教師引引導(dǎo)學(xué)生生一起分分析完成成，但步步驟教師師一定要要板書）證明：存在在性因為Aa，在在a上任任取兩點點B，CC，所以過不共共線的三三點A，BB，C有有一個平平面（公理理2）因為B，C，所以a（公公理1）故經(jīng)過點AA和直線線a有一一個平面面唯唯一性如果經(jīng)經(jīng)過點AA和直線線a的平平面還有有一個平平面，那那么，因為B，C，所以B，B（公公理1）故不共線的的三點AA，B，CC既在平平面內(nèi)內(nèi)又在平平面內(nèi)內(nèi)所以平面和平面面重

13、合合（公公理2）所以經(jīng)過點點A和直直線有有且只有有一個平平面有有時“有有且只有有一個平平面”，我我們也說說“確定定一個平平面”類似地可以以得出下下面兩個個推論：推論2經(jīng)經(jīng)過兩條條相交直直線，有有且只有有一個平平面（如如圖144-7）推論3經(jīng)經(jīng)過兩條條平行直直線，有有且只有有一個平平面（如如圖144-8）三、解釋應(yīng)應(yīng)用例題兩兩相交且且不過同同一點的的三條直直線必在在同一個個平面內(nèi)內(nèi)（如如圖144-9）已知：ABBACCA，AABBBCBB，ACCBCCC求證：直線線AB，BBC，AAC共面面證法1：因因為ABBACCA，所以直線AAB，AAC確定定一個平平面（推論論2）因為BAAB，CCAC，所

14、以B，C，故BC（公理理1）因此，直線線AB，BBC，CCA都在在平面內(nèi)，即即它們共共面證法2：因因為A直直線BCC，所以過點AA和直線線BC確確定平面面（推推論1）因為A，BBC，所所以B故AB，同理AC，所以AB，AAC，BBC共面面證法3：因因為A，BB，C三三點不在在一條直直線上，所以過A，BB，C三三點可以以確定平平面（公理理2）因為A，B，所以以AB（公公理1）同理BC，ACC，所所以ABB，BCC，CAA三直線線共面思考：在這這道題中中“且不不過同一一點”這這幾個字字能不能能省略，為為什么？（不能，如如果三條條直線兩兩兩相交交且過同同一點，則則這三條條直線可可以不共共面）練習(xí)1.

15、 三角角形、梯梯形是平平面圖形形嗎？2. 已知知：平面面外有有一個ABCC，并且且ABCC三條邊邊所在的的直線分分別與平平面交交于三個個點P，QQ，R求證PP，Q，RR三點共共線四、拓展延延伸1. 四條條直線兩兩兩相交交且不過過同一點點，這四四條直線線是否一一定共面面？2. 兩個個平面最最多可以以把空間間分成幾幾個部分分？三個個平面呢呢？四個個平面呢呢？點評這篇案例在在教師指指導(dǎo)下，從從現(xiàn)實生生活中選選擇和確確定問題題進行研研究，以以類似科科學(xué)家探探究的方方式使學(xué)學(xué)生主動動地解決決問題，獲獲取知識識，應(yīng)用用知識，并并在探究究過程中中充分利利用模型型、進行行數(shù)學(xué)實實驗等多多種渠道道在問問題探究究的過程程中，學(xué)學(xué)生的空空間想象象