一類平面磁聚焦模型在高考和競(jìng)賽中的應(yīng)用

1、-. z.一類平面磁聚焦模型在高考和競(jìng)賽中的應(yīng)用周紅衛(wèi)(萬(wàn)里國(guó)際學(xué)校 315040)帶電粒子在磁場(chǎng)(或復(fù)合場(chǎng))中的運(yùn)動(dòng)是高考的常考題型，在各省市的高考中都處于主角的位置。在諸多的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中，有一類平行運(yùn)動(dòng)的等速粒子的平面磁聚焦問(wèn)題很受青睞，在競(jìng)賽中也得到了表達(dá)?，F(xiàn)對(duì)此進(jìn)展一個(gè)舉例分析。Y*0V圖1A5Y*0V圖1A5A4A3A2A1一 突出對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)徑跡的考察例1 (09年卷)如圖2，ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形。質(zhì)量為、電荷量為的電子以大小為的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域。在正方形適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：圖

2、31次勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大?。粓D32此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。AABACBADCBA圖2解析1設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。令圓弧是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場(chǎng)的作用力大小為，方向應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外。圓弧AEC的圓心在CB邊或其延長(zhǎng)線上。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點(diǎn)即為圓心，圓半徑為，按照牛頓定律有 聯(lián)立兩式得2由1中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自點(diǎn)垂直于入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧AEC是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊

3、界。為了決定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界，我們來(lái)考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長(zhǎng)線交角為不妨設(shè)的情形。該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。圖中，圓弧AP的圓心為O，pq垂直于BC邊 ，由知，圓弧AP的半徑仍為，在以A為原點(diǎn)、AB為*軸，AD為軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)為消去參數(shù)得這意味著，在圍，p點(diǎn)形成以D為圓心、為半徑的四分之一圓周，它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界限，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界。因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)分別以和為圓心、為半徑的兩個(gè)四分之一圓周和所圍成的，其面積為點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)典型的利用磁場(chǎng)進(jìn)展平行運(yùn)動(dòng)帶電粒子磁聚焦的考題，看起來(lái)在考磁場(chǎng)的最小面積問(wèn)題，但實(shí)質(zhì)上在考核粒子的運(yùn)動(dòng)徑

4、跡。從知識(shí)和能力的角度看，對(duì)于面對(duì)陌生題目的考生而言，綜合考察了學(xué)生對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合分析能力，這類題目也是幾乎所有高考題目的選擇對(duì)象。但對(duì)于平時(shí)對(duì)平行運(yùn)動(dòng)帶電粒子磁聚焦問(wèn)題有過(guò)深入分析和研究，對(duì)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)做過(guò)分類研究的學(xué)生而言，他們就屬于“有備而來(lái)，遇到類似題目會(huì)有“游刃有余，一切盡在掌控中的自信和豪情。二 突出對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)“會(huì)聚點(diǎn)的考察例2 09年卷如圖4所示，*軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在*Oy平面有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓還有與*Oy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿*軸正方向發(fā)射出一束具有一樣質(zhì)量m、電荷量qq0和初速度v

5、的帶電微粒。發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0y2R的區(qū)間。重力加速度大小為g。y*y*圖42請(qǐng)指出這束帶電微粒與*軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由。3略.解析此題考察帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。P*yoRQPoy*O圖6*Cy*vCy*ovCy*P*yoRQPoy*O圖6*Cy*vCy*ovCy*y圖5得，方向垂直于紙面向外。2這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。方法一：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，如圖6所示，這束帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓心軌跡是如圖b的虛線半圓，此圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)。方法二：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)

6、動(dòng)。如圖b示，過(guò)P點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與y軸的夾角為，其圓心Q的坐標(biāo)為-Rsin，Rcos,圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為得*=0，y=0；或*=-Rsin，y=R(1+cos)點(diǎn)評(píng)對(duì)于2的答復(fù)，很多學(xué)生當(dāng)時(shí)覺(jué)得不好處理，最后經(jīng)過(guò)一番思考和推理才形成了以上結(jié)果。需知道考場(chǎng)上的時(shí)間是多么珍貴，長(zhǎng)期對(duì)一個(gè)也許并不明白的的問(wèn)題進(jìn)展思考時(shí)，所帶來(lái)的情緒影響更大。其實(shí)這里是不需要說(shuō)明理由的，則如果我們已經(jīng)知道了空間一束平行帶電粒子經(jīng)過(guò)和自己軌道半徑等大的圓形磁場(chǎng)區(qū)域后會(huì)聚焦在一個(gè)點(diǎn)，則由1就馬上可以知道，這些帶電粒子最后全部會(huì)聚于原點(diǎn)，下來(lái)的解答只是按照幾何原理進(jìn)展結(jié)果的描述的一個(gè)數(shù)學(xué)“技術(shù)工作了。三 突出對(duì)磁場(chǎng)自身設(shè)定

