淺析正太分布

1、 唐山師范學(xué)院本科畢業(yè)論文題目淺析正態(tài)分布學(xué)生陳煥指導(dǎo)教師滕文凱教授年級(jí)2010級(jí)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系別數(shù)計(jì)系唐山師范學(xué)院數(shù)計(jì)系2010年5月鄭重聲明本人的畢業(yè)論文是在指導(dǎo)教師滕文凱教授的指導(dǎo)下獨(dú)立撰寫完成的。如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵犯的行為，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的各種后果。直至法律責(zé)任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督。特此聲明。畢業(yè)論文作者：陳煥2012年2月11日目錄標(biāo)題4中文摘要4正太分布的背景及歷史發(fā)展4正太分布的定義5TOC o 1-5 h z正太分布的特征5正太分布的曲線特征5 HYPERLINK l bookmark10 正態(tài)曲線下面積分布6 HYPERLI

2、NK l bookmark12 特殊的正太分布一標(biāo)準(zhǔn)正太分布6標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概念6一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化6正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系6 HYPERLINK l bookmark16 正太分布曲線應(yīng)用7綜述7 HYPERLINK l bookmark18 正太分布在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用8 HYPERLINK l bookmark20 統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)8概率論中最重要的分布8 HYPERLINK l bookmark24 正太分布的意義9整體論9重點(diǎn)論9發(fā)展論9總結(jié)10參考文獻(xiàn)10致謝11淺析正態(tài)分布陳煥摘要在概率論中有一種十分重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布即正太分布。它也是自然界最為

3、常見的一種分布。實(shí)際問題中的許多隨機(jī)變量現(xiàn)象都服從或者近似服從正態(tài)分布。正太分布對(duì)概率論統(tǒng)計(jì)中的理論研究和實(shí)際應(yīng)用騎著非常重要的作用。本文首先從正太分布的背景出發(fā)，介紹了它的來源、歷史發(fā)展進(jìn)程，然后闡釋了它的定義、性質(zhì)、圖像、特征，而后介紹了典型的正太分布即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，最后根據(jù)其定義、性質(zhì)、特征闡述了它在我們?nèi)粘Ｉ睢⑸a(chǎn)以及科學(xué)研究中的用途和所起的作用與其發(fā)展方向。關(guān)鍵字正太分布高斯分布方差圖像特征正太分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中是一個(gè)非常重要的理論和實(shí)踐價(jià)值的分布。數(shù)學(xué)中的極限定理證明，如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互隨機(jī)獨(dú)立的因素影響造成的（不管這些因素本身服從什么分布），那么這個(gè)變量就服從或

4、者近似服從正態(tài)分布。因此，由不能控制的大量偶然因素所造成的隨機(jī)誤差就服從或者近似服從正態(tài)分布一、正態(tài)分布的背景及歷史發(fā)展正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre于1733年首次提出的，但由于德國數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布，高斯這項(xiàng)工作對(duì)后世的影響極大，他使正態(tài)分布同時(shí)有了“高斯分布”的名稱，后世之所以多將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于他，也是出于這一工作。高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，重要的貢獻(xiàn)不勝枚舉。但現(xiàn)今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這傳達(dá)了一種想法：在高斯的一切科學(xué)貢獻(xiàn)中，其對(duì)人類文

5、明影響最大者，就是這一項(xiàng)。在高斯剛作出這個(gè)發(fā)現(xiàn)之初，也許人們還只能從其理論的簡化上來評(píng)價(jià)其優(yōu)越性，其全部影響還不能充分看出來。這要到20世紀(jì)正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展起來以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并馬上將其與他發(fā)現(xiàn)的中心極限定理聯(lián)系起來，為此，他在即將發(fā)表的一篇文章（發(fā)表于1810年）上加上了一點(diǎn)補(bǔ)充，指出如若誤差可看成許多量的疊加，根據(jù)他的中心極限定理，誤差理應(yīng)有高斯分布。這是歷史上第一次提到所謂“元誤差學(xué)說”誤差是由大量的、由種種原因產(chǎn)生的元誤差疊加而成。后來到1837年，海根（G.Hagen）在一篇論文中正式提出了這個(gè)學(xué)說。其實(shí)，他提出的形式有相當(dāng)大的局限性：海根把誤差設(shè)想成個(gè)數(shù)很多

