矩陣n次方的幾種求法的歸納

1、矩陣n次方的幾種求法1利用定義法A=（勺）$x”B=（如）”初，則C=（為頑其cij=d血+ai2b2j+.+ainbnj=乞認(rèn)稱為A與B的乘積，記為C=ABz則由定義可以看出矩陣A=1與B的乘積C的第i行第j列的元素等于第一個(gè)矩陣A的第i行與第二個(gè)矩陣B的第丿列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和，且由定義知：第一個(gè)矩陣的列數(shù)與第二個(gè)矩陣的行數(shù)要相|njW。r5130、（1253、6210-1021iB=34510134,3x4z.0200.,求AB例上已知矩陣4二解：設(shè)C=瓦，其中心123；)=1,2,3,4由矩陣乘積的定義知：c由矩陣乘積的定義知：cn=1x5+2x64-5x3+3x0=32=1x3+2x

2、1+5x5+3x0=30=-1x5+0 x6+2x3+1x0=1c,3=-lx3+0 xl+2x5+lx0=7=0 x5+1x6+3x3+4x0=15Ci?=1x1+2x2+5x4+3x2=31c14=1x0+2x0+5x14-3x0=5=-lxl+0 x2+2x4+lx2=9=-1x0+0 x0+2x14-1x0=2c32=0 xl+lx2+3x4+4x2=22如=0 x3+1x1+3x5+4x0=16c34=OxO+lxO+3xl+4xO=3將這些值代入矩陣C中得：乜231305、C=AB=1972522163則矩陣A的”次方也可利用定義的方法來求解。2利用矩陣的分塊來求解這類方法主要是把

3、一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成,就如矩陣由數(shù)組成的一樣在運(yùn)算中將這些小矩陣當(dāng)做數(shù)一樣來處理,再由矩陣乘法的定義來求解這些小矩陣的乘積所構(gòu)成的矩陣。即設(shè)A=（呦），B=（如），把A,B分解成一些小矩陣：務(wù)如A=/B=,其中A.是Sjx叫小矩陣且“/矢巨陣且丿=1,2/,=1,2廠；且厲+刃2+/2/=戸/(CC加1+加2+加,=加；令?=&8二:，其中C”是s,x加/C,.Cytif丿矩陣且I12/ij=1，2.，廠+*2+=$/A?】+fmI其中Cq=4&1丿+Ai2B2j+人冋0這里我們應(yīng)注意:矩陣A列的分法必須與矩陣B行的分法一致嘰10000100001021205、386,74x541

4、4325010020、01丿12、r42、，A2=(O6),Bn=45/場(chǎng)1=,06U0丿531、28由矩陣乘積法則知:AB=B+A2B21k人2百1+人22直214x2由矩陣加法和乘積法則知山:(98AB=936、255236丿4x2則矩陣A的”次方的求解也可利用以上方法來求解。3利用數(shù)學(xué)歸納法求解這種方法與矩陣定義山和數(shù)學(xué)歸納法國相結(jié)合，從而找出規(guī)律再求解，但是這種方法比較適合低階且有規(guī)律的方陣次方的運(yùn)算巴比IriMrna（COS。一Sill。）上例3:已知A二,求Asin8cos&cos。-sin。、L(COS0_sin0、cos0一sin。、sin0COS0)、sin0COS0)、si

5、n0cos。丿cos20-sin20-2cos6sin6cos20一sin20、2cosdsindcos20-sin20)、sin20cos20)(cos0一sin0scos。-siii9Ycos0-sin。、sin0COS0丿、sin0COS0丿Isin0COS0丿V10例4:已知A二011/求A”001;/0解:A=E+B,其中0010、o1，矩陣E為單位陣且E2=E00丿EB=BE=B；故=(E+=E+C；rB+CB2+CnnBnP10(010、P01由宀001001000,000?、000丿,000?10、010、r001、10、b3=001001000001000000,00000丿

6、/00、000000丿則心3時(shí)，Bn=0o故A”=E+C：（B+C：B2由矩陣加法運(yùn)算法則知閃r1力二005利用相似矩陣求解（利用對(duì)角矩陣來求）定義：設(shè)矩陣4/為數(shù)域P上兩個(gè),7級(jí)矩陣，如果可以找到數(shù)域P上的H級(jí)可逆陣X，使得矩陣B=X-AX，就說A與B相似山。如果矩陣4或B有一個(gè)可以化成對(duì)角矩陣則計(jì)算比較簡(jiǎn)便。而判斷矩陣A可對(duì)角化的條件有山:1）矩陣A可對(duì)角化的必要條件是矩陣A有“個(gè)不同的特征值2）矩陣A可對(duì)角化的充要條件是矩陣A有個(gè)”線性無關(guān)的特征向量3）在復(fù)數(shù)域上矩陣A沒有重根而求矩陣A的特征值和特征向量的方法有山:1)求矩陣4特征多項(xiàng)式RE-4|在數(shù)域P中的全部根,這些根是矩陣A的全部

