奧數(shù)之表面積及體積

1、.奧數(shù)之表面積與體積一專題簡(jiǎn)析：小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍,需要有更高水平的空間想象能力。因此,要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法,能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?養(yǎng)成數(shù)、形結(jié)合的好習(xí)慣,解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察,合理大膽想象,正確靈活地計(jì)算。在解答立體圖形的表面積問題時(shí),要注意以下幾點(diǎn)：1充分利用正方體六個(gè)面 的面積都相等,每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。2把一個(gè)立體圖形切成兩部分,新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之,把兩個(gè)立體圖形粘合到一起,減少的表面積等于粘合面積的兩倍。3若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體,應(yīng)把它

2、們最小的面拼合起來。若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體,應(yīng)把它們最大的面拼合起來。例題1：從一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體,剩下部分的表面積是多少？這是一道開放題,方法有多種：按圖27-1所示,沿著一條棱挖,剩下部分的表面積為592平方厘米。按圖27-2所示,在某個(gè)面挖,剩下部分的表面積為632平方厘米。按圖27-3所示,挖通某兩個(gè)對(duì)面,剩下部分的表面積為672平方厘米。練習(xí)1：1、從一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高5厘米的長(zhǎng)方體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正方體,剩下部分的表面積是多少？2、把一個(gè)長(zhǎng)為12分米,寬為6分米,高為9分米的長(zhǎng)方體木

3、塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體木塊,這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和,比原來長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方分米？3、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體后,表面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？例題2：把19個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體重疊起來,如圖27-4所示,拼成一個(gè)立體圖形,求這個(gè)立體圖形的表面積。要求這個(gè)復(fù)雜形體的表面積,必須從整體入手,從上、左、前三個(gè)方向觀察,每個(gè)方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形如圖27-5所示。而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的。整個(gè)立體圖形的表面積可采用S上+S左+S前2來計(jì)算。339+338+33102=81+72+902=2432=486平方厘

4、米 答：這個(gè)立體圖形的表面積是486平方厘米。練習(xí)2：1、用棱長(zhǎng)是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的表面積。2、一堆積木如圖27-7所示,是由16塊棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面積是多少平方厘米？3、一個(gè)正方體的表面積是384平方厘米,把這個(gè)正方體平均分割成64個(gè)相等的小正方體。每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？例題3：把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長(zhǎng)方體,拼成一個(gè) 大長(zhǎng)方體,這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是多少平方厘米？把兩個(gè)相同的大長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大廠房體,需要把兩個(gè)相同面拼合,所得大廠房體的表面積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長(zhǎng)方體的表

5、面積最小,就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大,即減少兩個(gè)97的面。99+94+7422972=63+36+284126=508126=382平方厘米 答：這個(gè)大廠房體的表面積最少是382平方厘米。練習(xí)3：1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體,長(zhǎng)方體的表面積是多少？2、將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體,再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。求大長(zhǎng)方體的表面積是多少。3、用6塊如圖27-8所示長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體,有許多種做法,其中表面積最小的是多少平方厘米？例題4：一個(gè)長(zhǎng)方體,如果長(zhǎng)增加2厘米,則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米,則體積增加90立方厘米；

6、如果高增加4厘米,則體積增加96立方里,求原長(zhǎng)方體的表面積。我們知道：體積=長(zhǎng)寬高；由長(zhǎng)增加2厘米,體積增加40立方厘米,可知寬高=402=20平方厘米；由寬增加3厘米,體積增加90立方厘米,可知長(zhǎng)高=903=30平方厘米；由高增加4厘米,體積增加96立方厘米,可知長(zhǎng)寬=964=24平方厘米。而長(zhǎng)方體的表面積=長(zhǎng)寬+長(zhǎng)高+寬高2=20+30+242=148平方厘米。即402=20平方厘米903=30平方厘米964=24平方厘米30+20+242=742=148平方厘米 答：原 長(zhǎng)方體的表面積是148平方厘米。練習(xí)4：1、一個(gè)長(zhǎng)方體,如果長(zhǎng)減少2厘米,則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米,則

7、體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米,則體積增加96立方厘米。原來廠房體的表面積是多少平方厘米？2、一個(gè)廠房體木塊,從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長(zhǎng)方體后,便成為一個(gè)正方體,其表面積減少了120平方厘米。原來廠房體的體積是多少立方厘米？3、有一個(gè)廠房體如下圖所示,它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù),這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？例題5：如圖27-10所示,將高都是1米,底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積,再減去重疊部分的面積,這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí)際上三個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)

8、底面積。這樣,這個(gè)物體的表面積就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.144.5+3+2+1=3.1410.5=32.97平方米答：這個(gè)物體的表面積是32.97平方米。練習(xí)5：1、一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體零件如圖27-11所示的上、下兩個(gè)面上,各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔,孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。2、用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件單位：厘米,需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示,在一個(gè)立方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞,在上、下側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知立方體棱

9、長(zhǎng)為10厘米,側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形,上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓,求該立方體的表面積和體積取3.14。答案：練1切下一塊后,切口處的表面減少了前、后、上面3個(gè)11的正方形,新增加了左右下面三個(gè)11的正方形,所以表面積大小不變。44622292平方厘米中心挖去的洞的體積是：12331327立方厘米,挖洞后木塊的體積：33720立方厘米,中心挖洞后每面增加的面積是124123平方厘米,挖洞后木塊的表面積：32+3672平方厘米。練2從三個(gè)不同的方向看,得到圖答271： 從上往下看 從前往后看 從左往右看 1112+118+117254平方厘米229+229+2272200平方厘

10、米因?yàn)?4444,所以大正方形的棱長(zhǎng)等于小正方形棱長(zhǎng)的4被,那么大正方體的表面積是小正方體的4416倍,小正方體的表面積是：3841624平方厘米練3將正方體分為兩個(gè)長(zhǎng)方體,表面積就增加了2個(gè)30615平方厘米,拼成大正方體,表面積將減少兩個(gè)拼合面的面積,正好是1個(gè)30615平方厘米,所以大長(zhǎng)方體的表面積是30+30+635平方厘米。要是表面積最小,就要盡可能地把大的面拼合在一起。表面積最小的拼法有如圖答272兩種：表面積都是33+342266平方厘米。設(shè)大長(zhǎng)方體的寬和高為x分米,長(zhǎng)為2x分米,左面和右面的面積就是x2平方分米。其余的面積為2x2平方分米,根據(jù)題意,大長(zhǎng)方體的表面積是：8x2+

11、82x2600 x5大長(zhǎng)方體的體積是：5525250立方分米練41、 482+655+9642122平方厘米2、 減少的表面積實(shí)質(zhì)是高度分別為2厘米和3厘米的前、后、左、右四個(gè)面的面積之和。把兩個(gè)合并起來,用1202+324厘米,求到正方體底面的周長(zhǎng),正方體的棱長(zhǎng)就是2446厘米。圓長(zhǎng)方體的體積是：666+3+2396立方厘米3、 長(zhǎng)方體正面及上面的面積之和恰好等于這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬+高,2091119,所以長(zhǎng)11,寬+高19,或長(zhǎng)19,寬+高11,根據(jù)題意,寬和高只能是17和2,長(zhǎng)方體的體積就是11172374練54026+3.1441029651.2平方厘米用兩個(gè)同樣的工件可拼成圖答273的圓柱體。3