力空間積累與動(dòng)能增量的關(guān)系及其應(yīng)用

1、力空間積累與動(dòng)能增量的關(guān)系及其應(yīng)用摘要：以中學(xué)物理的動(dòng)能定理為出發(fā)點(diǎn),與大學(xué)物理中的動(dòng)能定理微分形式進(jìn)行對(duì)比和相關(guān)性分 析,確定力空間積累與動(dòng)能增量的關(guān)系。利用狀態(tài)量替代過程量，從滑移距離、能量轉(zhuǎn)化和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)三方 面進(jìn)行拓展及其應(yīng)用，得出的結(jié)論能為物理初學(xué)者和物理教學(xué)者提供學(xué)習(xí)方法和理論知識(shí)的參考。關(guān)鍵詞:力；空間積累;動(dòng)能定理;牛頓第二定律;微分The Relationship and Application betweenForce Space Accumulation and Kinetic Energy IncrementAbstract: Based on the kinetic e

2、nergy theorem of middle school physics, this paper compares and analyzes the differential form of kinetic energy theorem in college physics, and determines the relationship between force space accumulation and kinetic energy increment. The state quantity is used to replace the process quantity, and

3、the sliding distance, energy transformation and rigid body rotation are expanded and applied. The conclusion can provide a reference for physics beginners and physics educators to learn methods and theoretical knowledge.Key words: force;space accumulation;kinetic energy theorem;newtons second law;di

4、fferential在中學(xué)物理考試、競(jìng)賽中，動(dòng)能定理及其應(yīng)用 是屬于其中考點(diǎn)之一皿;在大學(xué)物理中，對(duì)于剛剛 接觸物理學(xué)理論知識(shí)的初學(xué)者，面臨的就是以牛 頓第二定律為主線，加予數(shù)學(xué)的微分方法，可以導(dǎo) 出動(dòng)能定理的微分形式。對(duì)于學(xué)生來說，從中學(xué)到 大學(xué)，他們都要面臨物理中的動(dòng)能定理的學(xué)習(xí)，中 學(xué)利用狀態(tài)量替代過程量解決物理問題大學(xué)是 在中學(xué)基礎(chǔ)上利用微積分解決實(shí)際問題性這兩方 面都是學(xué)生學(xué)習(xí)物理的難點(diǎn)和重點(diǎn)?；诖?，以中 學(xué)物理中動(dòng)能定理為出發(fā)點(diǎn)，與大學(xué)物理中的動(dòng) 能定理微分形式進(jìn)行對(duì)比和相關(guān)性分析，確定力 空間積累與動(dòng)能增量的關(guān)系，從滑移距離、能力轉(zhuǎn) 化和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)三方面進(jìn)行理論分析、知識(shí)拓展及

5、其應(yīng)用。一、中學(xué)物理的動(dòng)能定理在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中國(guó),利用速度的狀態(tài)量可 以導(dǎo)出位移的表達(dá)式把（6）式的左邊二階求導(dǎo)分開，得出質(zhì)量、速 度的變換率和速度三者的乘積，右邊是力和速度 的點(diǎn)乘。對(duì)（6）式進(jìn)行變式，得亦一 -dr mv = Fdt dt從此式看出,左邊是過程量，右邊涉及的是狀 態(tài)量（即始末速度），體現(xiàn)出過程量與狀態(tài)量存在 一定的關(guān)系。功的定義，物體在力的作用下且在該 力的方向產(chǎn)生位移，則力對(duì)物體做功為vr = Fs物體的運(yùn)動(dòng)不需要力來維持，但是有力作用 時(shí)就會(huì)使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，即就會(huì)產(chǎn)生加 速度回,得F = ma（3）此處僅考慮標(biāo)量形式。綜合（2）、（3）式，可以 把功進(jìn)行拓展w

6、= Fs = ma V） = mv；-:徹禰（4）式左邊的功是力空間積累,右邊的動(dòng)能增 量體現(xiàn)的是運(yùn)動(dòng)始末狀態(tài)量氣這里確定了過程量 與狀態(tài)量是存在關(guān)系的，也就是說換另一對(duì)象也 可以求出力所做的功。二、大學(xué)物理的動(dòng)能定理以上是根據(jù)中學(xué)物理知識(shí)點(diǎn)的勻變速直線運(yùn) 動(dòng)的規(guī)律導(dǎo)出動(dòng)能定理，主要是利用代入法進(jìn)行 推導(dǎo)。以下利用微積分方法導(dǎo)出力空間積累與動(dòng) 能增量的關(guān)系。位置矢量是時(shí)間、空間的函數(shù)，速度是位置矢 量對(duì)時(shí)間的一階求導(dǎo)，加速度是位置矢量對(duì)時(shí)間 的二階求導(dǎo)。由此結(jié)合（3）式得兇（5）式是牛頓第二定律的微分形式，其中含有 位置矢量產(chǎn)，由此可以看出牛頓第二定律具有矢 量性、瞬時(shí)性、相對(duì)性。對(duì)（5）式兩

