數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)課件

1、 主講：馬俊青副教授 咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué) 個(gè)人簡(jiǎn)介 馬俊青 男 副教授，在咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)信學(xué)院任教，1987年7月畢業(yè)于寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，獲理學(xué)學(xué)士，2002-2003年在西北大學(xué)數(shù)學(xué)研究生學(xué)習(xí)，主要研究方向數(shù)學(xué)教育教學(xué)，陜西數(shù)學(xué)教育學(xué)會(huì)理事。近幾年來(lái)發(fā)表研究學(xué)術(shù)論文二十多篇，參編大學(xué)教學(xué)專(zhuān)著四部。基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育新課程改革以來(lái)，除本身的教學(xué)工作還經(jīng)常受邀，承擔(dān)小學(xué)數(shù)學(xué)教師、初中數(shù)學(xué)教師和高中數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)工作。 數(shù)學(xué)思想方法提出的背景數(shù)學(xué)思想方法的作用、地位、意義數(shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原則數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中滲透的策略 數(shù)學(xué)

2、思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁 數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)能力的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想和方法擔(dān)當(dāng)起了指導(dǎo)加工的重任，它不僅提供思維策略，而且還提供了實(shí)施目標(biāo)的具體手段 數(shù)學(xué)思想方法的作用、地位、意義數(shù)學(xué)思想方法的作用、地位、意義數(shù)學(xué)思想方法有助于應(yīng)用意識(shí)的加強(qiáng) 只有當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的高度上掌握數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，才能較好地形成數(shù)學(xué)能力，受益終身數(shù)學(xué)思想方法的作用、地位、意義數(shù)學(xué)思想方法促進(jìn)良好思維品質(zhì)的形成 數(shù)學(xué)的基本思想方法和思維品質(zhì)之間有密切聯(lián)系，但思想方法對(duì)培養(yǎng)思維品質(zhì)的作用并不是絕對(duì)的一對(duì)一的關(guān)系。數(shù)學(xué)基本思想方法系統(tǒng)有助于形成良好的思維品質(zhì)，如思維的深刻性、廣闊性、批判性、嚴(yán)謹(jǐn)性等的形成。

3、數(shù)學(xué)思想方法的作用、地位、意義數(shù)學(xué)思想方法有利于學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律，即數(shù)學(xué)的基本概念，定理，公理，方法相互滲透相互關(guān)聯(lián)而形成的梯級(jí)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有如下三個(gè)特征: (1)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)新知識(shí)起固定作用的舊知識(shí)的可利用性。（2)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中新知識(shí)與同化它的原有舊知識(shí)的可辯性程度 (3)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中起固定作用的舊知識(shí)的穩(wěn)定性和清晰性程度。 數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)方法是指在數(shù)學(xué)

4、地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題）過(guò)程中，所采用的各種方式、手段、途徑等，其中包括變換數(shù)學(xué)形式。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的關(guān)系數(shù)學(xué)思想是相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和精神實(shí)質(zhì)數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)方法起調(diào)控作用 用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)的數(shù)學(xué)方法。往往可以超脫這個(gè)特定的情境，或者變化模式適應(yīng)情景，或者變化情景以適應(yīng)模式，這就表現(xiàn)出一種思維的靈活性，而在這里起調(diào)控作用的正是數(shù)學(xué)思想，中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)基本思想方法新課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)的基本思想主要有： (1) 數(shù)學(xué)的抽象思想 (2)數(shù)學(xué)的推理思想 (3) 數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)抽象思想數(shù)學(xué)抽象思想派生: 分類(lèi)思想、集合思想、數(shù)形結(jié)合思想、符號(hào)表示思想、對(duì)稱(chēng)思想、對(duì)

