也談彈簧質(zhì)量對彈簧振子振動周期的影響

1、也談彈簧質(zhì)量對彈簧振子振動周期的影響金彪（浙江省上虞市春暉中學(xué)，浙江 上虞 312353）O P 圖1貴刊（物理教教師）20010年第11期彈簧質(zhì)量量對彈簧振子子振動周期的的影響一文文，指出了貴刊（同上）20009年第55期非輕質(zhì)質(zhì)彈簧問題的的分析一文文中的錯誤，認(rèn)認(rèn)為“一質(zhì)量為m的彈簧與物物體M（視為為質(zhì)點）組成成的一個彈簧振子，彈簧振子子的振動周期期為?！钡慕Y(jié)論是錯錯誤的，并經(jīng)經(jīng)過計算后得出：一質(zhì)量量為的彈簧與與一質(zhì)量為的的質(zhì)點組成的的“彈簧振子”震動周期為為：。而筆者者認(rèn)為此結(jié)論論同樣是錯誤的，我們們可以先假設(shè)設(shè)，即去掉質(zhì)點點M,讓質(zhì)量為的彈彈簧自由振動，振動穩(wěn)定時時，振動的周期由由上式

2、得。這個結(jié)結(jié)論是否正確確呢？總長度度為L，質(zhì)量為m，勁度系數(shù)數(shù)為k的彈簧一端端固定，另一一端自由（如如圖1所示），其振動的固有周期到底為多少呢？O P 圖1設(shè)另有一根彈簧簧的總長度很很長，質(zhì)量均勻分分布，且彈簧簧單位長度的質(zhì)量為，勁勁度系數(shù)為。讓讓這根彈簧兩兩端以相同的的振幅和頻率率沿彈簧方向向振動起來，穩(wěn)穩(wěn)定后必然在在彈簧上形成成駐波。調(diào)節(jié)節(jié)波源頻率，使使長彈簧的波波長恰好為44L，則相鄰波腹與波波節(jié)的距離恰恰好為L。由于駐波的的波節(jié)振幅為為零，與圖1彈簧的的固定點O一一樣；駐波的的波腹振幅最最大，與自由點P一樣樣，可得圖11彈簧的振動動與長彈簧波波節(jié)到相鄰波波腹振動情況況完全一樣。由由于固

3、體中彈彈性縱波的波波速 （11）其中Y為楊氏模模量，為密度，對于于上述彈簧來說說，等效密度度和楊氏模量量分別為：，代入（1）式式得： （2）欲使彈簧波波長長為4L，則圖1彈簧的固固有周期為： （33）由此可知“彈簧簧質(zhì)量對彈簧簧振子振動周周期的影響”一文的結(jié)論論是錯誤的。那那么為什么會會引起這樣的的錯誤呢？該該文認(rèn)為：“對距O點為為l的一小段彈彈簧，其振動動速度可表示示為?！辈⑶摇皬椈傻膹椥孕詣菽堋?，這兩個關(guān)關(guān)系式的前提提都是彈簧的的形變量是均均勻的。事實實上當(dāng)彈簧的的質(zhì)量不能忽忽略時，彈簧簧的形變量是是不均勻的，離離固定點O越近的地方方受到的彈力力越大，形變變量也就越大大（示意圖如圖22所示

4、）。這是該文結(jié)論論為什么會錯錯的原因。那那么“一質(zhì)量為的彈彈簧與一質(zhì)量量為的質(zhì)點組組成的彈簧振子震動周期”為多少呢？O P 圖2M設(shè)某時刻物體MM離開其平衡衡位置的位移移為，速度為為，加速度為為；而平衡位置置距O點為l的一小段彈彈簧離開其平平衡位置的位位移為，速度為，加速速度為。由于于所有質(zhì)點的的振動都同相相，則有：。又又由于每一段段彈簧離開平平衡位置的位位移都等于它它左側(cè)所有小小段的伸長量量之和，則距距O點為l的一小段彈彈簧的伸長量量為，勁度系數(shù)為為，則其彈力為為，質(zhì)量為。其與相鄰小小段彈簧的彈力差差，即其所受受合力為?；喛傻茫篛 P 圖2M由于M物體振動動時的與反向，即為負(fù)負(fù)值，則根據(jù)據(jù)

5、常微分方程程的理論，上面微分方方程的解可寫寫作。其中A為與M離開開平衡位置的的位移有關(guān)的的變量，由于O點附近的的質(zhì)元離其平平衡位置的位位移趨向于零零，可得=0。即： （44）則每一小段彈簧簧的形變量為為 相應(yīng)的小段彈簧簧彈力為 （5）對于連接M物體體的那小段彈簧，代入入（5）式得得 （6）當(dāng)時，即沒有物物體M時：由（6）式得： （7） （88）得到與（3）式式相同的結(jié)論論。而當(dāng)時，即彈簧簧質(zhì)量忽略。則每一小段彈簧簧的形變量都都相等，即彈彈簧的形變是是均勻的，此時的彈簧振子即我我們平時看到到的彈簧質(zhì)量量可忽略的理理想彈簧振子子，其周期為為當(dāng)時，由（6）式式得： （9） 由（44）得： （10）設(shè)，將之與（110）式一起起代入（9）式得： （11）上式中M、m、k為定值，為我們所求求彈簧振子的的圓頻率。顯顯然只有當(dāng)為為特殊值時，該該超越方程才才有精確解，否否則只能是近近似解。例如如：當(dāng)，即時， （112） 此即理想彈簧振振子的圓頻率率。當(dāng)，即時，即可得與（8）式式一樣的結(jié)論論。當(dāng)，當(dāng)，等等。而此時