7、邊進(jìn)行點(diǎn)乘速度 的微分形式得這樣變式處理后，從（7）式便比較容易看出動(dòng) 能和功的存在。把（7）式進(jìn)行變式,兩邊同時(shí)消去 dt而得mdv - v = mvid(vi)- mvdv - F -dr (8)如果把其中速度V、質(zhì)量m視為一個(gè)量進(jìn)行 微分處理，則2）_-mvdv = d mv = F-dr =dw（9）u ）（9）式中存在一個(gè)物理量，它與速度是平方的 關(guān)系，這個(gè)物理量在此表現(xiàn)為一種能量，定義其為 動(dòng)能。（9）式中：為動(dòng)能增量;另一個(gè) 物理量尸沛，定義其為元功。三、狀態(tài)量替代過程量解決物理問題（一）滑移距離對(duì)于（4）式來說，在實(shí)際解決問題時(shí)，關(guān)鍵是 利用狀態(tài)量替代過程量使問題簡(jiǎn)單化。這樣處

8、理, 在復(fù)雜的物理問題情況下，尋找求解力所做功的 方法,如果是從功的定義出發(fā)的話，那就得要考慮 物體在具體過程產(chǎn)生的位移，但一般物理情景是 很難求解位移的。此時(shí)，就利用（4）式的動(dòng)能定理, 僅需計(jì)算出始末狀態(tài)的動(dòng)能增量即可。在二合一物體的碰撞中，構(gòu)建模型如圖1所 示9-11，圖中借鑒于參考文獻(xiàn)9、10、11的簡(jiǎn)筆畫圖 像。圖中描述一個(gè)小男孩質(zhì)量為.在平臺(tái)上勻 速直線的速度為向右跑，在砍處摔在前方同一 水平的小車上，在小車上滑動(dòng)了一定距離后停在 小車上。小車的質(zhì)量為m,小孩與車之間的摩擦因 數(shù)設(shè)為，乒（），輪子與地面的摩擦因數(shù)設(shè)為圖1二合一物體碰撞小男孩停止后與小車一起運(yùn)動(dòng)的，相對(duì)地面 來說具有

9、相同速度o整個(gè)過程屬于二合一碰撞現(xiàn) 象，滿足動(dòng)量守恒定律的，可以計(jì)算出它們一起運(yùn) 動(dòng)的速度V ,為i _O + Wom + m0(10)小男孩與車之間滑動(dòng)時(shí)，由于存在摩擦力，所 以在滑動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生熱量，導(dǎo)致這類碰撞的始末動(dòng) 能發(fā)生增量。熱量的多少等于摩擦力所做的功，滑 動(dòng)就是摩擦力空間積累的,這樣可以計(jì)算出滑動(dòng) 距離，。根據(jù)動(dòng)能定理得(10)“。招。=-|（/n + n?（）（11）（11）式的左邊是小男孩克服摩擦力所做的功, 右邊是小男孩與小車構(gòu)成系統(tǒng)的動(dòng)能增量。把動(dòng) 量守恒導(dǎo)出的末速度帶入（11）式,可以確定小男 孩在小車上的滑移距離，為三岫S + m。）”d= 頃g根據(jù)動(dòng)能定理，可以利用始

10、末的動(dòng)能狀態(tài)量 求解功所含的過程量，如位移、作用力、平均沖力 等等。（二）能量轉(zhuǎn)化動(dòng)能定理涉及的過程量有位移和力，其中力 可以是恒力也可以是變力。利用狀態(tài)量替代過程 量解決物理問題,具有很大的捷徑作用，特別是變 力做功時(shí)更為簡(jiǎn)單化、效率化、直接化等。在物理 學(xué)中,萬有引力、庫侖力、安培力等都是變力。根據(jù) 能量守恒，凡是有不等零的力或合外力不等于零 時(shí),即在物理某一個(gè)過程中,一旦有力的作用就會(huì) 發(fā)生能量的變化。在變化中,要清楚和分析能量的 變化時(shí)，離不開動(dòng)能定理，就得利用w = 氏解決 能量轉(zhuǎn)化的問題。對(duì)于電磁現(xiàn)象,安培力所做的 功,是可以使機(jī)械能和系統(tǒng)內(nèi)能發(fā)生變化的。(12)v21 ?o2 m