7、特征值。把這些所求的特征值逐個(gè)的代入方程組(AE-A)X=0中，對(duì)于每一個(gè)特征值,解方程組(征-A)X=0，求出一組基礎(chǔ)解系，那么這個(gè)基礎(chǔ)解系就是屬于這個(gè)特征值的特征向量。再利用判別法判斷矩陣A是否可對(duì)角化。TT丫110、6a2=-1-11/10-1令.由求逆矩陣的方法知:C1(111C10-1-1,110丿因?yàn)榫€性變換在不同基下所對(duì)應(yīng)的矩陣是相似的知：ClAC=B所以(C-1AC)=C-AnC=Bn,則Bn=V00、”0-10、Bn=V00、”0-10、003丿3x30(-1)”00)03/3x3由=CBCl，由矩陣的乘法運(yùn)算法則知：1-（-1/1-（-1）A,=3n-l（-1）”+3“-1

8、（-1）-1131-3”1v人x32）對(duì)方陣A,設(shè)片（2）=（2EA）,對(duì)（斤（刃&）做初等變換，化成（D（2）P（A）其中0可為上三角陣，則矩陣口無）主對(duì)角線上元素乘積的A的多項(xiàng)式的根即為A的特征根A。對(duì)矩陣A的任一特征根代入（口可P（2）中，若仏）中非零向量構(gòu)成一滿秩矩陣則仏）行向量所對(duì)應(yīng)的P（4）中的行向量勺即為人的特征向量；否則,繼續(xù)施行初等行變換,使得仏）中非零向量構(gòu)成一滿秩矩陣，則D仏）中零向量所對(duì)應(yīng)的P仏）中的行向量勺即為A的特征向量叫這類問題所涉及的定理是:對(duì)任意方陣A的特征矩陣F（2）經(jīng)過行變換，可化為上三角矩陣G（A），且G（可主對(duì)角線上元素乘積久的多項(xiàng)式的根即為矩陣A的特

9、征值。211例6:已知矩陣A=121，求川112丿3x3假-2-1-1100、解：（F（2）Ej=-12-2-1010-1-1A-2001伽等行變換(-1(-1A-2-101A-2-1-110-1-1A-200-12-2-100才-42+31兄001-2x-10r-l2-2-101-22-100(A-4)(2-l)0、0b10、2-20-1L010、0-11=(中)P33)112-3/由上述定理知:矩陣4的特征值為1（二重），4由上述定理知:矩陣4的特征值為1（二重），4。r-l-1當(dāng)；1=1時(shí)z(z)(l)p(l)=00.00-10100-11,由2）中判011別法知:矩陣的特征向量為：g=

10、（0-11)別法知:矩陣的特征向量為：g=（0-11),11(-1當(dāng)2=4(-1當(dāng)2=4時(shí)，(Q(4)P(4)=0k0-2-101-330-100110、1,由2）中判1丿別法知：矩陣A的特征向量為：=（111）100)則由相似矩陣的條件知：矩陣與對(duì)角矩陣相似且對(duì)角矩陣為010011、100則存在可逆陣T=-111使得廠M=0101-2b1004丿由求可逆陣的方法知:1-10_1_3_31333(100、n100、由占=T0101=T010L知k04J/丿(004；打打4“+2)6利用若當(dāng)形矩陣求解這類方法主要是運(yùn)用任何一個(gè)”級(jí)復(fù)矩陣都相似一個(gè)若當(dāng)形矩陣和利用相似矩陣的相關(guān)定理及化若當(dāng)形矩陣的

11、方法嘰-1-26)例7:已知矩陣A=-103,求A1-1-14丿3x3則存在可逆陣P，使得P+P，則AP=PJ0設(shè)戶=勺a2a3,其中a2z冬為列向量丿耳各矢巨0車P代入AP=/V彳導(dǎo)A勺=%,Aa2=a2+a3,Aa3=a3由齊次線性方程組:(AE)X=O由齊次線性方程組:(AE)X=Oz即-2-26、/X1-1-13兀2=01-13;則4=(301)“3=(211)是齊次線性方程組的解且勺，偽是線性無關(guān)的，則匚，&是由齊次線性方程組：(AE)X=O的基礎(chǔ)解系。a2,嗎線性無關(guān)。由：(4E)X=色=(100)且a2,嗎線性無關(guān)。由數(shù)學(xué)歸納法知：尸=010n1丿由求可逆陣的方法知:P=-1-1

