27圖形生長的奧秘

1、陳景潤(1933_1996),福建省福州市人，1953年畢業(yè)于廈門大學數(shù)學系，主要從事解析數(shù)論方面的研究.20世紀年代以來關(guān)于篩法及其有關(guān)重要問題作了深入研究，1960年5月表明了命題“1 2將 200 多年來人們未能解決的哥德巴赫猜想的表明大大推進了一步，這一結(jié)果被國際上譽為“陳式定 理”.27 圖形生長的奧秘解讀課標從一個簡單的、基本的圖形開始，依照一定的規(guī)律，生長繁衍成復(fù)雜有趣而美麗的圖形，并且探尋圖形 的邊長、周長、面積的變化規(guī)律，這類圖形生長的問題是近年中考競賽的一個熱點問題.形生長問題的基本方法是：分析圖形生長的方式、規(guī)律；，是圖形生長的常見形式，解圖問題解決例1(1)觀察圖至圖中

2、小圓圈的擺放規(guī)律，并且按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第個數(shù)為m，則m= .(用含n的代數(shù)式表)n 個圖中小圓圈的m =53 -n=2時m =8n=3時m=11 -0n=4時m=14(2)觀察下列圖形:根據(jù)圖的規(guī)律，圖中的三角形的個數(shù)為 . 試一試關(guān)于(2),從尋找第n個圖與第n_1個圖三角形個數(shù)的關(guān)系入.例2(1)如圖是一個水平擺放的小正方體木塊，圖是用這樣的小正方形木塊疊放而成，依照這樣的規(guī)律，繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)().A. 25 B. 66 C. 91 . 120(2、3 個圖案所示規(guī)律依次下去：則第n個圖案中，黑色正三角形和白色正六邊形的個數(shù)訣別().A. n2

3、 n 2, 2n 1 B. 2n 2 , 2n1試一試略.C. 4n , n2 -n 3 . 4n , 2n1例 3 操作：如圖，先畫一個等邊三角形，每邊長為1 ;如圖，在圖中，每邊三等分中間的一份處再凸出一個等邊三角形；雪花圖形.探究：圖 6 的周長是多少？，新增三角形個數(shù)的規(guī)律，這是解本例的突破口.例4有一堆磚堆放如圖，第1層有3塊，第2層有8塊，第3層有15塊，”，如此繼續(xù)下去，第9有多少塊？第n層有多少塊？這樣共n層的磚堆總共有多少塊磚？2 例5如圖的圖案均是用長度相同的火柴棍按一定的規(guī)律拼搭而成的：第1個圖案需7根火柴，第2個圖案需13根火柴，”，依此規(guī)律，第11個圖案需多少根火柴？

4、分析當數(shù)據(jù)規(guī)律不鮮明時，可從分析圖形構(gòu)成入手為使圖形結(jié)構(gòu)清晰，可適當改變圖形.解將圖中各個圖案右下角的個正方形移除3根火柴后得如下圖：117=2（根）1=2（根），421225（根），1225（根），10根火柴； 31239（根），1239（根），18根火柴;n12J3n n 355552 2n n 根火柴.11 圖案設(shè)計11 33 =157 （根）.例 6 如圖是一個由 12 個相似的直角三角形組成的圖案，像商標？像蝸牛？像臺風眼？數(shù)學沖浪 知識技能廣場1觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第8個圖形共有 枚五角星. n=1n=2n=3n=42下列圖形都是由同樣大小的五角星按一

5、定的規(guī)律組成，其中第個圖形一共有2個五角星，第圖形一共有8個五角星，第個圖形一共有18個五角星，”，則第個圖形中五角星的個數(shù)為 圖圖 圖3如圖是用相同長度的小棒擺成的一組有規(guī)律的圖案，圖案（1）需要4根小棒，圖案（2）需要10根小棒，”，按此規(guī)律擺下去，第n個圖案需要小棒 根（用含有n的代數(shù)式表示4用正三角形和正六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第二個圖案開始，每個圖案都比上一個圖案多一個正六邊形兩個正三角形，則第n個圖案中正三角形的個數(shù)為 （用含n的代數(shù)式表示）5下列圖案是晉商大院窗格的一部分的個數(shù)為 其中“O”代表窗紙上所貼的剪紙，則第 n 個圖中所貼剪紙“O”O(jiān)OO0cO1OU(1)(2

