2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題10.2二項(xiàng)式定理（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、10.2二項(xiàng)式定理高考理數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)式定理考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.二項(xiàng)式定理公式(a+b)n=an+an-1b1+an-kbk+bn(nN*)叫做二項(xiàng)式定理.公式中右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式,其中各項(xiàng)的系數(shù)(k=0,1,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù),式中的an-kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用Tk+1表示,即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng).2.二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n+1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0,字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式系數(shù)為,.3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(

2、1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即=.(2)增減性與最大值:對于二項(xiàng)式系數(shù)(r=0,1,2,n),當(dāng)r時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),二項(xiàng)展開式的中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即最大的二項(xiàng)式系數(shù)為.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),二項(xiàng)展開式的中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大,即最大的二項(xiàng)式系數(shù)為和.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的和(a+b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即+=2n.二項(xiàng)展開式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即+=+=2n-1.考向突破考向一求與特定項(xiàng)相關(guān)的量例1(2019內(nèi)蒙古包頭二模,10)若的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為1,則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.

3、672B.-672C.5 376D.-5 376解析的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為(a-1)9=1,a=2.故展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=(-1)r29-rx18-3r,令18-3r=0,求得r=6,可得該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為23=672,故選A.答案A考向二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例2(2018河北邯鄲二模,9)在的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64,則x3的系數(shù)為()A.15B.45C.135D.405解析令中x為1,得各項(xiàng)系數(shù)和為4n,又展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64,=64,解得n=6,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=3r,令6-r=3,得

4、r=2,故展開式中x3的系數(shù)為32=135,故選C.答案C方法1求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)1.二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且nr,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求的項(xiàng).2.求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng),可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.方法技巧例1(2017課標(biāo),6,5分)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為()A.15B.20C.30D.35解析解法一:(1+x)6=1(1+x)6+(1+x

5、)6,(1+x)6的展開式中的x2的系數(shù)為=15,(1+x)6的展開式中的x2的系數(shù)為=15,所以所求展開式中x2的系數(shù)為15+15=30.解法二:因?yàn)?1+x)6=,所以(1+x)6展開式中x2的系數(shù)等于(1+x2)(1+x)6展開式中x4的系數(shù),而(1+x2)(1+x)6展開式中x4的系數(shù)為+=30,故(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為30.解法三:因?yàn)?1+x)6=-,所以(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為-2=30,故選C.答案C方法2二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和1.“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對于形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對于形如(ax+by)n(a,bR)的式子,求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.2.若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+=,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+=.例2(2020屆山東濟(jì)南外國語學(xué)校9月月考,16)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x-1)9,則a1+a2+a9=,a2=.解析令x=1,得a0=1,令x=2,得a0+a1+a2+a9=