行列式按行展開(kāi)

1、第三節(jié) 行列式按行（列）展開(kāi)第一章 行列式例如一、余子式與代數(shù)余子式在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素 的余子式，記作叫做元素 的代數(shù)余子式例如引理 一個(gè) 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 例如證當(dāng) 位于第一行第一列時(shí),即有又從而再證一般情形,此時(shí)得得中的余子式故得于是有定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開(kāi)法則例1 證用數(shù)學(xué)歸納法例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1階范德蒙德行列式推論 行列式任一行（列）的元素與

2、另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證同理相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)例3. 已知行列式求： A31+A32+A33A34， A31+2A32+3A334A34解：0例4 計(jì)算行列式解按第一行展開(kāi)，得例5 計(jì)算行列式解二、k階子式及其余子式和代數(shù)余子式 在n階行列式D中任選k行k列，位于這k行k列的交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素按原來(lái)的位置組成的k階行列式M叫做D的一個(gè)k階子式。在D中劃去M所在的行與列，剩下的元素按原來(lái)的位置組成的n-k子式N叫做M的余子式。設(shè)M所在的行數(shù)與列數(shù)依次為i1i2ik，j1j2jk，M的余子式N乘以 叫做M的代數(shù)余子式，記作A。在D中， M 是 的一個(gè)2階子

3、式，N是 M 的余子式，A 是 M 的代數(shù)余子式證明：共有k!(n-k)!項(xiàng)和，每項(xiàng)都是行列式D的項(xiàng)。I1行I2行Ik行J1列J2列Jk列其中，i1i2ik , j1j2jk ,這些行列交叉點(diǎn)元素的k階子式M為MM的余子式N為：NMN如果不看符號(hào)，MN中的每一項(xiàng)都是行列式D的項(xiàng)。可是事實(shí)上它們前面的符號(hào)不同。對(duì)于行列式D1MN的每一項(xiàng)都是D1的項(xiàng)，符號(hào)也相同。那么，MN或者說(shuō)D1的每一項(xiàng)與D有什么差別？i1行i2行ik行J1列J2列Jk列其中，i1i2ik , j1j2jk ,這些行列交叉點(diǎn)元素的k階子式M為將i1行依次與（i1-1）, （i1-2）,1行交換，共進(jìn)行了（i1-1）次行交換。再將i2行依次與（i2-1）, （i2-2）,2行交換，共進(jìn)行了（i2-2）次行交換。，經(jīng)過(guò)（ik-k）次行交換，將ik行交換到第k行。同樣的方法，再將j1, j2, ,jk列交換到第1，2，k列。行列式D變成了D1。D與D1的符號(hào)之間的關(guān)系如何？即MN的項(xiàng)乘以 與D的項(xiàng)符號(hào)也相同又所以，MA的每一項(xiàng)都是D的一項(xiàng)Laplace定理M是k!項(xiàng)，A是(N-k)!項(xiàng)，所以MA是k!(n-k)!項(xiàng)等式右邊是tk!(n-k)! = n!項(xiàng)和，其中每一項(xiàng)都是行列式D的項(xiàng)等式左邊行列式D是由n！項(xiàng)的和構(gòu)成。所以等式成立。例6 計(jì)算行列式解：按2，4行展開(kāi)，只有三個(gè)2階子式不為0對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式為7