6、)(3)6如圖是一塊瓷磚的圖案，用這種瓷磚來鋪設(shè)地面如果鋪成一個2 2 的正方形圖案（如圖），其中完整的圓共有5個，如果鋪成一個33的正方形圖案（如圖），其中完整的圓共有13個，如果鋪成一個44正方形圖案（如圖），其中完整的圓共有25個.若這樣鋪成一個1010的正方形圖案，則其中完整的圓共有個.7.觀察下表，填表格后再解決問題:序號1圖形235n55 5的個數(shù)8的個數(shù)1P 42455（1）完成 二表；（2）試求第幾個圖形中的“”的個數(shù)與“”的個數(shù)相等.&已知一個面積為S的等邊三角形，現(xiàn)將其各邊n（n為大于2的整數(shù)）等分，并且以相鄰等分點為頂點向外作小等邊角形，如圖所示，當n=k時，共向外作出了

7、多少個小等邊三角形？這些小等邊三角形的面積和為多少？（用含 k 的式子表示）9.某體育館用大小相同的長方形鑲嵌地面，第一次鋪2塊，如圖；第二次把第一次鋪的完全圍起來，如圖；第三次把第二次鋪的完全圍起來，如圖；n次鑲嵌所使用的木塊數(shù)為 .”；依此方法，第n 次鋪完后，用字母n 表示第10如圖是一個樹形圖的生長進程，依據(jù)圖中所示的生長規(guī)律，第15行的實心圓點的個數(shù)等于 形各邊依照先前的做法，得到圖；積為則第n個圖形中一切陰影三角形面積的和為./ XX 12如圖，第(1)個多邊形由正三角形“擴展”而來，邊數(shù)記”；如此繼續(xù)，如果圖的等邊三角形面3.a ，第(2)個多邊形由正方形“擴3.4a ，”，依此

8、類推，由正45求a 的值；5n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)記為a n 3 .1111197n當一+的結(jié)果是竺時，求n的值為 .na a a3 4 5a60013用大小相同的正六邊形瓷磚按如圖所示的方式來鋪設(shè)廣場，中間的正六邊形瓷磚記為6塊同樣大小的正六邊形瓷磚，定義為第二組；在第二組的外圍用同樣大小A，定義為地鋪滿多少組？還剩幾塊瓷磚？2005 塊瓷磚最多能完整應(yīng)用探究樂園14在下圖中，每個正方形由邊長為1的小正方形組:n=5正方形邊長13575n (奇數(shù))黑色小正方形個數(shù)正方形邊長黑色小正方形個數(shù)524685n (偶數(shù))52在邊長為nn1的正方形中，設(shè)黑色小正方形的個數(shù)為p，白色小正方形的

9、個數(shù)為P ，問是否2存在偶數(shù)n ,使 P2 =5p ?若存在，請寫出n 的值；若不存在，請說明理由.15將棱長為1cm的正方體按如圖方式放置，求第20個幾何體的表面.27.圖形生長的奧秘 問題解決例 1( 1)3n 2(2) 161 圖有 14 =5 個，圖有 1 4 3 4 =17 個，圖有 1 4 3 4 32 4 =53 個，圖有 1 4 3 4 32 4 33 4 =161個.例 2 (1) C 1 5 9 13 17 21 25 =91 ；(2)圖中每個小等邊三角形的邊長為-|，5 周長為.33nl例 43 14253nn222 J2123n2123恥數(shù)學沖浪1. 25 2. 72

10、3. 6n -2 4. 2n 29 99 塊，第n 層有n n2 塊，這樣的n 層磚堆共有=12 1 亠 i2 2 2 亠 i3 2 3 亠 亠 i n 2n11n n 1 2n 1 n n 1 n n 1 2n 7 (塊).2 25.5+3(n1)=3n+2(個)6.10+(10_1)=181(個)7.(1)略；(28n=n2，得門=8或門=0(舍去).8.-2 3 個小等邊三角形，每個小等邊三角形的面積為三角形的面積為k 2 3 S S.9.2n 2n -1 | | 2n -3 2n -2 =8n-610. 377 各行的實心圓點數(shù)組成斐波那契數(shù)列1n =k 時，共向外作了 k2 S，這些小等邊k11.412. (1) an = n n 1 ,比=30 ; (2) n =199 .n1 6162n-1=13nn_1.當 n =26 時，1 3n n -1 =1951 ： 2005，當 n =27 時，1 3n n -1 =2107 2005，故最多能完整地鋪滿 26 組，還剩 2005 -1951 =54 (塊)瓷磚.(1)略；(2n=2npn2 2nn22n=52nn=12n=