蘭州大學(xué)2006年2007年數(shù)分考研試題及解答

1、PAGE PAGE 14蘭州大學(xué)2006年數(shù)學(xué)分析試題及解答一1. 求.解：由，得.求.解：，所以.求，.解： .求級(jí)數(shù)的和函數(shù)和收斂區(qū)域.解：設(shè)，顯然有，于是當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散.顯然收斂，當(dāng)，或者時(shí)，收斂，故級(jí)數(shù)的收斂域是；設(shè)，從而.設(shè)在有限區(qū)間上連續(xù)，并且，存在.證明：在上一致連續(xù).證明：記，,作，由已知條件，得在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，更有在上一致連續(xù)，即在上一致連續(xù).若在的鄰域上有定義，并且在處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在，證明：在處連續(xù).證明：由 ； ，知，即得在處連續(xù).計(jì)算曲線積分，其中為沿橢圓的逆時(shí)針方向.解：設(shè)，取充分小，使得包含于內(nèi)，由Green公式，知 .設(shè)在上連續(xù)，并且，證

2、明：，使得.證明：由題意，即對(duì)任意，有，特別取，有，使得， ；我們構(gòu)造數(shù)列如下：或者，取或；且，此時(shí)由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在或者，使得.于是有性質(zhì)： （1），且； （2）.設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，且滿足，其中，.證明：存在，使得.證明：由題意，對(duì)每一正整數(shù)，存在，使得當(dāng)時(shí)，有，而在有界閉集上連續(xù)，有最小值，于是在上有下界，設(shè)，存在，時(shí)，所以，由于在上連續(xù)，故存在，使得.設(shè)，令，證明：在上一致收斂于零.證明：由，知有界，存在，使得，由，利用數(shù)學(xué)歸納法知 ，于是，又，從而在上一致收斂于零.設(shè)在帶型區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)，并且關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)使得對(duì)任意的，有，證明：初值問題在區(qū)間

3、上有唯一連續(xù)的解，其中.證明：作上的函數(shù)列，由在作為的函數(shù)在上連續(xù)，得在上有界， ， ， ，從而 ，于是在上一致收斂，在上一致收斂，即有函數(shù)列一致收斂，設(shè)，則有在上連續(xù)，且一致收斂于，在中，令，取極限有，故是初值問題的解.蘭州大學(xué)2007年數(shù)學(xué)分析試題及解答一1. 求.解： .求解： .求，.解：因?yàn)?，所?求.解：.5. 求，其中為圓周的逆時(shí)針方向.解：，.討論級(jí)數(shù)的斂散性，其中，.解：（1）當(dāng)時(shí)，由，及比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，由，及積分判別法知，時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散， 時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂.，取，由 及比較判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散.證明：.證明：由的Taylor展式知，.設(shè)關(guān)于，均是一元連續(xù)函數(shù)，舉

4、例說明可以不是二元連續(xù)函數(shù)；證明：當(dāng)關(guān)于單調(diào)時(shí)，是二元連續(xù)函數(shù).證明：（1）取，即有之；任意，由題意在處連續(xù)，而有，使得時(shí)，有；由，都在處連續(xù)，而對(duì)上述，存在，使得時(shí)，有，；于是對(duì)，若遞增，則 ，若遞減，則，于是有，故在處連續(xù).令，試求.解：由題意 ， ， 即.設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是在上的唯一零點(diǎn)，并且.試證明：收斂.證明：由題設(shè)條件及連續(xù)函數(shù)的介值性，下列兩種情況有且僅有一種發(fā)生，；，.又，即，從而，時(shí)，即，從而只以點(diǎn)為瑕點(diǎn).再由，及比較判別法知，收斂.求，其中.解：.對(duì)，記，其中是整數(shù)集.試證明：（1）是上周期為的連續(xù)函數(shù)；是上的連續(xù)函數(shù).證明：（1）證法一 ，使得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，且當(dāng)時(shí)，從而，b）當(dāng)，此時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，而也有，c）當(dāng)，此時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，而也有，從而是上周期為的連續(xù)函數(shù)，證法二 因?yàn)?，所以是以為周期的周期函數(shù).由，得，進(jìn)而，即，由對(duì)稱性，還有，故有，由此，顯然可知