2021課標版理數(shù)高考總復(fù)習專題8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)（講解練）理科數(shù)學教學講練

1、8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)高考理數(shù)考點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點清單考向基礎(chǔ)直線與平面平行的判定與性質(zhì) 文字語言圖形語言符號語言平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.簡稱:線線平行,則線面平行a,b,且aba一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡稱:線面平行,則線線平行a,a,=bab內(nèi),且ab,否則會出現(xiàn)錯誤.(2)一條直線平行于一個平面,它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行,但這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行,也可能異面.(3)a的判定定理和性質(zhì)定理使用的區(qū)別:如果結(jié)論中有a,則要用判定定理,在內(nèi)找與a平行的直線;若

2、條件中有a,則要用性質(zhì)定理,找(或作)過a且與相交的平面.注意(1)在推證線面平行時,一定要強調(diào)直線a不在平面內(nèi),直線b在平面考向突破考向一證明直線與平面平行例1(2019新疆烏魯木齊二模,18)如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC,AB=AC=2,AA1=4,點D是BC的中點.(1)證明:直線A1B平面AC1D;(2)求點A1到平面AC1D的距離. 解析(1)證明:連接A1C交AC1于E,連接DE,則E是A1C的中點,又D是BC的中點,DEA1B,又A1B平面AC1D,DE平面AC1D,A1B平面AC1D.(2)AB=AC=2,AA1=4,ABAC,AD=CD=,AC1=2,DC

3、1=3,=AB=242=,D是BC的中點,=.AD2+D=A,ADDC1,=3=3.設(shè)A1到平面AC1D的距離為h,則=3h=h,又=,h=.A1到平面AC1D的距離為.考向二證明直線與直線平行例2如圖,在多面體ABCDEF中,DE平面ABCD,ADBC,平面BCEF平面ADEF=EF,BAD=60,AB=2,DE=EF=1.(1)求證:BCEF;(2)求三棱錐B-DEF的體積.解析(1)證明:ADBC,AD平面ADEF,BC平面ADEF,BC平面ADEF.又BC平面BCEF,平面BCEF平面ADEF=EF,BCEF.(2)過點B作BHAD于點H.DE平面ABCD,BH平面ABCD,DEBH.

4、AD平面ADEF,DE平面ADEF,ADDE=D,BH平面ADEF.BH是三棱錐B-DEF的高.在RtABH中,BAD=60,AB=2,故BH=.DE平面ABCD,AD平面ABCD,DEAD.由(1)知BCEF,又ADBC,ADEF,DEEF.三棱錐B-DEF的體積V=SDEFBH=11=.考點二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考向基礎(chǔ)平面與平面平行的判定和性質(zhì)性質(zhì)如果兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的任一直線都平行于另一個平面(即面面平行線面平行)a如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行(即面面平行線線平行)ab如果兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線,那么另一個平面也垂直于這條

5、直線a【知識拓展】1.與平面平行有關(guān)的幾個常用結(jié)論(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等;(2)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行;(3)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例;(4)同一條直線與兩個平行平面所成角相等.2.平行問題的轉(zhuǎn)化方向圖利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定問題時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應(yīng)用性質(zhì)定理時,其順序正好相反.在實際的解題過程中,判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合,靈活運用.考向突破考向一證明平面與平面平行例1如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中

6、,AB=1,AD=2,E,F分別為AD,AA1的中點,Q是BC上的一個動點,且BQ=QC(0).(1)當=1時,求證:平面BEF平面A1DQ;(2)是否存在,使得BDFQ?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由. 解析(1)證明:當=1時,Q為BC的中點,因為E是AD的中點,所以ED=BQ,又EDBQ,所以四邊形BEDQ是平行四邊形,所以BEQD.又BE平面A1DQ,DQ平面A1DQ,所以BE平面A1DQ.又F是A1A的中點,所以EFA1D.因為EF平面A1DQ,A1D平面A1DQ,所以EF平面A1DQ,又BEEF=E,所以平面BEF平面A1DQ.(2)存在.理由:如圖,連接AQ,因為A1A平

