高量產(chǎn)生算符和消滅算符

1、31 產(chǎn)生算符和消滅算符31-1 定義討論B表象，以單粒子算符B的本征矢量|b為基礎(chǔ)。 一、產(chǎn)生算符a+(b) 首先定義一個(gè)什么粒子都沒(méi)有的狀態(tài)|0（真空態(tài)），從而確定了一個(gè)n=0的一維空間R0。定義一個(gè)算符a+(b)，用它來(lái)得出n=1,2,3,等系統(tǒng)的B表象的基矢： 1高量產(chǎn)生算符和消滅算符稱(chēng)a+(b)為產(chǎn)生算符。它的意義是：a+(b)作用在一個(gè)n粒子B值確定的狀態(tài)上，所得狀態(tài)是在原狀態(tài)中增加一個(gè)B值為b的粒子。2高量產(chǎn)生算符和消滅算符注意：對(duì)于Bose子和Fermi子，a+(b)算符是不同的。對(duì)于Bose子，b與已有的相同；但對(duì)Fermi子，若b與已有的之一相同，則a+(b)對(duì)態(tài)作用的結(jié)果

2、為零。之一可以3高量產(chǎn)生算符和消滅算符粒子數(shù)n任意的系統(tǒng)的基矢統(tǒng)一用真空態(tài)|0和適當(dāng)?shù)漠a(chǎn)生算符表示出來(lái)：在R0空間 在R1空間 在R2空間 在Rn空間 4高量產(chǎn)生算符和消滅算符產(chǎn)生算符作用的次序?qū)τ贐ose子沒(méi)有關(guān)系，對(duì)Fermi子則不然。由于新產(chǎn)生的粒子規(guī)定要寫(xiě)在基矢的最左端，所以對(duì)易關(guān)系:5高量產(chǎn)生算符和消滅算符二、消滅算符a(b) 作為a+(b)的伴算符，a(b)是對(duì)左矢的產(chǎn)生算符：對(duì)易關(guān)系 6高量產(chǎn)生算符和消滅算符也可以寫(xiě)出將a(b)作用在右矢上,7高量產(chǎn)生算符和消滅算符與任一個(gè)右矢作內(nèi)積，則由30.9式有8高量產(chǎn)生算符和消滅算符上式對(duì)一切左矢成立，于是 可見(jiàn)：1）a(b)把n粒子基矢

3、變成(n-1)粒子基矢，因此a(b)是消滅算符；2）若在則算符a(b)的作用正是去掉這個(gè)粒子得出其余(n-1)個(gè)粒子的態(tài)，如沒(méi)有粒子處于b態(tài)，則a(b)對(duì)此態(tài)的作用結(jié)果為零；態(tài)中有一個(gè)粒子處在b態(tài)，9高量產(chǎn)生算符和消滅算符4）可以得到對(duì)易關(guān)系3）若在(Bose子系統(tǒng))，則a(b)的作用是將處于b態(tài)的粒子對(duì)稱(chēng)地（處于b態(tài)的粒子地位相同，都要去掉）去掉一個(gè)，仍得出(n-1)粒子的態(tài)。中有兩個(gè)以上的粒子處于b態(tài)10高量產(chǎn)生算符和消滅算符31-2 占有數(shù)密度算符和總粒子數(shù)算符由產(chǎn)生算符和消滅算符可以造出兩個(gè)算符：這兩個(gè)算符對(duì)任意一基矢的作用是11高量產(chǎn)生算符和消滅算符而最后一步利用了 12高量產(chǎn)生算符

4、和消滅算符可見(jiàn)：1）每一個(gè)n粒子基矢都是N的本征矢量，即對(duì)稱(chēng)化的n粒子空間Rn是N的本征子空間，本征值是系統(tǒng)的總粒子數(shù)n；2）每一個(gè)基矢也是N(b)的本征矢量，其本征值要看基矢中的bbb等不等于b，若沒(méi)有等于b的，本征值為零，若有l(wèi)個(gè)等于b的，則本征值是l個(gè)函數(shù)之和。N是總粒子數(shù)算符，N(b)是占有數(shù)密度算符。13高量產(chǎn)生算符和消滅算符對(duì)易關(guān)系 將此二式積分，可得N與它們的對(duì)易關(guān)系以上四個(gè)對(duì)易關(guān)系對(duì)Bose子和Fermi子都一樣。14高量產(chǎn)生算符和消滅算符31-3 位置表象和表象變換一、位置表象如果取單粒子力學(xué)量B為粒子的坐標(biāo)X（3D運(yùn)動(dòng)時(shí)包括X1,X2,X3三個(gè)算符，它們是一組算符完備組），

5、就可得到對(duì)稱(chēng)化的位置表象。這一表象中的對(duì)稱(chēng)化基矢為|n;xxx，它們滿(mǎn)足正交歸一化條件和完備性條件：15高量產(chǎn)生算符和消滅算符由于歷史的原因，習(xí)慣上用表示產(chǎn)生算符表示消滅算符位置表象是連續(xù)表象，產(chǎn)生和消滅算符的作用是16高量產(chǎn)生算符和消滅算符對(duì)稱(chēng)化基矢可以寫(xiě)成由產(chǎn)生算符表示的形式：產(chǎn)生算符和消滅算符的對(duì)易關(guān)系是占有數(shù)密度算符與總粒子數(shù)算符是17高量產(chǎn)生算符和消滅算符二、表象變換討論B表象和X表象之間的變換問(wèn)題。設(shè)X表象是已知的，現(xiàn)用X表象中的量去表示B表象中的量。B表象的對(duì)稱(chēng)化基矢是（應(yīng)用完全性關(guān)系） 18高量產(chǎn)生算符和消滅算符式中的是由X表象變到B表象的變換矩陣。用X表象產(chǎn)生和消滅算符去表示