5、應(yīng)思想、有限與無(wú)限思想等。數(shù)學(xué)推理思想 數(shù)學(xué)推理思想派生: 歸納思想、演繹思想、公理化思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、理想類(lèi)比思想、逐步逼近思想、代換思想、特殊一般思想等。數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)一步派生: 簡(jiǎn)化思想、量化思想、函數(shù)思想、方程思想、優(yōu)化思想、隨機(jī)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想等。分類(lèi)的思想 分類(lèi)是通過(guò)比較數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，然后根據(jù)某一種屬性將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法。分類(lèi)討論既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法其作用在于克服思維的片面性，防止漏解。從教材的知識(shí)內(nèi)容來(lái)看，無(wú)論是客觀上或是微觀上都滲透著分類(lèi)的思想。通過(guò)分類(lèi)可以化整為零，變一般為特殊，變模糊為清晰，變抽象

6、為具體，使思維過(guò)程條理清楚，目的明確。 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合的思想方法是指將數(shù) ( 量 ) 與 ( 圖 ) 形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究、解決問(wèn)題的一種思維策略。例如，在講平方差公式時(shí)，可用面積間的關(guān)系構(gòu)造它的直觀模型，通過(guò)“數(shù)”與“式”之間的對(duì)比來(lái)驗(yàn)證、理解，從而掌握公式。符號(hào)表示思想 用字母和符號(hào)來(lái)表示一般規(guī)律和規(guī)則，是從作為經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的“算學(xué)”進(jìn)步到作為理論科學(xué)的“數(shù)學(xué)”的第一個(gè)標(biāo)志用字母和符號(hào)來(lái)表示不僅僅限于用它們來(lái)表示“數(shù)”，也可以用它們來(lái)表示任意的具有一定通性的“量” （數(shù)量、向量、變換、命題、事件等等）及其運(yùn)算因此，它已經(jīng)成為一種最基本的數(shù)學(xué)思想用字母和符號(hào)來(lái)表示有關(guān)對(duì)象關(guān)系，簡(jiǎn)潔、

7、明確，增大了信息密度和思維容量這種抽象的形式有時(shí)反而帶來(lái)“思維的直觀”對(duì)應(yīng)思想 對(duì)應(yīng)的思想就是用“聯(lián)系的觀點(diǎn)”來(lái)看待自然界或社會(huì)上的各種變量之間的關(guān)系 ，對(duì)應(yīng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要概念之一，它所反映的是兩個(gè)集合的元素之間關(guān)系，對(duì)應(yīng)是人的思維對(duì)兩個(gè)集合間聯(lián)系的把握，對(duì)應(yīng)將各種類(lèi)別、各種層次的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)，呈現(xiàn)出它們之間某些相似或相同的屬性，使各種數(shù)學(xué)對(duì)象能夠相互結(jié)合轉(zhuǎn)化。對(duì)應(yīng)思想方法在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛：點(diǎn)與數(shù)之間對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)之間對(duì)應(yīng)，角與角的對(duì)應(yīng)，線(xiàn)段與線(xiàn)段的對(duì)應(yīng)，量與量之間的對(duì)應(yīng)等 有限與無(wú)限思想 有限與無(wú)限的思想就是將無(wú)限的問(wèn)題化為有限來(lái)求解，將有限的問(wèn)化為無(wú)限來(lái)解決，利用已經(jīng)掌握的無(wú)限問(wèn)題的結(jié)論

8、來(lái)解決新的無(wú)限問(wèn)題，把無(wú)限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限問(wèn)題來(lái)研究是解決無(wú)限問(wèn)題的必由之路，積累無(wú)限問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)，將有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)限問(wèn)題解決是一種方向，同時(shí)也利于解決新的無(wú)限問(wèn)題。演繹思想 演繹思想是指從一般性原理導(dǎo)出特殊性結(jié)論的思維方法，也就是從一般到特殊的推理方法，由于演繹推理的特殊性結(jié)論包含在一般性原理之中，因而它的前提和結(jié)論之間存在著必然聯(lián)系，從真實(shí)的前提一定能導(dǎo)出真實(shí)的結(jié)論，演繹法是一種必然性推理。公理化思想 數(shù)學(xué)的任何一個(gè)分支或者理論，基本都是由假設(shè)、概念、命題、定理、推論組成的。一個(gè)概念的定義、一個(gè)命題的證明都必須從一些已知的概念和已證明的命題出發(fā)，而作為出發(fā)點(diǎn)的這些概念和命題又依賴(lài)于另一些