11、 + m0og2og(7 + ?o)導(dǎo)軌與（(12)v21 ?o2 m + m0og2og(7 + ?o)導(dǎo)軌與（7）、金屬棒商與cd構(gòu)成能量轉(zhuǎn) 化機(jī)構(gòu)，只要金屬棒兄與是任意一根水平運(yùn)動(dòng), 則就會(huì)產(chǎn)生能量轉(zhuǎn)化。在任意一根金屬棒水平運(yùn) 動(dòng)時(shí)，它們之間就會(huì)有安培力的存在，這安培力屬 于變力。此時(shí)，考慮力空間積累與過程量的關(guān)系， 就可以很清楚看出功、機(jī)械能和內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化。 足夠長(zhǎng) （7）和 M之間的摩擦系數(shù)設(shè)為 /-（.）泌c。變化中構(gòu)成一反沖系統(tǒng)油動(dòng)量守 恒而得出原靜止的金屬棒的速度，為圖2 能量轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)圖2涉及內(nèi)能、機(jī)械能、功和動(dòng)能的變化，它 們關(guān)系為w = mvi - mvlw = AE機(jī)=

12、AE(14)（14）式中冶為安培力所做的功知為機(jī)械 能變化量M為內(nèi)能的增量。(14)AE =： 赤:2/77= | 八（15）在圖2的模型中，由于金屬棒運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的 安培力為變力，其變化過程所做的功會(huì)使系統(tǒng)能 量發(fā)生變化。（三）剛體轉(zhuǎn)動(dòng)形式在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的力所做功變?yōu)?力矩功，動(dòng)能增量變?yōu)檗D(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。根據(jù)牛頓 第三定律可以把剛體內(nèi)力所做的功視為零，力矩 功僅為外力矩所做功之和而力矩功等于力矩和 角位移的乘積，即chv = MdO（16）與前面的同之處，用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I、角 速度沙代替了之前討論的質(zhì)量?、速度v，則是 把動(dòng)能變?yōu)檗D(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，為(17)在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，其中存在的轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓 第二定

13、律具有相似的數(shù)學(xué)表達(dá)式,它們?yōu)?17)M = 1/3對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律進(jìn)行微分處理，得(18)F M = 1/3對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律進(jìn)行微分處理，得(18)力空間積累與動(dòng)能增量的關(guān)系，一是力所做 的功等于動(dòng)能的增量，二是力矩功等轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的 增量。對(duì)于雙轉(zhuǎn)動(dòng)模型回進(jìn)行分析，具體見圖3所重力做功使動(dòng)能變化圖重力做功使動(dòng)能變化圖3雙轉(zhuǎn)動(dòng)模型中，大的空心圓環(huán)以角速度/轉(zhuǎn) 動(dòng),質(zhì)量為m的小圓球在圓環(huán)中以角速度礦沿內(nèi) 壁從A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)B點(diǎn)，圓環(huán)和小球之間無摩擦力。 HH、R分別為空心圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸和半徑?？招膱A 環(huán)和小圓球構(gòu)成了連動(dòng)的雙動(dòng)模型。諸多外力在 此研究對(duì)象中，是不產(chǎn)生力矩的，于是雙動(dòng)模型的 角動(dòng)量是守恒的。小圓球A點(diǎn)轉(zhuǎn)

14、動(dòng)滾到B點(diǎn)，它 僅僅受到重力且與轉(zhuǎn)動(dòng)軸平行，則有,/。機(jī)0 =&（21）一般情況，守恒定律是討論力空間積累與動(dòng) 能增量的關(guān)系的前提條件。對(duì)于小圓球來說，從 A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，重力所做功會(huì)使雙動(dòng)模型 的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能發(fā)生變化。則有(19)(19)M = I0 = I也=1竺亞=赫竺dt d0 dt d0_ 50，+十3” _5（22）把（21）式中的代入（22）式，綜合整理得對(duì)（15）式取初始條件并積分，得（20）wiJJo + mR2mv = 2mgR + J0Wq -( Jo + mR2)= 2mgR + J0wl(JWo)2Jo + mR2*燮+ 一出*5*（23）從（21）、（22）和（23）式，考慮角動(dòng)量守恒和 能量變化，可以導(dǎo)出雙轉(zhuǎn)動(dòng)模型小圓球在B點(diǎn)相對(duì) 環(huán)的線速度。四、結(jié)語力空間積累與動(dòng)能狀態(tài)量的關(guān)系，在中學(xué)物 理中可以從動(dòng)能定理看出，是用動(dòng)能狀態(tài)量的增 量來等值計(jì)算過程功。大學(xué)物理中，是利用微積 分方法和牛頓第二定律導(dǎo)出動(dòng)能定理得微分形 式。中學(xué)、大學(xué)的物理知識(shí)