6、的、獨(dú)立同分布的“元誤差”之和，每只取兩值，其概率都是1/2，由此出發(fā)，按狄莫佛的中心極限定理，立即就得出誤差（近似地）服從正態(tài)分布。拉普拉斯所指出的這一點(diǎn)有重大的意義，在于他給誤差的正態(tài)理論一個(gè)更自然合理、更令人信服的解釋。因?yàn)?，高斯的說法有一點(diǎn)循環(huán)論證的氣味：由于算術(shù)平均是優(yōu)良的，推出誤差必須服從正態(tài)分布；反過來，由后一結(jié)論又推出算術(shù)平均及最小二乘估計(jì)的優(yōu)良性，故必須認(rèn)定這二者之一（算術(shù)平均的優(yōu)良性，誤差的正態(tài)性）為出發(fā)點(diǎn)。但算術(shù)平均到底并沒有自行成立的理由，以它作為理論中一個(gè)預(yù)設(shè)的出發(fā)點(diǎn)，終覺有其不足之處。拉普拉斯的理論把這斷裂的一環(huán)連接起來，使之成為一個(gè)和諧的整體，實(shí)有著極重大的意義。

7、二、正太分布的定義正太分布的概念正態(tài)分布（normaldistribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution）,是具有兩個(gè)參數(shù)卩和。2的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，第一個(gè)參數(shù)卩是服從正太分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)。2是此隨機(jī)變量的方差。即：Fx=亠xe-fdy。所以正太分布記作na_8NU，。2。則其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值M決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差O決定了分布的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是M=0,0=1的正態(tài)分布。三、正太分布的特征（一）正太分布的曲線特征正態(tài)曲線呈鐘型如圖1，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱，曲線與橫

8、軸間的面積總等于1集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。對(duì)稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)p和標(biāo)準(zhǔn)差O，可記作N（p，o）：均數(shù)p決定正態(tài)曲線的中心位置；標(biāo)準(zhǔn)差0決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。0越小，曲線越陡峭；0越大，曲線越扁平。u變換:為了便于描述和應(yīng)用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置。正態(tài)分布以X=p為對(duì)稱軸，左右完全對(duì)稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于p。0描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度，0越大

9、，數(shù)據(jù)分布越分散，0越小，數(shù)據(jù)分布越集中。也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，0越大，曲線越扁平，反之，0越小，曲線越瘦高。注意：30原則：“0小細(xì)高挑，0大腰圓膀又拃”圖1（二）正態(tài)曲線下面積分布1實(shí)際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分比，或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）。不同范圍內(nèi)正態(tài)曲線下的面積可用公式計(jì)算。幾個(gè)重要的面積比例如圖2.軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于1。正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間(M-o,p+o)內(nèi)的面積為68.268949%,橫軸區(qū)間(p-1.96o,p+1.96O)內(nèi)的面積為95.449974%，橫軸區(qū)間(p-2.58o,p+2.58o)內(nèi)的面積為

10、99.730020%。四、特殊的正太分布標(biāo)準(zhǔn)正太分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概念標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p和o2為0和1,通常用(或Z)表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，記為ZN(0,1)。2標(biāo)準(zhǔn)化變換：此變換有特性：若原分布服從正太分布，則Z=(x-u)/oN(0,1)就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，ram后通過查標(biāo)準(zhǔn)正太分布表就可以直接計(jì)算出原正太分布的概率值標(biāo)準(zhǔn)正太分布表：標(biāo)準(zhǔn)正太分布表列出了標(biāo)準(zhǔn)正太曲線下從-8到X(當(dāng)前值)范圍內(nèi)的比例。一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率。只要會(huì)用它求正態(tài)總體在某個(gè)特定區(qū)間的概率

11、即可?！靶「怕适录焙图僭O(shè)檢驗(yàn)的基本思想“小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識(shí)便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點(diǎn)。關(guān)于這一點(diǎn)我們要有以下兩個(gè)方面的認(rèn)識(shí)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來說的，因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，我們也有5%的犯錯(cuò)誤的可能。正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別與聯(lián)系正態(tài)分布也叫常態(tài)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，自然界、人類社會(huì)、心理和教育中大量現(xiàn)象均按正態(tài)形式分布，例如能力的高低，學(xué)生成績的好壞等都屬于正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種