9、概念和命題。如此環(huán)環(huán)相扣地追溯，必然會(huì)存在一些無(wú)法再定義的概念和再證明的命題，這些概念和命題會(huì)以“約定”的形式給出，作為其它所有概念和命題的出發(fā)點(diǎn)。這樣的概念數(shù)學(xué)上定義為“基本概念”，這樣的命題稱(chēng)為“公理”。由基本概念和公理構(gòu)成一個(gè)公理系統(tǒng)，而在公理系統(tǒng)地基礎(chǔ)上，可以演繹出該學(xué)科的所有概念和命題這種構(gòu)造邏輯系統(tǒng)的思想稱(chēng)之為“公理化思想”，相應(yīng)的方法則稱(chēng)為“公理化方法”。轉(zhuǎn)化化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸”思想是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種基本策略.轉(zhuǎn)化和化歸就是對(duì)原問(wèn)題換一個(gè)方式、換一個(gè)角度、換一個(gè)觀點(diǎn)加以考慮，就是在數(shù)學(xué)研究中，把要解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化，再轉(zhuǎn)化，化歸為一類(lèi)已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題，從而使問(wèn)

10、題得到圓滿(mǎn)解決的思維方法. 這種方法的關(guān)鍵在于尋找待求問(wèn)題與已知知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯關(guān)系?；瘹w思想貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的始終。它是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見(jiàn)最重要的思想方法。 逐步逼近思想 根據(jù)問(wèn)題的條件確定解決問(wèn)題的大致范圍，然后通過(guò)不斷改進(jìn)方法或者排除不可能的情形，逐步縮小問(wèn)題的解的存在范圍，從而最終獲得問(wèn)題的結(jié)果。這種思想稱(chēng)之為逐步逼近思想.代換思想 根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，適當(dāng)選取能夠以簡(jiǎn)馭繁、化難為易的變換，以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的化歸的數(shù)學(xué)思想方法為代換思想，初等數(shù)學(xué)中的代換有變量替換、換元、增量替換和等量代換等。特殊一般思想 對(duì)于某個(gè)一般性數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果一時(shí)難以解決，那么可以先解決它的特殊情況，即從研究對(duì)

11、象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繉儆谶@個(gè)全體的一個(gè)對(duì)象或部分對(duì)象，然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)論應(yīng)用推廣到一般問(wèn)題上，從而獲得一般性問(wèn)題的解答，這種用來(lái)指導(dǎo)解決問(wèn)題的思想稱(chēng)之為特殊化思想；反之當(dāng)我們遇到某些特殊問(wèn)題很難解決時(shí)，不妨適當(dāng)放寬條件，把待處理的特殊問(wèn)題放在一個(gè)更為廣泛、更一般的問(wèn)題中加以研究，先解決一般情形，再把解決一般情形的方法或結(jié)果應(yīng)用到特殊問(wèn)題的解決，這種用來(lái)指導(dǎo)解決問(wèn)題的思想稱(chēng)之為一般化思想。簡(jiǎn)化思想 數(shù)學(xué)中化繁為簡(jiǎn)、化難為簡(jiǎn)、化抽象為直觀，把待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行有目的、有根據(jù)的連續(xù)化簡(jiǎn)，即在完全合乎邏輯的前提下，把原問(wèn)題連續(xù)地化成比較簡(jiǎn)單的題目，直到新的題目與原題的結(jié)論或條件產(chǎn)生明顯的