6、B表象中的產(chǎn)生和消滅算符：19高量產(chǎn)生算符和消滅算符利用內(nèi)積定理 由于下式顯然滿(mǎn)足下列關(guān)系20高量產(chǎn)生算符和消滅算符故上式右邊各項(xiàng)分別出現(xiàn)一個(gè)Rn空間的完全性關(guān)系，將這些完全性關(guān)系去掉，各項(xiàng)就剩下一重積分了，于是有上式右邊的(n+1)項(xiàng)積分是完全相同的，故得21高量產(chǎn)生算符和消滅算符兩邊取伴算符，得這就是X表象和B表象之間產(chǎn)生算符和消滅算符的關(guān)系，式中只有X和B的單粒子本征矢量的內(nèi)積，它是單粒子表象變換時(shí)的幺正矩陣元。22高量產(chǎn)生算符和消滅算符同樣可以寫(xiě)出與上面相反的關(guān)系：顯然，若B為動(dòng)量P，這時(shí)則有這非常類(lèi)似單粒子在x表象的態(tài)函數(shù)與p表象的態(tài)函數(shù)之間的關(guān)系Fourier變換。23高量產(chǎn)生算符

7、和消滅算符31-4 算符的二次量子化一、力學(xué)量G的普遍形式系統(tǒng)的力學(xué)量G可以寫(xiě)成單體力學(xué)量，如動(dòng)能、在外場(chǎng)中的勢(shì)能等 雙體力學(xué)量，如相互作用勢(shì)能等 三體力學(xué)量，凝聚態(tài)物理和原子核物理 24高量產(chǎn)生算符和消滅算符二、G的二次量子化形式寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)化的b表象的形式，用完全性關(guān)系作用到G的兩邊，利用上升算符的作用規(guī)律，得25高量產(chǎn)生算符和消滅算符上式積分中的矩陣元中，單體算符項(xiàng)為26高量產(chǎn)生算符和消滅算符雙體項(xiàng)算符為首先，可以把完全消去。27高量產(chǎn)生算符和消滅算符然后，（31.30）式中的n項(xiàng)單體算符項(xiàng)在積分后也是完全相同的，同樣（31.31）式中的n(n-1)/2項(xiàng)積分后也是完全相同的，依次類(lèi)推。 于

8、是得 28高量產(chǎn)生算符和消滅算符在上式等號(hào)右邊雙體算符的積分中出現(xiàn) 即雙體算符在i處于 態(tài)，j處于 態(tài)及i的 態(tài)和j的 之間的矩陣元。未經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)化處理 不論i和j取什么值，這一矩陣元是相同的。 29高量產(chǎn)生算符和消滅算符計(jì)算(31.33)式中的積分。先討論單粒子項(xiàng)：首先可以進(jìn)行(n-1)重積分，把函數(shù)積掉。然后通過(guò)上升算符的作用后，就會(huì)看到式中出現(xiàn)了一個(gè)(n-1)粒子系統(tǒng)基矢的完全性關(guān)系，去掉這個(gè)完全性關(guān)系（因?yàn)樗扔?）就又帶走了（n-1）重積分，最后只剩下兩重積分，即單粒子項(xiàng)為30高量產(chǎn)生算符和消滅算符其余各項(xiàng)也可類(lèi)似處理，最后得算符G的表示式為這是算符G的二次量子化形式。 31高量產(chǎn)生算

9、符和消滅算符在對(duì)稱(chēng)化的位置表象中的形式： 32高量產(chǎn)生算符和消滅算符31-5 巨Hilbert空間（Fock空間）對(duì)于全同粒子系統(tǒng)，已經(jīng)有了對(duì)稱(chēng)化的Hilbert空間Rn，其中n是粒子數(shù)，可以等于0,1,2,。但是產(chǎn)生算符和消滅算符并不是上述任何一個(gè)空間的算符，它作用于一個(gè)空間中的矢量上，得出的是另一個(gè)空間中的矢量。產(chǎn)生算符作用到Rn中的一個(gè)矢量時(shí)，得出的是(n+1)粒子的狀態(tài)，即Rn+1中的矢量。同樣，消滅算符則得出一個(gè)Rn-1中的矢量?？梢?jiàn)使用產(chǎn)生和消滅算符，就要同Rn以外的空間Rn+1和Rn-1，甚至Rn+2和Rn-2打交道。33高量產(chǎn)生算符和消滅算符現(xiàn)在取R0,R1,R2,等所有粒子數(shù)不同的空間的直和，構(gòu)成一個(gè)大空間RG，稱(chēng)為巨Hilbert空間或Fock空間 每一個(gè)n粒子空間都是巨Hilbert空間的一個(gè)子空間，每個(gè)子空間都是總粒子數(shù)算符N的本征子空間，本征值就是n。這是簡(jiǎn)并度極高的本征子空間。 34高量產(chǎn)生算符和