12、，具有正態(tài)分布的所有特征。所有正態(tài)分布都可以通過Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。兩者特點(diǎn)比較：正態(tài)分布的形式是對(duì)稱的，對(duì)稱軸是經(jīng)過平均數(shù)點(diǎn)的垂線。中央點(diǎn)最高，然后逐漸向兩側(cè)下降，曲線的形式是先向內(nèi)彎，再向外彎。正態(tài)曲線下的面積為1。正態(tài)分布是一族分布，它隨隨機(jī)變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小與單位不同而有不同的分布形態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都是固定的，平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。正態(tài)分布曲線下標(biāo)準(zhǔn)差與概率面積有固定數(shù)量關(guān)系。所有正態(tài)分布都可以通過Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。五、正太分布曲線應(yīng)用正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，它不僅在在醫(yī)學(xué)方面起到很大的作用，在生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中也起

13、到十分重要的作用。例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、抗壓強(qiáng)度、口徑、長度等指標(biāo)；同一種生物體的身長、體重等指標(biāo)；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點(diǎn)沿某一方向的偏差；某個(gè)地區(qū)的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個(gè)量是由許多微小的獨(dú)立隨機(jī)因素影響的結(jié)果，那么就可以認(rèn)為這個(gè)量具有正態(tài)分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì)，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導(dǎo)出的，例如對(duì)數(shù)正態(tài)分布、t分布、F分布等。其主要應(yīng)用如下（一）綜述1.估計(jì)頻數(shù)分布一個(gè)服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差就可根據(jù)公式即可估計(jì)任意取

14、值范圍內(nèi)頻數(shù)比例。制定參考值范圍（1）正態(tài)分布法適用于服從正態(tài)（或近似正態(tài)）分布指標(biāo)以及可以通過轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)。（2）百分位數(shù)法常用于偏態(tài)分布的指標(biāo)。表3-1中兩種方法的單雙側(cè)界值都應(yīng)熟練掌握。質(zhì)量控制：為了控制實(shí)驗(yàn)中的測量（或?qū)嶒?yàn)）誤差，常以作為上、下警戒值，以作為上、下控制值。這樣做的依據(jù)是：正常情況下測量（或?qū)嶒?yàn)）誤差服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計(jì)方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計(jì)方法雖然不要求分析指標(biāo)服從正態(tài)分布但相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量在大樣本時(shí)近似正態(tài)分布，因而大樣本時(shí)這些統(tǒng)計(jì)推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。例1.

15、10某地1993年抽樣調(diào)查了100名18歲男大學(xué)生身高（cm）,其均數(shù)=172.70cm,標(biāo)準(zhǔn)差s=4.01cm，估計(jì)該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的百分?jǐn)?shù)；分別求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58S范圍內(nèi)18歲男大學(xué)生占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的實(shí)際百分?jǐn)?shù)，并與理論百分?jǐn)?shù)比較。本例，|J、O未知但樣本含量n較大，用樣本均數(shù)X和標(biāo)準(zhǔn)差S分別代替p和O，求得u值,u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積，在表的左側(cè)找到-1.1,表的上方找到0.07，兩者相交處為0.1210=12.10%。該地18歲男大學(xué)生身高在16

16、8cm以下者，約占總數(shù)12.10%。其它計(jì)算結(jié)果見表1。表1100名18歲男大學(xué)生身高的實(shí)際分布與理論分布分布x+-s身咼范圍（cm）實(shí)際分布人數(shù)實(shí)際分布百分?jǐn)?shù)（%）理論分布（）X+-1s168.69176.716767.0068.27X+-1.96s164.84180.569595.0095.00X+2.58s162.35183.059999.0099.00X+2.58s162.35183.059999.0099.00(二)正太分布在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標(biāo)(變量)雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后

17、的新變量可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)，被稱為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。醫(yī)學(xué)參考值范圍亦稱醫(yī)學(xué)正常值范圍。它是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標(biāo)的波動(dòng)范圍。制定正常值范圍時(shí)，首先要確定一批樣本含量足夠大的“正常人”，所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群；其次需根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰?，?0%，90%，95%和99%，常用95%；根據(jù)指標(biāo)的實(shí)際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，如白細(xì)胞計(jì)數(shù)過高過低皆屬不正常須確定雙側(cè)界值，又如肝功中轉(zhuǎn)氨酶過高屬不正常須確定單側(cè)上界，肺活量過低屬不正常須確定單