7、的開(kāi)放性考察圖7例3(28屆全國(guó)物理競(jìng)賽預(yù)賽卷)圖7中坐標(biāo)原點(diǎn)O (0, 0處有一帶電粒子源，向y0一側(cè)沿O*y平面的各個(gè)不同方向發(fā)射帶正電的粒子，粒子的速率都是v，質(zhì)量均為m，電荷量均為q有人設(shè)計(jì)了一方向垂直于O*y平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 B 的均勻磁場(chǎng)區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該磁場(chǎng)區(qū)域的邊界射出時(shí)，均能沿*軸正方向運(yùn)動(dòng)試求出此邊界限的方程，并畫(huà)出此邊界限的示意圖圖7圖8解析：根據(jù)以上的磁聚焦模型研究，很快構(gòu)造出可能存在的第一種運(yùn)動(dòng)模型：磁場(chǎng)方向垂直于*y面向外，磁場(chǎng)的區(qū)域半徑和帶電粒子的軌道半徑大小一樣，則磁場(chǎng)的邊界限為如圖8示的半圓，此種情況以上的研究已經(jīng)很明確了，磁場(chǎng)區(qū)域的邊界限的

8、方程為圖8*2+(yR)2=R2 1 )或 2要求帶電粒子水平射出，所以只對(duì)右邊界做出約束即可，因?yàn)榇艌?chǎng)的上、左、下側(cè)對(duì)問(wèn)題的解決沒(méi)有任何影響，所以不用考慮起邊界問(wèn)題。如果磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直*y平面向里，且無(wú)邊界考察從粒子源發(fā)出的速率為v、方向與*軸夾角為的粒子，在磁場(chǎng)的洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與速度方向相切，假設(shè)圓軌道的半徑為R，有 1得 (2) 圓軌道的圓心O在過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O與速度方向垂直的直線上，至原點(diǎn)的距離為R，如圖9所示通過(guò)圓心O作平行于y軸的直線與圓軌道交于P點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)其速度方向恰好是沿*軸正方向，故P點(diǎn)就在磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上對(duì)于不

9、同人射方向的粒子，對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的位置不同，所有這些P點(diǎn)的連線就是所求磁場(chǎng)區(qū)域的邊界限P點(diǎn)的坐標(biāo)為圖9*Rsin (3 ) 圖9y一R + Rcos (4) 這就是磁場(chǎng)區(qū)域邊界的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得圖10*2 +(y+R)2=R2 (5)圖10由2、5式得 (6)這是半徑為R圓心 O的坐標(biāo)為0，一R ) 的圓，作為題所要求的磁場(chǎng)區(qū)域的邊界限，應(yīng)是如圖10所示的半個(gè)圓周，故磁場(chǎng)區(qū)域的邊界限的方程為 (7)點(diǎn)評(píng)作為競(jìng)賽題，從知識(shí)的熟練運(yùn)用和綜合能力的考察上來(lái)說(shuō)，要求要高于一般的高考題目。要能夠順利解出此題，首先要確定的是粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，而粒子的軌跡所在區(qū)域必須有偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的存在。題目中粒子發(fā)出于同一點(diǎn)

10、原點(diǎn)，要求出磁場(chǎng)時(shí)和軸平行，很好的符合了以上的平面磁聚焦模型，第一時(shí)間第一反響馬上會(huì)構(gòu)造出以上解答中的第一中情況。作為一個(gè)競(jìng)賽題目，在磁場(chǎng)方向不確定的情況下，需要細(xì)心、嚴(yán)密、周全，經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的反向研究很容易順藤摸瓜找到第二種情況。2522分如下列圖，在坐標(biāo)系*Oy所在平面有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)O1a , 0，圓分布有垂直*Oy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)放射源，放射源開(kāi)口的角為90，*軸為它的角平分線。帶電粒子可以從放射源開(kāi)口處在紙面朝各個(gè)方向射出，其速率v、質(zhì)量m、電荷量+q均一樣。其中沿*軸正方向射出的粒子恰好從O1點(diǎn)的正上方的P點(diǎn)射出。不計(jì)帶電粒子的重力，且不計(jì)帶電粒子間