7、面ABCD,BD平面ABCD,所以A1ABD.又因為BDFQ,A1A、FQ平面A1AQ,且A1AFQ=F,所以BD平面A1AQ.因為AQ平面A1AQ,所以AQBD.在矩形ABCD中,由AQBD,得AQBDBA,所以AB2=ADBQ.又AB=1,AD=2,所以BQ=,所以QC=,所以=,即=.故存在=滿足題意.考向二平行關(guān)系中的存在性問題例2(2019四川內(nèi)江質(zhì)檢三,18)如圖,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,BAC=ACD=90,EAC=60,AB=AC=AE.(1)在直線BC上是否存在一點P,使得DP平面EAB?請證明你的結(jié)論;(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的余

8、弦值. 解析(1)線段BC的中點就是滿足條件的點P.證明如下:取AB的中點F,BC的中點P,連接DP,PF,EF,則FPAC,FP=AC.取AC的中點M,連接EM,EC.AE=AC且EAC=60,EAC是正三角形.EMAC.四邊形EMCD為矩形.ED=MC=AC=FP.EDAC,EDFP,四邊形EFPD是平行四邊形.DPEF.又EF平面EAB,DP平面EAB,DP平面EAB.(2)過點B作AC的平行線l,過點C作l的垂線交l于點G,連接DG,四邊形ABGC為矩形.EDAC,DEl.l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱.平面EACD平面ABC,平面EACD平面ABC=AC,DCAC,DC平面

9、ABC.又l平面ABC,DCl.又CGl,l平面DGC,lDG.DGC是所求二面角的平面角.設(shè)AB=AC=AE=2a,則CD=a,GC=2a.GD=a.cos =cosDGC=.方法1證明直線與平面平行的方法1.利用線面平行的定義(此法一般伴隨反證法證明).2.利用線面平行的判定定理.應(yīng)用此法的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找與已知直線平行的直線.可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有,若沒有,則需作出該直線,?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊等.3.利用面面平行的性質(zhì):當兩個平面平行時,其中一個平面內(nèi)的任一直線都平行于另一個平面.方法技巧例1正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一點P

10、、Q,且AP=DQ.求證:PQ平面BCE.解題導引 證明 證法一:如圖所示,作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,連接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,AE=BD.又AP=DQ,PE=QB,PMABQN,=,=,=,PMQN,即四邊形PMNQ為平行四邊形,PQMN.又MN平面BCE,PQ平面BCE,PQ平面BCE.證法二:如圖,在平面ABEF內(nèi),過點P作PMBE,交AB于點M,連接QM.PM平面BCE,且=,易知AE=BD,又AP=DQ,PE=BQ,=,=,MQAD,又ADBC,MQBC,BC平面BCE,MQ平面BCE,MQ平面BCE,又PMMQ=M,平面PMQ平面BCE

11、,又PQ平面PMQ,PQ平面BCE.方法2證明平面與平面平行的方法1.利用面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(主要方法)2.利用面面平行的判定定理的推論:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個平面平行.3.證明兩個平面都垂直于同一條直線.(客觀題可用)4.證明兩個平面同時平行于第三個平面.(客觀題可用)例2(2019吉林長春四模,18)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1平面ABCD,ADDC,ADAB,DC=2AD=2AB=2,AA1=4,點M為C1D1的中點.(1)求證:平面AB1D1平面BDM;(2)求直線CD1與平面AB1D1所成角的正弦值. 解題導引 解析(1)證明:由題意得,DD1BB1,DD1=BB1,故四邊形DD1B1B為平行四邊形,所以D1B1DB.又D1B1平面AD1B1,DB平面AD1B1,所以DB平面AD1B1.(2分)由題意可知ABDC,D1C1DC,M為D1C1的中點,則D1MAB且D1M=AB=1,所以四邊形ABMD1為平行四邊形,所以BMAD1.又BM平面AD1B1,AD1平面AD1B1,所以BM平面AD1B1.(4分)又由于BM,BD相交,所以平面AB1D1平面BDM.(6分)(2)由題意,以D為