12、邏輯關(guān)系為止的數(shù)學(xué)思想稱(chēng)之為簡(jiǎn)化思想。量化思想 數(shù)學(xué)研究的最基本的問(wèn)題是現(xiàn)實(shí)世界客觀存在的事物的多與少、大與小、位置及位置的變化可能性大小，等等，這樣就產(chǎn)生了數(shù)以及表示數(shù)的字母，刻畫(huà)位置的坐標(biāo)，刻畫(huà)可能性的概率，以及進(jìn)一步的方程、不等式、函數(shù)、曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)、隨機(jī)變量及其概率的分布、分布的函數(shù)，等等數(shù)學(xué)總是從量的方面來(lái)描述客觀世界的，把客觀事物進(jìn)行量化的描述是數(shù)學(xué)的基本任務(wù)，把數(shù)學(xué)的這種戰(zhàn)略思想稱(chēng)之為量化思想。函數(shù)的思想 用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，分析研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)形式把這種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行刻劃并加以研究，從而使問(wèn)題獲得解決，稱(chēng)為函數(shù)思想方法。靈活運(yùn)用好函數(shù)思想能解決許多數(shù)學(xué)

13、問(wèn)題。方程的思想 運(yùn)用方程的思想方法，就是根據(jù)問(wèn)題中已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程 ( 組 ) 問(wèn)題。優(yōu)化思想 在數(shù)學(xué)研究中, 常常是以對(duì)象的“最優(yōu), 為研究目標(biāo). 如路程最短、運(yùn)費(fèi)最省、投入最少產(chǎn)量最大、利潤(rùn)最多等.這些何題中貫穿了一種統(tǒng)籌的數(shù)學(xué)思想即最優(yōu)化的思想. 它具有兩重含義, 一是指所研究目標(biāo)與“最優(yōu)”有關(guān); 二是指解決間題的方法最優(yōu)化。隨機(jī)思想 隨機(jī)思想是概率論的核心思想， 是從個(gè)別偶然的現(xiàn)象發(fā)展到這種偶然現(xiàn)象所表現(xiàn)出的一種內(nèi)在的必然規(guī)律。一般地，必然性是通過(guò)偶然性表現(xiàn)出來(lái)，偶然性背后隱藏著必然性。隨機(jī)思想是通過(guò)對(duì)這種偶然性的研究去發(fā)現(xiàn)其背后的必

14、然性即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性， 并通過(guò)這種必然性去理解、認(rèn)識(shí)和把握隨機(jī)現(xiàn)象。任何隨機(jī)事件的發(fā)生都具有概率規(guī)律， 探求這個(gè)規(guī)律的做法就體現(xiàn)著隨機(jī)思想。抽樣統(tǒng)計(jì)的思想 在收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)中， 會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，根據(jù)樣本的信息，如平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差、統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表等，去估計(jì)總體的特征，感受隨機(jī)抽樣的必要性和重要性，掌握抽樣統(tǒng)計(jì)思想。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原則滲透原則系統(tǒng)性原則循序漸進(jìn)原則實(shí)踐性原則 滲透原則 所謂滲透原則，是指在具體知識(shí)教學(xué)中，一般不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，而是通過(guò)精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程，有意識(shí)潛移默化。1)挖掘滲透內(nèi)容2)把握滲透的方法系統(tǒng)性原則 對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的

15、系統(tǒng)性的研究，一般需要從兩個(gè)方面進(jìn)行: 一方面要研究在每一種具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中可以進(jìn)行哪些數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué). 另一方面，又要研究一些重要的數(shù)學(xué)思想方法可以在哪些知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中進(jìn)行，從而在縱橫兩個(gè)維度上整理出數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)。循序漸進(jìn)原則 學(xué)生對(duì)每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，一般要經(jīng)歷三個(gè)階段。 (一)是模仿形成階段（二）是觀念形成階段（三）是理解應(yīng)用階段實(shí)踐性原則 遵循實(shí)踐性原則，就是在實(shí)際教學(xué)中，教師要特別注重營(yíng)造教學(xué)氛圍，要給學(xué)生提供思想活動(dòng)的素材、時(shí)機(jī)，悉心引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程中，在親自的實(shí)踐活動(dòng)的中，接受熏陶，不斷提煉思想方法、活化思想方法，形成用思想方法指導(dǎo)思維活動(dòng)，探索問(wèn)題解答策略的良好習(xí)慣數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)實(shí)施引入數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)思想方法在