二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)

1、關(guān)于二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第1頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)表11121133114641151010511615201561第2頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四詳解九章算法記載的表?xiàng)钶x 三角楊輝 以上二項(xiàng)式系數(shù)表,早在我 國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書(shū)里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個(gè)表稱(chēng)為楊輝三角。在詳解九章算法一書(shū)里，還說(shuō)明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于釋鎖算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)

2、用過(guò)它。這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。第3頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四a).表中每行兩端都是1。b).除1外的每一個(gè)數(shù)都等 于它肩上兩個(gè)數(shù)的和。4+6=102+1=3例如：cr ncr-1n+crn+1=當(dāng)n不大時(shí)，可用該表來(lái)求二項(xiàng)式系數(shù)。C23C22C12+= 3C25C24C14+= 10因?yàn)椋憾?xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)11121133114641151010511615

3、2015612134610第4頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四第1行第2行第6行-第5行-第4行第3行-11121133114641151010511615201561二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)先增后減對(duì)稱(chēng)第5頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四函數(shù)定義：如果A、B都是非空數(shù)集，那A到B的映射f ：AB就叫做A到B的函數(shù)?？煽闯墒羌?，1，n到二項(xiàng)式系數(shù)的集合的映射。 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)，r與 之間也有對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：r 0 1 2 r n二項(xiàng)式系數(shù)與函數(shù)第6頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四 從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，二項(xiàng)式系數(shù)可以看作是一個(gè)定

4、義域?yàn)?0，1，2，n的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。 即：r是自變量，r自變量二項(xiàng)式系數(shù)是函數(shù)值，組合數(shù)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。123二項(xiàng)式函數(shù)值二項(xiàng)式系數(shù)與函數(shù)第7頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四當(dāng)n=6時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù) （0r6）用圖象表示：7個(gè)孤立的點(diǎn)13n12322nOr f ( r )6361420 與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等1：對(duì)稱(chēng)性2：增減性與最大值先增后減關(guān)于r= 3對(duì)稱(chēng)r=3時(shí)取得最大值第8頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四f（r）n為奇數(shù)；如n=7f（r）rnO6152013n為偶數(shù)；如n=62

5、0103035On743關(guān)于r=n/2對(duì)稱(chēng)r=3和r=4時(shí)取得最大值第9頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等性質(zhì)1：對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)2：增減性與最大值先增后減當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù) 取得 最大值 ；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) 二項(xiàng)式系數(shù) 和 相等，且 同時(shí)取得最大值。 即 即 和第10頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四當(dāng) 時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱(chēng)性知它的后半部是逐漸減小的，且在中間取得最大值。 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) 取得最大時(shí) ；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) ， 相等，且同時(shí)取

6、得最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1)k (k-1) =Ck-1nkn k + 1Ck-1nkn k + 1Ckn所以相對(duì)于的增減情況由決定由于kn k + 11kn + 12因而2.增減性與最大值第11頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四性質(zhì)3：各二項(xiàng)式系數(shù)的和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2n + + + +令x=1；賦值法令x=-1；0+0nCC 2 n-+1nC3nC)()0 = +0nCC 2 n+1nC3nC = 也就是說(shuō), (1+x)n的展開(kāi)式中的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為 ，且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)和2n第12頁(yè)，共19頁(yè)，202

7、2年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四1、在(ab)20展開(kāi)式中，與第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是( ).C課堂練習(xí):A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng)C.第6項(xiàng)和第7項(xiàng) D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng)CA.第15項(xiàng) B.第16項(xiàng) C.第17項(xiàng) D.第18項(xiàng)2、在(ab)11展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)( ).4，化簡(jiǎn) + + + +=3， 已知 展開(kāi)式中只有第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=_。 18第13頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四例1、證明 的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。ban)(+證明：1a10-CCn+rnan1-bban+=bCCnnrnrnnban)(+

8、在展開(kāi)式中1+=1n)(-Cnnn )(-10nC1nCC 2 n3nC-+b = -1，令a = 1，則得+0nCC 2 n-+1nC3nC)()0 = +0nCC 2 n+1nC3nC = 就是即在ban)(+的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和。證畢。上述證明過(guò)程中用到了什么方法？賦值法例題講解第14頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四變式練習(xí)：+7210)(+=-72721xaxaxaax已知?jiǎng)t=+6420aaaa71a=+2aa7=+531aaaa簡(jiǎn)解:令x=1,則則令x= -1,7a+5a6a102+aaa+=+3a4a(=)-7211-17a=a1a0+a2+-+5a3a6a4a-)+(7211=37121由 得71a=+2aa-212-)(2由 得12+)(2由 得-2-109410937=+531aaaa-1094=+6420aaaa1093( x=0 時(shí),a0=1 )第15頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四123n123注意： 求解二項(xiàng)式系數(shù)和時(shí)，靈活運(yùn)用賦值法可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。通常選取賦值時(shí)取1，1，0。第16頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)7分，星期四小結(jié): （2） 數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想a 圖象、圖表； b 單調(diào)性；c 最值。（3） 數(shù)學(xué)方法 ： 賦值法 （1）二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性