18、側(cè)下界。另外，還要根據(jù)資料的分布特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。常用方法有：(1)正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。雙側(cè)界值：X+-u(u)S單側(cè)上界：X+u(u)S，或單側(cè)下界：X-u(u)S(2)對(duì)數(shù)正態(tài)分布法：適用于對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料。雙側(cè)界值：lgTX(lgx)+-u(u)S(lgx)；單側(cè)上界:lg-1X(lgx)+u(u)S(lgx)，或單側(cè)下界：lg-1X(lgx)-u(u)S(lgx)。常用u值可根據(jù)要求由表4查出。百分位數(shù)法：常用于偏態(tài)分布資料以及資料中一端或兩端無確切數(shù)值的資料。雙側(cè)界值：P2.5和P97.5；單側(cè)上界:P95，或單側(cè)下界:P5。表2常用u值表參考值范圍(

19、%)單側(cè)雙側(cè)800.8421.282901.2821.645951.6451.960992.3262.576六、統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)(一)概率論中最重要的分布以下分布都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，u檢驗(yàn)也是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的1.t分布F分布兀、二項(xiàng)分布：pk=P0=k=上pkqn-k,0k0,0k0是某個(gè)常數(shù)，易k!于驗(yàn)證有（1）P單=k0,k=0,1,2+=0p=k）=+=0臨e-a=1此外t分布，二項(xiàng)分布，泊松（Poisson）分布的極限為正太分布，在一定條件下，可以按照正態(tài)分布的原理來處理。七、正太分布的意義在聯(lián)系自然、社會(huì)和思維的實(shí)踐背景下，我們以正態(tài)分布的本質(zhì)為基礎(chǔ)，以正態(tài)分布曲線

20、及面積分布圖為表征（以后談及正態(tài)分布及正態(tài)分布論就要浮現(xiàn)此圖），進(jìn)行抽象與提升，抓住其中的主要哲學(xué)內(nèi)涵，歸納正態(tài)分布論（正態(tài)哲學(xué)）的主要內(nèi)涵如下：（一）整體論正太分布啟示我們，要用整體的觀點(diǎn)來看事物?！跋到y(tǒng)的整體觀念或總體觀念是系統(tǒng)概念的精髓?！闭龖B(tài)分布曲線及面積分布圖由基區(qū)、負(fù)區(qū)、正區(qū)三個(gè)區(qū)組成，并且各區(qū)的比重是不一樣的。用整體來看事物才能看清楚事物的本來面貌，才能得出事物的根本特性。不能只見樹木不見森林，也不能以偏概全。用整體觀來看世界就是要立足在基區(qū)，放眼負(fù)區(qū)和正區(qū)。要看到主要方面，還要看到次要方面，既要看到積極的方面還要看到事物消極的一面，看到事物前進(jìn)的一面還要看到落后的一面。片面看事物必然看到的是偏態(tài)或者是變態(tài)的事物不是真實(shí)的事物本身。（二）重點(diǎn)論正態(tài)分布曲線及面積分布圖非常清晰的展示了重點(diǎn)，那就是基區(qū)占68.27%，是主體，要重點(diǎn)抓，此外95%，99%則展示了正態(tài)的全面性。認(rèn)識(shí)世界和改造世界一定要抓住重點(diǎn)，因?yàn)橹攸c(diǎn)就是事物的主要矛盾，它對(duì)事物的發(fā)展起主要的、支配性的作用。抓住了重點(diǎn)才能一舉其綱，萬目皆張。事物和現(xiàn)象紛繁復(fù)雜，在千頭萬緒中不抓住主要矛盾，就會(huì)陷入無限瑣碎之中。由于我們時(shí)間和精力的相對(duì)有限性，出于效率的追求，我們更應(yīng)該抓住重點(diǎn)。在正太分布中基區(qū)占了主體和重點(diǎn)。（三）發(fā)展論聯(lián)系和發(fā)展是事物發(fā)展變化的基本規(guī)律