12、3010J由宀P矢口:A=PJP7(-2n則A(-2n則A=pjnp-=-nn-2/i6/?1-n3/7n引7+1丿7利用多項(xiàng)式求解主要運(yùn)用帶余除法即：對(duì)于數(shù)域Px中任意兩個(gè)多項(xiàng)式/(X)和g(x)/其中g(shù)(x)zO,定有Px中的多項(xiàng)式q(x),廠(x)存在使得/(兀)=g(x)g(兀)+曠(兀)成立/其中s(r(x)s(g(x)或廠(x)=0,并且這樣的g(x)和廠(x)是唯一的山o7.1特征多項(xiàng)式無重根TOC o 1-5 h z120、求力例8:已知矩陣A=020求力-2-1-1V丿3x3解：設(shè)/(幾)為矩陣A的特征多項(xiàng)式,則/(2)=|2-A|由計(jì)算行列式的方法知f(A)=(A-2)(2

13、+1)(2-1)由帶余除法及輾轉(zhuǎn)相除法則知山:設(shè)*=/(2)譏兄)+廠(可，其中a（r（x）a（/（x）；由0（/（兀）=3,所以設(shè)r（2）=a22+Z?2+ce將特征多項(xiàng)式門可=0的根代入r=/（A）（2）+r（2）中得：T=4a+2b+cl=a+b+cl=a-b+c解得d=t（2“-1）,b=0,c=*（4-2“）；所以丫=/（?。ù?豈2一1）才+*（4-2”）由哈密頓一凱菜定理山:A是數(shù)域P上的一個(gè)nxn級(jí)矩陣,/=AE-A是矩陣A的特征多項(xiàng)式則f（A）=O0將A代入Y=/gS）+#2“-l），+g（4_2”）中得:An=|（2?,-l）A2+|（4-2n）160、由矩陣乘法的定義知：

14、4?=040,所以由矩陣的加法運(yùn)算法則知001001丿3x37.2特征多項(xiàng)式有重根-110、例9:已知矩陣A=-430，求AI】2L解:設(shè)/(可為矩陣A的特征多項(xiàng)式,則/(A)=|2E-A|由行列式計(jì)算方法知：7(2)=(2-2)(2-1)2由帶余除法及輾轉(zhuǎn)相除法知：r=/(A)(A)+r(2),其中S(r(x)l),則它的微商廣(x)是k-1重因式則1是廣的根。則由導(dǎo)數(shù)定義及性質(zhì):對(duì)r=/(A)(2)+r(A)等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得:加=fg+/(2)/+尸(2)則將代入nZ,-1=/(A)9(2)+/(2)(2)+/(A)中得2a+b=n；a+b+c=l則由4ci+2b+c=2n2a+b=n解

15、得：a=2nn1rZ?=3/7+22,?+1zc=2n2n0由哈密頓一凱菜定理知:/(A)=Oe則將矩陣A代入r=/(2)7(Z)+r(2)中得:An=(2w-H-l)A2+(3n+2-2w+1)A+(2w-2n)E由矩陣乘法運(yùn)算法則知20)3x3-320)3x3A2=-8.1由矩陣的加法運(yùn)算法則知l-2/zn0-4/72n+l-4/72n+l00+1-22,j-l2人&總結(jié)上述七種方法求解矩陣次方的乘積適用于求低階矩陣的次方的乘積適用于求低階矩陣次方的計(jì)算，而對(duì)于高階矩陣的求解則比較困難。利用方塊、拆項(xiàng)、數(shù)學(xué)歸納法和相似矩陣的方法求解適用于比較特殊的一些矩陣的求解；利用定義、若爾當(dāng)形矩陣和多

16、項(xiàng)式的方法對(duì)于普通的矩陣都適用，但利用定義的方法對(duì)于求矩陣次方的計(jì)算比較復(fù)雜；而利用多項(xiàng)式和若爾當(dāng)形矩陣的方法有利于對(duì)所學(xué)知識(shí)的及時(shí)鞏固、能加深對(duì)所知識(shí)的理解，而這兩種方法提供了解這類問題行之有效的方法且容易掌握。參考文獻(xiàn)1同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系z(mì)高等代學(xué)，高等教育出版社，2008.2錢吉林高等代數(shù)解題精粹北京:中央民族大學(xué)出版社,2002.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第二版)高等教育出版社.4劉嘉.矩陣相似及其應(yīng)用.中國西部科技,2010/26)5袁進(jìn).特征值與特征向量.高等數(shù)學(xué)研究，2004,(02)6張斌斌.矩陣的特征值與特征向量的研究.才智，2010,(08)刀施勁松，劉劍平.矩陣特征值、特征向量的確定大學(xué)數(shù)