11、的相互作用。1求圓形區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；2a判斷沿什么方向射入磁場(chǎng)的帶電粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，并求最長(zhǎng)時(shí)間；aBPb假設(shè)在yaaBP2522分解答：1設(shè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，帶電粒子在磁場(chǎng)中所受的洛倫茲力提供向心力：其中R=a則：由左手定則判斷磁場(chǎng)方向垂直于*Oy平面向里 6分2沿與*軸45向下射出的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，軌跡如圖，根據(jù)幾何關(guān)系粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向沿y軸正方向，OO3Q=135。設(shè)該帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)周期公式得： 所以： 8分3設(shè)*帶電粒子從放射源射出，速度方向與*軸的夾角為，做速度v的垂線，截取OO4=a，以O(shè)4為圓心a為半

12、徑做圓交磁場(chǎng)邊界于M點(diǎn)。由于圓形磁場(chǎng)的半徑與帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑均為a，故OO1MO4構(gòu)成一個(gè)菱形，所以O(shè)4M與*軸平行，因此從放射源中射出的所有帶電粒子均沿y軸正方向射出。帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，返回磁場(chǎng)時(shí)的速度與離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相等方向相反，再進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O5，OO4O5N構(gòu)成一平行四邊形，所以粒子在磁場(chǎng)中兩次轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之和為180，第二次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)都經(jīng)過(guò)N點(diǎn)。故收集器應(yīng)放在N點(diǎn)，N點(diǎn)坐標(biāo)為2a，0。 62522分如下列圖，直角坐標(biāo)系的y軸左方為垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B；垂直*軸豎直放置一個(gè)足夠大接收屏PQ，它離原點(diǎn)距離為og=L

13、/2；直角坐標(biāo)系的第一象限和第四象限的abco、ocdf均是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形，各有一垂直紙面方向的半徑為L(zhǎng)的1/4圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域, 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B。bd為一線狀發(fā)射裝置，射出一束質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，以一樣的初速度沿紙面垂直于bd邊射入兩個(gè)正方形區(qū)域，電子從bd邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從原點(diǎn)o射出進(jìn)入y軸左方磁場(chǎng)。不考慮電子之間的相互作用，不計(jì)重力求1第一象限和第四象限中勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向2電子沿紙面垂直于bd邊射入初速度大小3電子打到接收屏PQ上的圍4打在接收屏上的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t2522分1從bd進(jìn)入的電子都從o點(diǎn)射出，考慮電子帶負(fù)電，根據(jù)左手定則判

14、斷，第一象限的磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲?分，第四象限的磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪奔埫嫦?分2考慮從b點(diǎn)射入的電子從o點(diǎn)射出，軌跡如圖紅線所示，其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=L(1分)3所有進(jìn)入圓形區(qū)域的粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都從原點(diǎn)o射出，進(jìn)入y軸左方磁場(chǎng)，且在磁場(chǎng)中都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑仍為L(zhǎng)，其中從o點(diǎn)沿-y方向進(jìn)入磁場(chǎng)的電子打在屏上最低點(diǎn)h，圓心為2分，由圖可知：而從o點(diǎn)沿*方向進(jìn)入的電子，其圓軌跡在i點(diǎn)恰與圓相切，該i點(diǎn)為屏最高位置，如圖藍(lán)線所示，圓心為，交y軸為j點(diǎn)。2分接收屏被電子打中圍從位置到位置。4在所有到達(dá)屏上的電子中，只有從b點(diǎn)射入的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，它在圓形區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間它在y軸左側(cè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2522分如圖甲所示，直角坐標(biāo)系中直線AB與橫軸*夾角BAO=30，AO長(zhǎng)為a。假設(shè)在點(diǎn)A處有一放射源可沿BAO所夾圍的各個(gè)方向放射出質(zhì)量為m、速度大小均為v、帶電量為e的電子，電子重力忽略不計(jì)。在三角形ABO有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)電子從頂點(diǎn)A沿AB方向射入磁場(chǎng)時(shí)，電子恰好從O點(diǎn)射出。試求：從頂點(diǎn)A沿AB方向射入的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；磁